高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结(理)

1 平面向量 【 基本概念 与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 既有大小又有方向的量。记作： a 。 向量的大小（或长度），记作： | |a 。 长度为 1 的向量。若 e 是单位向量，则 | | 1e 。 长度为 0 的向量。记作： 0 。【 0 方向是任意的 ，且 与任意向量平行 】 线向量） ：方向相同或相反的向量。 长度和方向都相同的向量。 长度相等，方向相反的向量。 A 。 C ； A B B C C D D E A E ； C C B（指向被减数） 以 ,， 。 /a b a b 。 当 0 时， 向；当 0 时， 向 。 任意不共线的两个向量称为一组基底。 若 ( , )a x y ，则 22|a x y， 2 2|， 2| | ( )a b a b 夹角公式 ： | | | | c o sa b a b ； c o s| | | | 2 2 1/a b a b x y x y ；1 2 1 200a b a b x x y y 题型 断正误 ： （ 1）共线向量就是在同一条直线上的向量。 （ 2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。 （ 3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。 （ 4）四边形 平行四边形的条件是 D 。 （ 5）若 D ，则 A、 B、 C、 D 四点构成平行四边形。 （ 6） 因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。 （ 7）若 a 与 b 共线， b 与 c 共线，则 a 与 c 共线。 （ 8）若 ma ，则 。 2 （ 9）若 ma ，则 。 （ 10）若 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都不是零向量。 （ 11）若 | | | |a b a b ，则 / （ 12）若 | | | |a b a b ，则 。 题型 1.设 a 表示“向东走 8, b 表示“向北走 6,则 | 。 ) ( )A B M B B O B C O M 。 | 5,| | 3,则 |最大值和最小值分别为 、 。 C 的和向量，且 ,A C a B D b，则 ， 。 在线段 ，且 35B,则 题型 乘 运算 1） 3 ( ) 2 ( )a b a b （ 2） 2 ( 2 5 3 ) 3 ( 2 3 2 )a b c a b c 1 , 4 ) , ( 3 , 8 ) ，则 132。 题型 已知向量 ,下图，请 做出向量 132 322 a b 题型 知向量求未知向量 中， D 是 中点，请用向量 表示 ，已知 ,A C a B D b，求 题型 4, 5)， (2,3)A ，则点 B 的坐标是 。 3, 5 ) ， (3,7)P ，则点 Q 的坐标是 。 个 力 1 (1,2)F , 2 ( 2,3)F , 3 ( 1, 4)F ,则 合力的坐标为 。 3 3, 4)a ， (5, 2)b ，求 ， ， 32。 1, 2 ), (3, 2 )量 ( 2 , 3 2 )a x x y 与 等，求 , 2, 3)， ( , )BC m n ， ( 1, 4) ，则 。 是坐标原点， ( 2 , 1) , ( 4 , 8 )，且 30C，求 坐标。 题型 断下列每组向量是否能构成一组基底： 1 2e e e e 2 13 2 6e e e e和 2 133e e e e 1e e e3,4)a ，能与 a 构成基底的是（ ） A. 34( , )55B. 43( , )55C. 34( , )55D. 4( 1, )3题型 是坐标原点，点 A 在第二象限， | | 2， 150，求 是原点，点 A 在第一象限， | | 4 3， 60，求 题型 量积 | 3, | | 4，且 a 与 b 的夹角为 60 ，求（ 1） ，（ 2） ()a a b ， （ 3） 1()2a b b， （ 4） ( 2 ) ( 3 )a b a b 。 2 , 6 ) , ( 8 , 1 0 ) ，求（ 1） | |,| | 2） ，（ 3） (2 )a a b，（ 4） ( 2 ) ( 3 )a b a b 。 题型 角 | 8, | | 3， 12 ，求 a 与 b 的夹角。 3 , 1 ) , ( 2 3 , 2 ) ，求 a 与 b 的夹角。 1,0)A ， (0,1)B ， (2,5)C ， 求 。 4 题型 | 3, | | 4，且 a 与 b 的夹角为 60 ， 求 （ 1） |，（ 2） | 2 3 |。 2 , 6 ) , ( 8 , 1 0 ) ，求（ 1） | |,| | 5） |，（ 6） 1|2 | 1 | | 2， ， | 3 2 | 3，求 | 3 |。 题型 【 与 a 平行的单位 向量：|】 12,5)a 平行的单位向量是 。 ( 1, )2m 平行的单位向量是 。 