河北省2017届高三二模考试数学试题（理）含答案

河北省 2017 届高三下学期二模考试 数学（理）试题 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1. 设集合 0 ,1, 2 , 3, 4 , 5U ， 1,2,3A ， 2 5 4 0B x Z x x ， 则 B（ ） A 1,2,3 B 1,2 C 2,3 D 2 i 是虚数单位，则 21 （ ） A 1 B 22 C 2 D 2 3. 某路口的红绿灯，红灯时间 为 30 秒，黄灯时间为 5 秒，绿灯时间为 40 秒，假 设你在任何时间到达该路口是等可能的，则当你到达该路口时，看见 不是 黄灯的概率是 （ ） A 1415B 115C 35D 且 21 2 4 3 72 4 , 4a a a a a ， 则5a（ ） A 116B D 40 边长为 6， M 在边 且 3M ， N 为 中点，则N（ ） A 6 B 12 D 12 若 x A B ,则 或 ； 2,x ， 都有 2 2 ； 若 , 是 22的充分不必要条件； “ 20 0 0, 2 3x R x x ” 的否定是 “ 2, 2 3x R x x ” . 其中真命题的个数是 （ ） A 1 B 2 D 4 7. 已知等比数列 q ，2 2 11 , 6n n na a a a ， 则 项和4S（ ） A 152B 152C. 15 D 30 8. 九章算术是中国古代第一部数学专著，书中有关于 “ 堑堵 ” 的记载， “ 堑堵 ” 即底面是直角三角形 的直三棱 柱 堑堵 ” 被 一 个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体 积是 （ ） A 50 B 75 C. D . 已知函数 1 c o s 2 2 s i x m x m x ，其中 12m ） A 14B 1 C. 33 D 31 10. 已知 F 是双曲线 22: 1 0 , 0a 的右焦点， , 的左、右顶点 D 为 C 上一点， DF x 轴 的直线 l 与线段 于点 E ，与 y 轴交于点 M ， 直线 y 轴交于点 N ，若 32N ，则双曲线 C 的 离 心 率 为 （ ） A 3 B 4 C. 5 D 6 知椭圆 221 :14， 曲线 22 :1C y x与 y 轴的交点为 M ， 过坐标原点 O 的直线 l 与2线 ,别与1 ， 则 D的值是 （ ） A 正数 B 0 C. 负数 D 皆有可能 x x ， 20 , 0 1 ,4 2 , 1 , 若方程 f x g x a有 4 个实根，则a 的取值范围是 （ ） A 0,1 B 0, 2 C. 1,2 D 1,2 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每 题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） s i n 0 , 0 ,2f x A x A 的部分图象如图所示，则 的直线： 1 2 0kx y k 与圆： 221 5 9 相切于点 N ，则 ， /C ， 0 2 4A B B C A B B C ， ， 交于点 E ，D 则 D 的等差数列 n 项和为2 5 11,a a *11 2 0 , , S m n m n N ，则 的值是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17. 在 中， ,对边，且 2 2 3a c b a c . （ 1）求角 B 的大小 ； （ 2）若 2b ， 且 s i n s i n 2 s i n 2B C A A ， 求 的面积 . 18. 当今，手机已经成为人们不可或缺的交流工具，人们常常把喜欢玩手机的人冠上了名号“ 低头族 ” ， 手机已经严重影响了人们的生活，一媒体为调查市民对低头族的认识，从某社区的 500 名市民中，随机抽取 n 名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表和频率分布直方图如图 ： （ 1）求出表中的 ,值 ，并补全频率分布直方图； （ 2）媒体记者为了做好调查工作，决定从所随机抽取的市民中 按年龄采用分层抽样的方法抽取 20 名接受采访，再从抽出的这 20 名中年龄在 30,40 的选取 2 名担任主要发言人记这 2 名 主要发言人 年龄在 30,40 的人数为 ，求 的分布列及数学期望 菱形 在平面互相垂直，如图，其中 12D， ，3， 点 N 是线段 中点 . （ 1） 试 问 在 线 段 是 否 存 在 点 M ， 使得直线 /面 若存在，请证明/面 并求出 不存在，请说明理由； （ 2） 求二 面角 N 的正弦值 . 圆 22: 1 0a 的左 ， 右顶点，点 0, 2P ， 直线 于点 Q ， 32B 且 是等腰直角三角形 . （ 1） 求椭圆 E 的方程； （ 2） 设过点 P 的动直线 l 与 E 相交于 ,坐标原点 O 位于以 直径的圆外时，求直线 l 斜率的取值范围 . p x x x ， xq x a xe a R. （ 1） 若 ，设 f x p x q x，试证明 存在唯一零点0 10,x e， 并求 （ 2） 若关于 x 的不等式 p x q x 的解集中有且只有两个整数 ， 求实数 a 的取值范围 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 标系与参数方程 在平面直角坐标系 ，曲线1 3 c o s ,3 s （ 为参数 ） 为极点， x 轴 的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2 . （ 1） 分别写出1 （ 2） 若射线 l 的极坐标方程 03，且 l 分别交曲线12 两点，求 等式选讲 己知函数 3f x x x . (1)解 关 于 x 的不等式 5f x x ； （ 2） 设 ,m n y y f x， 试比较 4与 2 的大小 . 试卷答案 一、选择题 1 6 11、 12： 、填空题 13. 由图中条件求得 2， 则 =2 ， 再代入点 ,23可得 =6 ， 故 2 s i n 2 6f x x 14. 4 15. 