2017年高考押题卷文科数学（二）含答案解析

文 科 数 学（二） 本试题卷共 6 页， 23 题 (含选考题 )。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 第 卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1已知集合 0， 集合 10B x x x ， 则 （ ） A | 0 1 B | 0 1 C 0 D 2 已知复数 z 满足 1 ，则复数 z 在复平面内对应点在（ ） A第一、二象限 B第三、四象限 C实轴 D虚轴 3 为了 得到 函数 的图像， 可将 函数 s i n 26的图像（ ） A 向右平移6个单位长度 B 向右平移3个单位长度 C 向左平移6个单位长度 D 向左平移3个单位长度 4某公司准备招聘了一批员工 有 20 人经过初试， 其中 有 5 人是与公司所需专业不对口， 其余 都是对口专业，在不知道面试者专业情况下， 现 依次选取 2 人进行第二次面试，第一个 人已面试后，则 第二次选到与公司所需专业不对口的概率是（ ） A 519B 119C 14D 125九章算术中 “开立圆术 ”曰： “置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径 ” “开立圆术 ”相当于给出了已知球的体积 V，求其直径 d，公式 为3 169 如果球的 半径 为 13， 根据 “开立圆术 ”的方法求球的 体积 为 （ ） A 481B6C 481D66 若变量 ,等式组 120 ， 则 , 整数解有 （ ） A 6 B 7 C 8 D 9 7某几何体的三视图如图所示 ，设正方形的边长为 a，则该三棱锥的表面积为（ ） A 2a B 23a C 236 223a 8已知等差数列 n 项和为 4， 16，数列 n nb a a ，则数列 和9 ） A 80 B 20 C 180 D 166 9 已知直线 : 2 1l y x与圆 C： 221交于两点 A， B，不在圆上的一点 1,，若 ，则 m 的 值为（ ） A 1 ， 75B 1， 75C 1， 75D 1 ， 7510已知函数 2 2x x x，关于 以下四个推断： , ； 函数 0,2 上的增函数； 函数 x 上取得最小值 其中推断正确的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 11 已知椭圆的标准方程为 22154，12,O 为原点， P 是椭圆在第一象限的点，则12F的取值范围（ ） A 0,2 B 1,6 C 0, 5 D 0,6 12 已知正方体1 1 1 1A B C D A B C D的棱长为 1， E 为棱1F 为棱1满足1 : 1 : 2A F ，点 F、 B、 E、 G、 H 为面 三点 B、 E、 F 的截面与正方体1 1 1 1A B C D A B C D在棱上的交点，则下列说法错误的是（ ） A 132 余弦值为 6565D 面积是 614第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 2223 题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 13 如图所示，在梯形 ， A 2， 2， 2， 32 E 为 中点， 则D_ 14执行如图所示的程序框图，若输出 _ 15已知数列 , 3 , 7 , 1 5 , 3 1 , , 2 1n ，数列 b，1n n nb a a ， 则数列 1前 1n项和1 _ 16如图：已知 ， 15， M 在 上，且 3 13， 3 1 3c o M， 25，（ 为 锐角 ），则 的面积为 _ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （本小题满分 12 分） 已知锐角三角形 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且满足2 2 2c o s c o s s i n s i n s i A A B ， s i n c o A B （ 1）求角 A、 B、 C； （ 2）若 2a ，求三角形 边长 b 的值及三角形 面积 18（本小题满分 12 分） 2017 年 4 月 1 日，中共中央、国务院决定设立的国家级新区 雄安新区 雄安新区建立后，在该区某街道临近的 A 路口和 B 路口的车流量变化情况， 如 表所示： 天数 t（单位：天 ） 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 A 路口车流量 x（百辆 ） 路口车流量 y（ 百辆 ） 1）求前 5 天通过 A 路口 车流量 的平均值和通过 B 路口的 车流量 的方差， （ 2） 根据表中 数据我们认为这两个临近路口有较强的线性相关关系，第 10 日在 A 路口测得车流量为 3 百辆时，你能估计这一天 B 路口的车流量吗？