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数字信号处理 amplitudeamplitude timetime frequencyfrequency ( (a) a) 8 频率归一化与滤波器转换 l l 模拟滤波器频率转换模拟滤波器频率转换 l l 巴特沃斯滤波器设计巴特沃斯滤波器设计 l l 数字滤波器设计数字滤波器设计 l l 实例分析实例分析 2 firfir滤波器滤波器 单位抽样响应是有限长的，滤波器一定是稳定的。只要经 过一定的延时，任何非因果有限长序列都变成因果因果的有限 序列。 fir数字滤波器具有严格的严格的线性相位线性相位、任意的幅度特性任意的幅度特性。 因此：因此： firfir数字滤波可用数字滤波可用fftfft算法、时域卷积定理等来实现。算法、时域卷积定理等来实现。 回顾顾 稳定系统稳定系统 的条件？的条件？ 3 回顾顾 l l 第第i i类线性相位：类线性相位： 严格线性严格线性 h h( (n n) )必须以必须以( (n n-1)/2-1)/2为中心偶对称为中心偶对称 4 回顾顾 n又分两种情况 ： l 偶数 l 奇数 此时，幅度为： 5 回顾顾 l l 第第ii ii类线性相位类线性相位 h h( (n n) )必须以必须以( (n n-1)/2-1)/2为中心奇对称为中心奇对称 6 回顾顾 n分两种情况： l 偶数 l 奇数 此时，幅度为： 7 回顾顾 l l设计设计任务任务 选择选择 有限长长 ，得到系统统函数 ，使得： l l幅频特性幅频特性 满足技术指标要求满足技术指标要求； l l相频特性相频特性 达到线性相位达到线性相位。 l l 设计目标设计目标 给定：给定：拟设计理想滤波器的频率响应理想滤波器的频率响应： 设计：设计：一个fir滤波器频率响应： 去逼近理想滤波器的频率响应理想滤波器的频率响应。 逼近逼近 8 回顾顾 其中 ： 0nn-1 其他 l l 设计思路设计思路 无限长、非因果无限长、非因果 有限长、因果有限长、因果 截断截断 逼近逼近 9 l l 设计步骤：设计步骤： 给定希望逼近的频率响应函数给定希望逼近的频率响应函数 ： 回顾顾 若没有90相移的特殊要求，一般选择滤波器具有第第i i类类线性 相位： 其中其中 ： 10 求单位脉冲响应求单位脉冲响应 ： 如果很复杂或不能直接计算积分，则必须用求和代替积分，以 便在计算机上计算，也就是要计算离散傅里叶逆变换傅里叶逆变换，一般都采用 fft来计算。 回顾顾11 由过渡带宽过渡带宽及阻带最小衰减阻带最小衰减的要求，可选定窗形状 选定窗形状，并估估 计计窗口长度n n。原则是在保证阻带衰减满足要求的情况下 ，尽量选择尽量选择主瓣主瓣窄的窗函数窄的窗函数： 计算所设计的fir滤波器的单位脉冲响应（时域乘积时域乘积）： 回顾顾 由h(n)求fir滤波器的系统函数h(z) ： 12 设计一个线性相位的fir低通滤波器，指标如下： l 采样频率fs=15khz l 通带截止频率p=21.5103 rad/s l 阻带起始频率s=23103 rad/s l 阻带最小衰减-50 db 例 113 【解】 （1 1） 首先由由给出的模拟频率模拟频率， 求出对应的数字频率数字频率： 通带截止频率 阻带截止频率 例 1 最后，得到理想低通滤波器的频响： 再求3db截止频率 ： 其对应的数字频率: 14 例 1 （2 2）进一步得到时域表达式： （3 3）由于2=50db，查表7.2.2，可选哈明窗哈明窗，其阻带最小衰减-53db满足 要求。所要求的过渡带宽： 由于哈明窗过渡带宽满足 ，因此，得到： 确定确定 15 （4 4）确定fir滤波器的h(n)： 例 1 （5 5）由h(n)求h(ej)，检验各项指标是否满足要求。 如不满足要求，可再改变如不满足要求，可再改变n n，或改变窗函数形状（或两者都或改变窗函数形状（或两者都 改变）来重新计算。改变）来重新计算。 16 回顾顾 fir1 函数 matlab提供了fir1函数，以实现线性相位fir滤波器。