题型 平行 与垂直 6,2)a ， ( 3, ) ，当 m 为何值时，（ 1） / 2） ？ 1,2)a ， ( 3, 2)b ， （ 1） k 为何值时，向量 ka b 与 3垂直？ （ 2） k 为何值时，向量 ka b 与 3平行？ a 是非零向量， a b a c ，且 ，求证： ()a b c。 题型 题 0, 2)A ， (2,2)B ， (3,4)C ，求证： ,点共线。 ( 5 ) , 2 8 , 3 ( )2A B a b B C a b C D a b ，求证： A B D、 、 三点共线。 5 , 5 6 , 7 2A B a b B C a b C D a b ，则一定共线的三点是 。 1, 3)A ， (8, 1)B ，若点 ( 2 1, 2 )C a a在直线 ，求 a 的值。 0,0)O ， (3,4)A ， ( 1,2)B ， (1,1)C ，是否存在常数 t ，使 O A O C成立？ 题型 AB e ， 5CD e ，且 | | | |C ,则四边形的形状是 。 1,0)A ， (4,3)B ， (2,4)C ， (0,2)D ，证明四边形 梯形。 2,1)A ， (6, 3)B ， (0,5)C ，求证： 是直角三角形。 ( 1 , 8 ) , ( 4 , 1 ) , (1 , 3 )O A O B O C ,求证： 是等腰直角三角形。 题型 合 应用 (1,0)a ， (2,1)b ，当 k 为何值时，向量 ka b 与 3平行？ 3 , 5 )a ，且 ， | | 2b ，求 b 的坐标。 向， (1,2)b ，则 10 ，求 a 的坐标。 1,2)a ， (3,1)b ， (5,4)c ，则 c a b 。 5,10)a ， ( 3, 4)b ， (5,0)c ，请将用 向量 ,量 c 。 ,3)， (2, 1)b ，（ 1）若 a 与 b 的夹角为钝角，求 m 的范围； （ 2）若 a 与 b 的夹角为锐角，求 m 的范围。 6,2)a ， ( 3, ) ，当 m 为何值时，（ 1） a 与 b 的夹角为钝角？（ 2） a 与 b 的夹角为锐角？ 顶点坐标分别为 ( 1,2)A ， (3,4)B ， (2,1)D ，且 /C ， 2D ，求点 C 的坐标。 6 三个顶点的坐标分别为 (2,1)A ， ( 1,3)B ， (3,4)C ，求第 四个顶点 km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成 30 角，求水流速度与船的实际速度。 三个顶点的 坐标分别为 (3,4)A ， (0,0)B ， ( ,0) （ 1）若 0C，求 c 的值；（ 2）若 5c ，求 值。 【备用】 | 3 , | | 4 , | | 5a b a b ，求 |和向量 , x a b， 2y a b，且 | | | | 1， ，求 , 1 , 3 ) , ( 2 , 1 ) ，则 ( 3 2 ) ( 2 5 )a b a b 。 3 , 4 ) , ( 2 , 1 ) ，求当 a xb a b与 垂直时的 x 的值。 向量 (1 , 3 ) , ( 2 , )， 夹角 为锐角，求 的范围。 变式： 若 ( , 2 ) , ( 3 , 5 ) ， 夹角 为钝角，求 的取值范围。 选择、填空题的特殊方法： 例：已知向量 (1 , 1 ) , (1 , 1 ) , ( 1 , 2 )a b c ，则 c （ ） A. 1322B. 1322C. 3122. 3122变式： 已知 (1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 1 , 2 )a b c ，请用 ,c 。 例：已知 M 是 的重心，则下列向量与 线的是（ ） A. A M M B B C C C. C D. A M B M C M 7 广东省近八年高考试题 科） 1.(2007年高考广东卷第 10小题 ) 若向 量 a 、 b 满足 |a |=|b |=1， a 与 b 的夹角为 120 ，则 a a a b 2.(2008 年高考 广东卷第 3 小题 ) a =（ 1， 2）， b =（ 2， m），且 a b ，则 2a + 3b =（ ） A. （ 5， 10） B. （ 4， 8） C. （ 3， 6） D. （ 2， 4） 4.(2009 年高考广东卷第 3 小题 ) 已知平面向量 a= ,1x（ ） ， b= 2, ） ， 则向量 （ ） A 平行于 x 轴 象限的角平分线 y 轴 象限的角平分线 5. (2010 年高考广东卷第 5 小题 )若向量 a =（ 1,1）， b =（ 2,5）， c =(3,x)满足条件 (8a b )c =30，则 x = ( ) A 6 B 5 C 4 D 3 6.(2011 年高考广东卷第 3 小题 )已知向量 ( 1 , 2 ) , ( 1 , 0 ) , ( 3 , 4 )a b c 若 为实数 ,( / / ,a b c 则 ( ) A 14B. D. 2 7.(2012 年高考 广东卷第 3 小题 ) 8若向量 (2,3)， (4, 7)，则 （ ） A ( 2, 4) B