大约是多少呢？ （最后结果保留两位小数） （参 考 公式 ： 127x y ， a y ， ） 19（本小题满分 12 分） 如图所示，直棱柱1 1 1 1A B C D A B C D， 底面 平行四边形， 1 1 1 3A A A B B D ， 2， E 是边11F 是边1 （ 1）当1C F ， 求证： 平面1 （ 2）若 F ，求三棱锥1B D 积 20 （本小题满分 12 分） 设椭圆 C： 22 10xy 的左顶点为 2,0 ， 且 椭圆 C 与直线6 32相切 （ 1）求椭圆的标准方程； （ 2）过点 0,1P 的动直线与椭圆 C 交于 A， B 两点，设 O 为坐标原点，是否存在常数 ，使得7O A O B P A P B ？ 请 说明理由 21（本小题满分 12 分）设函数 ， （ 1）求曲线 y f x 在 点 e, 的切线方程； （ 2）当 1x 时，不等式 2 11 恒成立， 求 a 的取值范围 请考生在 22、 23题中任选一题作答 ,如果多做 ,则按所做的第一题计分。 22 （本小题满分 10 分） 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 x 轴非负半轴重合，直线 c o s s i n 6 0 ，圆 C 的参数方程为 5 c o s i ， （ 1） 求直线 l 和 圆 C 的 直角 坐标 系 方程 ； （ 2）若相交，求出直线被圆所截得的弦长 23 （本小题满分 10 分） 已知点 ,P 圆 C： 22x y x y , 0, 上， （ 1） 求 11最小值； （ 2） 是否存在 a ， b ，满足 1 1 4 ？如果存在，请说明理由 文科数学（二）答案 第 I 卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1 【答案 】 C 【解析 】 根据题意可得， 0A ， | 1 0B x x x 或 ， 所以 | 0 1B x xR ， 所以 0 故 选 C 2 【答案】 D 【解析】 设复数 iz a b ， , ， 因为 1 ，所以 i i 1 ，所以( 1) ，所以可得 1 1 ，解得 01，所以 ，所以复数 z 在复平面内对应点 0,1 在 虚 轴上 故 选 D 3 【答案】 D 【解析】 c o s 2 s i n 2 s i n 22 3 6y x x x ，所以将函数 s i n 26的图像向左平移3个单位故 选 D 4 【答案】 C 【解析 】 因为有 5 人是与公司所需专业不对口，第二次选到与公司所需专业不对口有 5 种可能， 有 20 人经过初试有 20 种可能，所以 5120 4P 故 选 C 5 【答案】 D 【解析】 根据公式3 169 ，32 1639V， 解 得 16V故 选 D 6 【答案】 D 【解析】 如图 ： 易 知： 共 9 个 整数点 故 选 D 7 【 答案 】 D 【解析】 如图所示， 该几何体是正方体的内接正三棱锥，所以三棱锥的棱长为 2a ，因此此几何体的表面积 2 214 2 s i n 6 0 2 32S a a 故 选 D 8 【 答案 】 C 【解析】 设等差数列 d，因为1n n nb a a ，所以1 1 2n n nb a a ，两式相减1 1 2 1 2n n n n n nb b a a a a d 为常数，所以数列 因为 且 4， 16，所以1 1 2 2 4b a a S ，3 3 4 4 2 12b a a S S ，所以等差数列 1242，所以前 n 项和公式为 1442 222，所以 9 180T 故 选 C 9 【 答案 】 A 【解析】 将直线 l 的方程与圆 C 的方程联立得22211，化简得 25 4 0，解得 x 0 或 45x，所以 (0,1)A ， 43( , )55B ，所以 (1,1 )M A m， 13( , )55M B m ，根据 ，所以 131155 ，化简 25 2 7 0 ，解得1 75m或2 1m 故 选 A 10 【答案 】 C 【解析 】 根据题意可得，函数 , ，所以为正确； 因为 222 2 e 2 e 2 ex x xf x x x x x ，当 22x 时， 0 ，所以函数 2, 2 为单调递减函数，当 2x 或 2x 