管理科学研究方法

-装- - 订 -装- - 订 -线- 班级 姓名 班级 13 级艺术学院 环艺一班 姓名 甄晓贤 学号- 广广 东东 财财 经经 大大 学学 答答 题题 纸（格式二）纸（格式二） 课程 管理科学研究方法 20 13 20 14 学年第 二 学期 成绩 评阅人 徐辉 评语： 线性规划在经济管理中的应用线性规划在经济管理中的应用 摘要：摘要：线性规划是运筹学中发展较快，方法较成熟的一个重要分支，已经被广泛的应用 于工业、农业、交通运输、商业、国防、邮电及经济管理等领域，帮助决策人员科学地制 定方针和决策。本文主要阐述了线性规划的原理以及计算方法，并通过若干实际案例来说 明如何应用线性规划来解决经济管理中所遇到的问题。 关键词：关键词：线性规划模型 经济管理 数学模型 1 1、引、引 言言 源总是有限的。因此，我们就应该科学地组织各项经济活动，以使这些资源受到充分 的利用，从而取得最大的经济效益。本文将就这一问题做些简要的论述。源总是有限的。 因此，我们就应该科学地组织各项经济活动，以使这些资源受到充分的利用，从而取得最 大的经济效益。本文将就这一问题做些简要的论述。 当前我们国家正在进行伟大的社会主义现代化建设，世界各国也都在努力发展自 己的经济。 经济建设需要投入大量的人力、物力和财力等资源，而任何一个国家的 资源总是有限的。因此，我们就应该科学地组织各项经济活动，以使这些资源 受到充分的利用，从而取得最大的经济效益。本文将就这一问题做些简要的论述。 2.2.线性规划简介线性规划简介 线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设 计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、 财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理 安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务. 1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线 2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”： 任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的 一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域若 直 线 不 过 原点，通 常 选 择 原 点 代入检验 3. 平 移 直 线 k 时，直线必须经过可行域 4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域， 此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点 5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是 以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标 函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数 的最优解. 线性规划的主要研究内容是求解线性目标函数在一定约束条件下的极值问题。而 在经济管理领域。许多实际问题都能够转化为线性规划问题，求解线性规划问题的 最优解就是得到这些实际问题的解，也就是指导经济生活的最佳方案。实际问题转 化为线性规划问题的首要步骤就是建立线性规划数学模型。 求解数学模型的过 程即为解决实际问题得到最佳方案的过程。 数学模型建立的一般步骤为;第一， 列出约束条件及目标函数；第二，画出约束条件所表示的可行域；第三，在可行域 内求目标函数的最优解及最优值。线性规划问题的满足线性约束条件的解叫作可行 解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。决策变量、约束条件、目标函数是线性 规划问题的三要素。其中决策变量对应实际问题中出现的未知因素。约束条件对应 实际问题中的限制因素，而目标函数即为实际问题的数学表达形式。 2 2. .1 1 线线性性规规划划问问题题的的一一般般数数学学表表达达式式 规划问题的一般数学表达式是：求解n 个非负的数 x1，x2，xn，要 求它们满足 m 个关系式 gi（x1，x2，xn（或，或 ） bi（i=1，2，m），并使 f(x1，x2，xn)有最大值或最小值。这里的 （x1，x2，xn）称为决策变量； gi（x1，x2，xn）（或，或 ）bi 称为约束条件； f(x1，x2，xn)称为目标函数，它们一般都有确定的 形式。 Bi（i=1，2，m）一般是已知常数。 当约束条件和目标函数都是关于（x1，x2，xn）的线性关系式，且 可取任意非负实数时，上述规划问题就称为线性规划问题。 2 2. .2 2 线线性性规规划划处处理理问问题题的的工工作作步步骤骤 围绕着模型的建立、修正与实施，利用线性规划处理问题的步骤可以概括如下： 1.提出和形成问题。分析和表述需要解决的问题，确定目标，并分析问题所处的环 境和约束条件。 2.建立模型。即把问题中可控变量、参数和目标与约束之间的关系 用一定的模型表示出来。3.求解。将模型求解。解可以是最优解、次优解、满意解。 复杂模型的求解需用计算机，解的精度要求可由决策者提出。4.解的检验。首先 检查求解步骤和程序有无错误，然后检查解是否反映现实问题。5.解的控制。 通过控制解的变化过程决定对解是否要做一定的改变。6.解的实施。是指将解用 到实际中必须考虑到实施的问题。 2.3 线性规划模型的建立方法 应用线性规划的第一步，是建立线性规划的数学模型。建立线性规划数学模型 的基本步骤是： 1.确定决策变量。针对所要解决的生产资源安排的具体问题，确定 一组变量，一般用x1、x2、，xn 表示。 2.确定目标函数。用上面所确定一组变量（x1、x2、，xn）建立一个线 性函数，表示解决该问题要达到的目标，称目标函数。明确求目标函数最大值还是 最小值。 3.确定约束条件。