2 165A E C D A E C E A E C E B E 、解答题 1）把 2 2 3a c b a c 整理得 ， 2 2 2a c b ， 由余弦定理有 2 2 2 1c o 2a c b a cB a c a c ， . (2) 中， A B C ， 即 B A C ，故 s in s C， 由已知 s i n s i n 2 s i n 2B C A A 可得 s i n s i n 2 s i n 2A C C A A ， s i n c o s c o s s i n s i n c o s c o s s i n 4 s i n c o A C C A C A A A ， 整理得 c o s s i n 2 s i n c o A A . 若 A ，则2A ， 于是由 2b ，可得 2 2 3ta n 3c B， 此时 的面积为 1 2 323S . 若 A ，则 ， 由正弦定理可知， 2， 代入 2 2 2a c b 整理可得 234a ，解得 233a，进而 433c， 此时 的面积为 1 2 3s i a c B. 综上所述， 的面积为 233. 18. 解 :(1)由题意知频率分布表可知 : 5 0 1 0 0n ，所以 1 0 0 0 3 5a ， 30 补全频率分布直方图，如图 所示， (2)设抽出的 20 名受访者年龄在 30,35 和 35,40 分 别 有 ,分层抽样可得20100 35 30，解得 7, 6，所以年龄在 30,40 共有 13 名 . 故 可能取值为 0， 1， 2. 026721370 26 ， 116721371 13 ， 206721352 26 的 分布列为 ： 7 7 5 1 20 1 22 6 1 3 2 6 1 3E （ 1） 作 中点 P ，连接 点 M ， M 点即为所求的点 . 证明：连接 N 是 中点， P 是 中点， /F ， 又 平面 平面 直线 /面 / / , / /P E A D A D B C， /C ， 2E. （ 2） 由 （ 1） 知 D ， 又面 面 面 面 D ， 面 所以 面 故 ,P N A D P N N C. 以 N 为空间原点， ,C 别为 ,建立空间直角坐标系 N ， 23A D C A D D C ， 为正三角形， 3， 0 , 0 , 0 , 3 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1 , 1N C D E， 0 , 1 , 1 , 3 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 3 , 1 , 0N E N C D E D C . 设平面 一个法向量 1 ,n x y z，则由110 , 0n N E n N C 可得 0,3 0,令 1y ，则 1 0,1, 1n . 设平面 一个法向量 2 1 1 1,n x y z，则由220 , 0n D E n D C 可得 1110,3 0,令1 1x，则 2 1, 3, 0n . 则12121236c o s ,422 ， 设二面角 N 的平面角为 ，则 26 1 0s i n 144 ， 二面角 N 的正弦值为 104. 20.（ 1） 22 14x y；（ 2） 332 , , 222 解 ：（ 1） 由题意知 是等腰直角三角形，所以 2 , 2 , 0 , 2 , 0a A B ， 设 ,Q x y ，由 32B，解得 64,55P代入椭圆方程，解得 2 1b . 椭圆方程为 ： 22 14x y； （ 2） 由 题意可知，直线 l 的斜率存在 ，设其方程为 2y ， 1 1 2 2, , ,M x y N x y ，整理得 : 221 4 1 6 1 2 0k x k x . 由直线 l 与 E 有两个不同的交点，则 0 ， 即 221 6 4 1 2 1 4 0 ，解得 :2 34k ， 由韦达定理可知 :1 2 1 2221 6 1 2,1 4 1 4kx x x ， 由坐标原点 O 位于以 直径的圆外， 则 0N，即1 2 1 2 0x x y y， 即 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 1 2 4x x y y x x k x k x k x x k x x 2 221 2 1 6101 4 1 4 ， 解得 : 2 4k ， 综上可知，23 44 k， 解得 : 322k 或 3 22 k直线 l 斜率的取值范围 332 , , 222 . 21.（ 1）证明：由题意知 l n 4 xf x x x e x e ， 于是 11111 1 1 x e x x e x e e x ex x x 令 1 xx ， 1 0 0xx e x e x ， x 在 0, 上单调递减 . 又 110 1 0 , 1 0 ， 所以存在0 10,x e， 使得 0 0x ， 综上 0,x e. 解：当 00 , , 0x x x， 于是 0 ， 00, 当 0 , , 0x x x ， 于是 0 ， 0,x 单调递 减； 故 00 0 0m a x l n 4 x f x x x e x e ， 又 00010xx e x e ，001x xe e ，0001 ， 故 00m a n 1 l n 4 5 1 6x x x e . （ 2）解： p x q x 等价于 xx x a . l n 4 l n 4l n 4 x a x e ax e x e ， 令 ， 则 21 l n 5xx x ， 令 x x x ， 则 1 10 ，即 x 在 0, 上单调递 增 . 又 3 l n 3 2 0 , 4 l n 4 0 ， 存在 0,， 使得 0t . 当 0 , , 0x t x h x h x 在 0,t 上单调递增 ； 当 , , 0x t x h x h x 在 ,t 上单调递 减 . 23 l n 2 21 0 , 2 02 ， 3n 3 1303h e， 且当 x 时 ， 0， 又 233 2 l n 2 l n 3 11 , 2 323h h he e e ， 42h e， 故要使不等式 p x q x 解集中有且只有两个整数 ， a 的取值范围 应为32 1 2 . 1）将1 2 213 ， 即 222 2 0x y x ， 1 2 c o s 2 0 . 将2程化为 直角 坐标方程为 221. （ 2）将 =3代入1:C 2 2 c o s 2