时， 0 ， 在 ,2 ， 2, 为单调递增函数，又 2 2y x x在 ,0 ， 2, 上 为正，在 0,2 上 为负 ， 所以函数 在 2x 上取得最小值，所以 正确，错误 2 2e xf x x x ， 可见 奇非偶函数，所以 错误故 选 C 11 【答案】 A 【解析 】 设 00,P x y，则00 5,x因为 2 2 2 1c a b ， 所以 1555e ，1055 5P F x ，2055 5P F x ，则1 2 0255P F P F x，因为 005x ，所以025025 x故 选 A 12 【答案】 C 【解析】 因为面11/面1交线为 交线 为 以 A 正确；因为11/B，且1 : 1 : 2A F 所以1 1 1: 1 : 2M A A B ，所以1 12所以1 32在 1211B M B B B M132 ，所以 B 正确；在 1， E 为棱 1中点，所以 1C 为棱1以1 1在 221152E N C E C N ，所以5；因为 2211 52M N M B N B ， 在 ，2 2 2c o B N M N B M B N 26565，所以 C 错误；因为 2 6 5c o N，所以 61s i N，所以 12 61s i n 4B N M B N 所以 D 正确 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 2223 题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 13 【 答案 】 2 【解析】 以 B 为原点， x 轴， y 轴建系， 2,0C ， 20,2E， 0,0B ，3 ,22D ， 22,2， 3 ,22 ， 所以 3 1 2C E B D 14 【答案 】 35355【解析 】 当 1n 时， 2 1 1033S ， 当 2n 时， 1 4 1 1 43 5 1 5S ， 当 3n 时， 1 4 8 1 2 91 5 7 1 5S ， 当 4n 时， 2 9 1 5 1 81 5 9 5S ， 当 5n 时， 1 8 3 1 3 5 35 1 1 5 5S ， 6n ， 输出 S 的值为 35355 15 【答案 】 222n 【解析 】 由数列 1，所以 111 2 1 2 1 2n n nn n nb a a ， 所以数列 1的通项公式为1112，由此可知数列 1是以首项为 1，公比为 12的等比数列， 所以 其前 1n 项和121111222112 16 【答案】 225 【解析】 在 中 ， 由 余 弦 定 理 可 得2 2 2 2 c o s 7 2A M A C C M A C C M A C M ，得 62，在 中，由正弦定理s i n s i M M M A C，解得 2s i C，所以 4，在 ， 25s i n s i n s i B ， 由正弦定理可得s i n s i A C A C B，解得 30 2， 所以 的面积为 1 1 2s i n 3 0 2 1 52 2 2B A C A B A C 225 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （本小题满分 12 分） 【 答案 】 （ 1）4A ， 512B，3C ； （ 2） 622b ， 33=4 【解析】 （ 1）因为 A， B 均为锐角， s i n c o A B ， s i n c o s c o s s i n c o s c o s s i n s i A B A B A B ， s i n c o s s i n s i n c o s c o s c o s s i A B A B A B ， s i n c o s s i n c o s c o s s i B A B B B 为锐角， c o s s ， ，则 A 的大小为4， 3 分 在 ， 2 2 2c o s c o s s i n s i n s i A A B ， 2 2 21 s i n 1 s i n s i n s i n s i A A B ， 2 2 2s i n s i n s i n s i n s i A A B ， 2 2 2a b c a b ， 1， 3C ， 6 分 53 4 1 2B 7 分 （ 2）根据正弦定理 得 s i n 5 622 s i n 2 s i n ( )s i n 1 2 6 4 2 ， 9 分 1 1 3 6 2 3 3= s i n 2 =2 2 2 2 4 a b 12 分 18（本小题满分 12 分） 【 答案 】 （ 1） （ 2） 【解析】 （ 1） 由题意可知， 0 . 