阅读阅读p p213 213 调用格式如下： hnhn=fir1(n, =fir1(n, wcwc, , ftypeftype, window), window) 参数：参数： nn：阶数 nwc：归一化的数字频率，0wc1。 n n ftypeftype：滤波器类型，如高通、带阻等。：滤波器类型，如高通、带阻等。当ftype=high时，设计高通fir 滤波器；当ftype=stop时，设计带阻fir滤波器。注意，在设计高通和 带阻滤波器时，阶数n只能取偶数(h(n)长度n+1为奇数)。不过，当用 户将n设置为奇数时，fir1会自动对n加1。 n n windowwindow：应用的窗函数类型，默认为：应用的窗函数类型，默认为hamming窗。 17 回顾顾 fir1 函数 例如：例如： hnhn=fir1(n,wc,bartlett(=fir1(n,wc,bartlett(n+1n+1) )%使用bartlett窗设计 hnhn=fir1(n,wc,chebwin(=fir1(n,wc,chebwin(n+1n+1,r),r) %使用chebyshev窗设计 下面的实例代码：下面的实例代码： wcwc=29/66;=29/66; n=32; n=32; %n=h(n)的长度减1 hnhn=fir1(n,wc,high)=fir1(n,wc,high) 18 例 2 用函数设计滤设计滤 波器 用窗函数法设计线性相位的fir低通滤波器，实现对模拟信号采样后进 行数字低通滤波，对模拟信号模拟信号的滤波要求如下： l 通带截止频率：=2 khz l 阻带截止频率：=3 khz l 阻带最小衰减：40 db l 采样频率： =10 khz 选择合适的窗函数及其长度，求出 ，并画出幅频特性衰减曲线和 相频特性曲线。 模拟参数模拟参数 19 例 2 用函数设计滤设计滤 波器 【解】 （1 1）根据题意确定相应的数字滤波器指标： l 通带截止频率： l 阻带截止频率： l 阻带最小衰减： l 过渡带宽度： 转换为转换为数字数字 参数参数角频率角频率 20 例 2 用函数设计滤设计滤 波器 （2 2）选择窗函数w(n)，计算窗函数长度n 由阻带衰减为40 db知道，hanning和hamming窗函数都满足要求，这 两种窗函数过渡带宽度相同。这里选hamming窗： hamming窗函数的过渡带宽度为： 所以应当满足： 解之得到： 21 例 2 用函数设计滤设计滤 波器 （3 3）确定希望逼近的理想低通滤波器截止频率 我们知道， 频率点 (该点为过渡带中心)处滤波器频响幅度为0.5(等 价于衰减6db)， 所以： 代码如下：代码如下： fpfp=2000; =2000; %初始化 fs fs=3000; =3000; fs=10000;fs=10000; wpwp=2*pi*=2*pi*fpfp/fs; /fs; %参数转化 wsws=2*pi*=2*pi*fs fs/fs;/fs; b=b=ws-wpws-wp; ; %计算过渡带的宽度 n=n=ceilceil(8*pi/b);(8*pi/b);% 计算阶数n，ceil(x)取大于等于大于等于 x 的整数 wcwc=(wp+b/2)/=(wp+b/2)/pipi; ;%设置理想带通截止频率(关于关于归一化归一化) 22 例 2 用函数设计滤设计滤 波器 hn=hn=fir1fir1(n-1,wc);(n-1,wc);% 求h(n) m=1024;m=1024;% 以下为计算频率相应函数和绘图部分 hk=fft(hn,m);hk=fft(hn,m);% 求h(n)的fft变换 n=0:n-1;n=0:n-1; figure(1);subplot(1,2,1); stem(n,hn,.);figure(1);subplot(1,2,1); stem(n,hn,.);% 绘制h(n)的火柴杆图 xlabel(n); ylabel( h(n);xlabel(n); ylabel( h(n); grid ongrid on k=1:m/2+1;k=1:m/2+1; w=2*(0:m/2)/m;w=2*(0:m/2)/m; subplot(1,2,2);subplot(1,2,2); plot(w,20*log10(abs(hk(k);plot(w,20*log10(abs(hk(k);% 