实现目标函数时，对变量存在一定限制条件，在数学上称为 约束条件 3.3.线性规划的数学模型建立和求解方法线性规划的数学模型建立和求解方法 3 3. .1 1 线线性性规规划划的的数数学学模模型型 线性规划的数学模型分为一般形式和标准形式两种,其一般形式表示如下： 由于在实际应用过程当中，实际问题的复杂化，多样化都会导致建立数学模型时 约束条件以及目标函数在内容和形式上的巨大差异，为了方便讨论以及规范计算方 法，可以将一般形式转化为标准形式，转化过程必须掌握三个原则；目标最值化， 约束等式化以及变量非负化3。 转化之后的标准表示形式如下： 其中算是 (1)、(4)、(7)均为目标函数，而 (2)、(3)、4)、(6)、(8)为 约束条件。 3 3. .2 2 线线性性规规划划的的求求解解方方法法 线性规划问题的求解方法多种多样，早在 1947 年，美国数学家G. B. Dantzig 便提出了求解线性规划问题的单纯形方法，而这种方法也日益成熟，成为 求解线性规划问题的通用方法。单纯形法的理论根据是：线性规划问题的可行域是 n 维向量空间 Rn 中的多面凸集 , 其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到， 顶点所对应的可行解称为基本可行解4-6。其主要思想是先找到一个初始基本可 行解， 鉴别此初始基本可行解是否为最优解，如不是，则从此初始基本可行解出发， 经过一定的转化法则求得一个使目标函数值有所改善的基本可行解，再进行鉴别， 如仍不是最优解，继续进行转化和鉴别，通过不断改进基本可行解，力图得到最优 基本可行解曰由于基本可行解的个数有限，经过有限次转换必能得到一个最优解。 然而单纯形法有一个弱点， 那就是它们首先要找出一组基本可行解，再从这个基 本可行解出发求改进的基本可行解，目前较常见的求初始基本可行解的方法有两种， 一种是两阶段法曰另外一种是大M 法7。 除却单纯形算法，另外一种方法也得到了广泛的应用，即Karmarkar 算法。 Karmarkar 算法是由印度科学家Karmarkar 于 1984 年提出，一经提出便引起了轰 动。 Karmarkar 算法极大的提高了线性规划的求解时间，因此也被称为多项式时间 算法。 Karmarkar 算法与单纯形算法的不同之处在于，两者的出发点不同，单纯形 从边界出发，而Karmarkar 算法从内部出发，并永不从边界走。 3.线性规划在经济管理中的应用案例 在经济管理中时常会遇到譬如如何获得最大产出率或者利润率的问题， 如 何解决这些问题都是在线性规划研发的范畴内。 3 3. .3 3 最最大大利利润润问问题题 先假设某工厂需要在计划期内生产三种产品x1, x2, x3，这三种产品都分别 需要使用四台设备进行加工， 四台设备分别以A, B, C, D 表示， 根据生产工 艺， 产品 x1、x2、x3 各需要使用四台设备的加工台时数见下表（表1），已 知各设备在计划期内有效台时数分别是16 , 14 , 20 , 16， (一台设备工作一 小时称为一台时 )， 该工厂每生产一件x1 产品可得利润 2 万元，而每生产一 件 x2 产品可得利润 3 万元，每生产一件x3 产品可获得利润1 万元， 问题是 工场如何安排生产计划 , 才能获得最大的利润 ? 表 1 三种产品所需要的台时数 设备 产品ABCD x11230 x22203 x33110 第一步，建立模型， 第二步，将其化为线性规划的标准形。 引入松弛变量： x4 要设备 A 的闲置台时数 x5 要设备 B 的闲置台时数 x6 要设备 C 的闲置台时数 x7 要设备 D 的闲置台时数 标准型表示式为： 3 3. .4 4 投投资资收收益益率率最最大大问问题题 假设某人利用 10 万元现金进行投资，并具有以下 3 种投 资项目： 项目 A：从第一年到第四年每年年初需要投资, 并于次年末回收本利 110 % ; 项目 B： 第三年年初需要投资 , 到第五年末回收本利 125%, 但规定最大投 资额不超过 5 万元 ; 项目 C：五年内每年初可买公债，于当年末归还，并加利息7%， 问如何确 定这些项目每年的投资额, 使得此人第五年末拥有的资金本利总额最大？ 第一步，可根据投资情况建立投资份额表，如下表（表2）： 表 2 投资份额表 年份 投资项目 123 45投资限额(万元) Ax1ax2ax3ax4a Bx3b50000 Cx1cx2cx3cx4cx5c 上表中 xia，xib，xic(i=1,2,3,4,5)分别代表第 i 年年初向项目 A，B，C 项 目投入的投资额。 第二步：确定目标函数，在此例中如何获得最大的本利总额，设Z 为最大的 本利总额，目标函数应该是三项投资在第五年末回收的本利之和， 第三步：确定函数的约束条件， 在此例中，要想获得最大的收益，必须在每年 年初就将手头全部资金投出去，这是原则一， 每年年底收获的本息总额即为第 二年年初的投资总额，这为原则二， 根据这两个原则，可以确定如下关系式： 第五步，求解此模型，根据单纯形法的迭代运算(具体步骤此处省略 )求得最 佳的投资方案如下： 第一年 : x1a =30000 元, x1c =70000 元 第二年 : x2a =2249 元, x2c =5000 元 第三年 : x3a = 0 元, x3b = 50000 元, x2c = 0 第四年 : x4a = 45000 元, x4c = 0 第五年 : x5c = 0 到第五年末期拥有总金额为 126250 元, 即盈利 26.25 %。 4 4、结语、结语 最重要的方面有三个：认识到多数的实际计划关系都可以用一组线性不等式来刻画；用一 个目标函数作为选取一个较好计划而设定的一基本规则；单纯形法使得有关经济的不太复 杂的线性规划模型变成了对大而复杂系统进行实质规划的一个基本工具。通过线性规划的 运用，可以解决现实生活当中的最优化问题。在现代强大计算机系统的支持下，线性规划 在经济管理上的应用范围由微观不断向宏观方面拓展，计算方法也在内点理论方面取得长 足进步。因此，线性规划理论的普及与应用的深入可以预见有更美好的前景。这里所谈的 粗浅见解和 简单示例中使用的技术很容易根据具体实际问题的信息变化进行移植。从这个意义上讲， 相信会对进行线性规划经济管理和其他方面应用的工作者有所裨益和帮助。 参考文献参考