2 0 . 5 0 . 8 0 . 9 1 . 1 0 . 7 05x （百辆）， 2 分 0 . 2 3 0 . 2 2 0 . 5 1 1 . 5 0 . 6 95y （百辆）， 4 分 所以 通过 B 路口的 车流量 的 方 差 为 2 2 2 2 22 1 0 . 2 3 0 . 6 9 0 . 2 2 0 . 6 9 0 . 5 0 . 6 9 1 0 . 6 9 1 . 5 0 . 6 9 0 . 2 45 （百辆 2） 故 前 5 天通过 流量 的平均值为 辆 和通过 流量 的方差为 百辆 2） ； 6 分 （ 2）根据题意 可得 ， 515211 . 3 8()x y ， 8 分 所以 0 . 6 9 1 . 3 8 0 . 7 0 . 2 8a ， 所以 A 路口 车流量 和 B 路口的 车流量的 线性回归方程为 1 0 ， 10 分 当 3x 时， 1 . 3 8 3 0 . 2 8 3 . 8 6y （百辆） 故这一天 B 路口的车流量 大约是 辆 12 分 19（本小题满分 12 分） 【 答案 】 （ 1） 见 解析 ； （ 2） 10 29 【解析】 （ 1）因为 底面1 1 1 1以1 1 1 1 3A B B D D C ， E 是11以11 1 分 在直棱柱1 1 1 1A B C D A B C D，因为1底面1 1 1 1面1 1 1 1 所以1 又 因为11C，所以1平面 2 分 又 面 所以1 3 分 在矩形11为1 E 1，1 2 F， 1R t R F F C E 1C F B F E C ，1C B F C F E ， 90 ， F ， 5 分 又 1D E ， 平面1 6 分 （ 2） 因为1面 所以1棱锥1B D 高， 且1 22 7 分 因为 2211 10B E B B B E ， 8 分 因为 F ， 所以1B E1C E， 所以11B ， 所以 103 10 分 所以11 11 1 1 0 23 2 9B D E F D B E E F B E D E 三 棱 锥 三 棱 锥 12 分 20 （本小题满分 12 分） 【 答案 】 （ 1） 22143， （ 2） 存在 ， 2 【解析】 （ 1）根据题意可知 2a ，所以 222 14， 1 分 由 椭圆 C 与直线 6 32相 切，联立 得222 146 32 ， 消去 y 可得 ： 2 2 26 1 2 6 3 6 4 0b x x b ， 3 分 0 ，即 2 221 2 6 4 6 3 6 4 0 ， 解得 ： 2()0b 舍或 3， 所以椭圆的标准方程为 22143 5 分 （ 2）当过点 P 的直线 斜率存在时，设直线 方程为 1y ，设 两点的坐标分别为 11, 22, 联立 得 221431 ，化简 223 4 8 8 0k x k x ， 所以 12 212 28438430 恒 成 立， 7 分 所以1 2 1 2 1 2 1 2 ( 1 ) ( 1 ) O A O B P A P B x x y y x x y y 2 1 2 1 21 1 1k x x k x x 22228 (1 ) (1 ) 8 14 3 4 3 2222 4 4 4 3 2 4 3 143 224 2343k ， 所以当 2 时， 7O A O B P A P B ； 10 分 当过点 P 的直线 斜率不存在时，直线即与 y 轴重合，此时 0 , 3 0 , 3， ，所以 3 ( 3 1 ) ( 3 1 ) 3 2O A O B P A P B ， 所以当 2 时， 7O A O B P A P B ； 综上所述，当 2 时， 7O A O B P A P B 12 分 21（本小题满分 12 分） 【 答案 】 （ 1） 2e 3 e 0 ； （ 2） |0 【解析 】 （ 1）根据题意可得， 2， 1 分 2x ，所以 22l n e 1e ， 即 21 ， 3 分 所以 在 点 e, 的切线方程为 221 ， 即 2e 3 e 0 5 分 （ 2）根据题意可得， 221 l n 11 0a x x a x x 在 1x 恒成立， 令 2( ) l n 1g x x a x ， 1x ， 所以 1( ) 2g x ， 6 分 当 0a 时， ( ) 0 ， 所以 函数 ()y g x 在 1, 上是单调递增， 所以 ( ) 1 0g x g ， 所以 不等式 2 1 成立，即 0a 符合 题意 ； 8 分 当 0a 时， 令 1 20， 解得 12x a， 令 1 12a ， 解得 12a， 当 102a时， 1 12a ， 所以 ()在 11,2a上 ( ) 0 ，在 1 ,+2a上 ( ) 0