绘制h(n)的角频谱图(rad/s) axis(0,1,-100,5); axis(0,1,-100,5); xlabel(/xlabel(/); ); ylabel(20lg|hg()|);ylabel(20lg|hg()|); grid ongrid on 23 例 2 用函数设计滤设计滤 波器 所设计的滤波器如下： 24 例 2 用函数设计滤设计滤 波器 绘制频谱（绘制频谱（hzhz）：）： figure(2);figure(2); hk,hk,f f=freqzfreqz(hn(hn，11，10241024，fsfs); ); % % 没有分母，相当于其系数为没有分母，相当于其系数为1 1 plot(fplot(f，20*log10(abs(hk);20*log10(abs(hk); xlabel(xlabel(频率频率(hz);(hz); ylabel(ylabel(幅度幅度);); 25 例 3 信号提取 已知某信号由三个子信号叠加组成，表达式如下：已知某信号由三个子信号叠加组成，表达式如下： n n 用窗函数法设计一个用窗函数法设计一个firfir滤波器，滤波器，提取出提取出第第1 1个个信号；信号； n n 绘制滤波前、后的信号波形与频谱。绘制滤波前、后的信号波形与频谱。 26 例 3 信号提取 第第1 1步：初始化步：初始化 clear all; a1=3; % 信号1的幅度 a2=1.5; % 信号2的幅度 a3=5; % 信号3的幅度 f1=100; % 信号1的频率(hz) f2=250; % 信号2的频率(hz) f3=270; % 信号3的频率(hz) fs=1024; % 采样频率(hz) p1=-30; % 信号1的相位(度) p2=90; % 信号2的相位(度) p3=0; % 信号3的相位(度) n=1024; % 采样点数 t=0:1/fs:2*pi; % 采样时刻 x=a1*sin(2*pi*f1*t+pi*p1/180)+a2*cos(2*pi*f2*t+pi*p2/180)+a3*sin(2*pi *f3*t+pi*p3/180); 27 例 3 信号提取 第第2 2步：使用窗函数法设计步：使用窗函数法设计firfir滤波器滤波器 fp=100; % 通带截止频率 实际实验时根据需要调整 fs=150; % 阻带截止频率 wp=2*pi*fp/fs; % 转换为数字频率转换为数字频率： ws=2*pi*fs/fs; b=ws-wp; % 计算过渡带的宽度 m=ceil(8*pi/b); % 计算阶数m wc=(wp+b/2)/pi; % 设置理想带通截止频率(归一化) hn=fir1(m-1,wc);% 得到h(n) 28 例 3 信号提取 第第3 3步：绘制相关曲线步：绘制相关曲线 subplot(2,2,1); f=0:2*pi/100:2*pi; plot(f,x(1:101);title(滤波前的信号); xk = fft(x,n); % fft变换 axx = (abs(xk); % 取模 axx=axx/(n/2); % 换算成实际幅度:an=a/(n/2) axx(1)=axx(1)/2; % 换算第1个点模值：a0=a/n f=(1:n-1)*fs/n; % 换算成实际频率值：f=(n-1)*fs/n subplot(2,2,2); plot(f(1:n/2),axx(1:n/2); % 显示换算后结果,仅显示左半部分 title(滤波前信号的频谱); 29 例 3 信号提取 hk=fft(hn,n); yk=xk.*hk; y=ifft(yk); subplot(2,2,3); plot(f,y(1:101);title(滤波后的信号); ayy = (abs(yk); ayy=ayy/(n/2); ayy(1)=ayy(1)/2; f=(1:n-1)*fs/n; subplot(2,2,4); plot(f(1:n/2),ayy(1:n/2); title(滤波后信号的频谱); 进行滤波进行滤波 30 课课后思考题题 在例在例3 3上述基础上，查阅有关知识，实现上述基础上，查阅有关知识，实现： l l 提取第提取第3 3个信号个信号高通高通滤滤滤滤波器波器 l l 提取第提取第2 2个信号个信号带带带带通通滤滤滤滤波器波器 l l 提取第提取第1 1、3 3个信号个信号带带带带阻阻滤滤滤滤波器波器 下次课请同学上台演示下次课请同学上台演示 31 回顾顾 噪声基础础 一、白噪声一、白噪声 功率谱密度函数在整个频域内服从均匀分布。 之所以称为“白”噪声，是因为其类似于光学中包括全部可见光频率在 内的白光。 凡是不符合上述条件的噪声就称为有色噪声有色噪声。 白噪声是一种理想化模型，白噪声在数学处理上比较方便。 一般地，只要一个噪声过程所具有的频谱宽度远远大于它所作用系统噪声过程所具有的频谱宽度远远大于它所作用系统 的带宽，并且在该带宽中其频谱密度基本上可以作为常数来考虑，就的带宽，并且在该带宽中其频谱密度基本上可以作为常数来考虑，就 可以把它作为白噪声来处理可以把它作为白噪声来处理。 例如，热噪声和散弹噪声在很宽的频率范围内具有均匀的功率谱密度 ，通常均认为是白噪声. 32 回顾顾 噪声基础础 通信系统中的某些噪声的统计特性或数字特征符合高斯 过程（正态随机过程）的统计特性或数字特征，则称该 噪声为高斯噪声： 经大量观察表明，高斯噪声始终存在于任何一种信道中 ，因而，对它的研究具有特别重要的实际意义。 二、高斯噪声二、高斯噪声 33 回顾顾 噪声基础础 l 概率密度函数分布的正态性 l 功率谱密度函数分布的均匀性 l l 高斯白噪声高斯白噪声 当高斯噪声通过窄带系统时，即形成窄带高斯噪声 。 l l 窄带高斯噪声窄带高斯噪声 34 回顾顾 噪声基础础 1. wgnwgn() ()函数：函数：产生高斯白噪声 ly = wgn(m,n,p) 产生m行n列高斯白噪声矩阵，p指定输出噪声的强度。 ly = wgn(m,n,p,imp) 以欧姆(ohm)为单位指定负载阻抗。 ly = wgn(m,n,p,imp,state) 重置randn的状态。 在数值变量后还可附加一些标志性参数： ly = wgn(,powertype) 指定p的单位。powertype可以是dbw,dbm或linear。线性强 度(linear power)以瓦特(watt)为单位。 ly = wgn(,outputtype) 指定输出类型。outputtype可以是real或complex。 三、生成噪声三、生成噪声 35 回顾顾 噪声基础础 例如：例如： x = x = wgnwgn(100,1,0);(100,1,0); plot(xplot(x); ); 再如：再如： x = x = wgnwgn(100,1,0,complex);(100,1,0,complex); plot(xplot(x); ); 36 回顾顾 噪声基础础 2. awgnawgn() ()函数：函数：在信号x中加入高斯白噪声 ly = awgn(x,snr) 信噪比snr以db为单位。x的强度假定为0dbw。 ly = awgn(x,snr,sigpower) 如果sigpower是数值，则其代表以dbw为单位的信号强度；如果 sigpower为measured，则函数将在加入噪声之前测定信号强度。 ly = awgn(x,snr,sigpower,state) 重置randn的状态。 ly = awgn(,powertype) 指定snr和sigpower单位。powertype可以是db或linear。 如果powertype是db，那么snr以db为单 位，而sigpower以 dbw为单位。如果powertype是linear，那么snr作为比值来度 量，而sigpower以瓦特为单位。 37 回顾顾 噪声基础础 例如下面的代码：例如下面的代码： n=1000; t=linspace(0,50,n); x=3*sin(2*pi*0.2*t); 下面下面为为x x信号加噪声：信号加噪声： y=awgnawgn(x,15,measured); subplot(2,1,1); plot(t,x); subplot(2,1,2); plot(t,y); 38 回顾顾 噪声基础础 matlab提供了高斯噪声的滤除函数： l l h = h = gaussfir(btgaussfir(bt) ) l l h = h = gaussfir(bt,ngaussfir(bt,n) ) l l h = h = gaussfir(bt,n,ogaussfir(bt,n,o) ) 四、滤除高斯噪声四、滤除高斯噪声 39 回顾顾 噪声基础础 bt = . 3; o = 8; n = 2； h = gaussfir(bt,n,o);% 产生高斯滤波器 t=linspace(0,50,1000); x=3*sin(2*pi*0.2*t); y=awgn(x,15,measured); subplot(3,1,1); plot(t,x);% 原信号 subplot(3,1,2); plot(t,y);% 加噪后的信号 signal=conv(y,h);% 时域滤波（通过卷积运算） subplot(3,1,3); plot(signal);% 滤波后信号 40 例 4 滤滤波器法消除噪声 （1 1）原始信号）原始信号 fs=256; n=256; t=0:1/n:1;% 产生原始信号 tt=0:2*pi/100:2*pi; ut=2*sin(2*pi*30*t); figure(1)；subplot(3,2,1); plot(tt,ut(1:101);grid on; title(原始信号波形); ylabel(u(t); uk = fft(ut,n); axx = (abs(uk); axx=axx/(n/2); axx(1)=axx(1)/2; f=(1:n-1)*fs/n; subplot(3,2,2); plot(f(1:n/2),axx(1:n/2); ylabel(fft(u); title(原始信号频谱); 41 例 4 滤滤波器法消除噪声 （2 2）加噪信号）加噪信号 xt=awgn(ut,10,0); %加入高斯白噪声 subplot(3,2,3); plot(tt,xt(1:101);grid on; title(加噪后的信号波形); ylabel(x(t); xk=fft(xt,n); axx = (abs(xk); axx=axx/(n/2); axx(1)=axx(1)/2; f=(1:n-1)*fs/n; subplot(3,2,4); plot(f(1:n/2),axx(1:n/2); title(加噪后的信号频谱); ylabel(fft(x); 42 例 4 滤滤波器法消除噪声 （3 3）使用）使用firfir低通低通滤波器进行滤波滤波器进行滤波 fp=30; %初始化 fs=40; wp=2*pi*fp/fs; %参数转化 ws=2*pi*fs/fs; b=ws-wp; %计算过渡带的宽度 m=ceil(8*pi/b); % 计算阶数n，ceil(x)取大于等于x的整数 wc=(wp+b/2)/pi; %设置理想截止频率(关于归一化) hn=fir1(m-1,wc); hk=fft(hn,n); tempk=xk.*hk; yt=ifft(tempk); % 信号滤波 43 例 4 滤滤波器法消除噪声 （4 4）消噪后的信号）消噪后的信号 subplot(3,2,5); plot(tt,yt(1:101); grid on; title(消噪后的信号波形) ylabel(y(t); yk=fft(yt,n); axx = (abs(yk); axx=axx/(n/2); axx(1)=axx(1)/2; f=(1:n-1)*fs/n; subplot(3,2,6); plot(f(1:n/2),axx(1:n/2); title(消噪后的信号频谱); ylabel(fft(y); 44 例 4 滤滤波器法消除噪声 结果如下： 45 引言 已知某信号由三个子信号叠加组成，表达式如下：已知某信号由三个子信号叠加组成，表达式如下： n n 设计一个高通滤波器，设计一个高通滤波器，提取出提取出第第3 3个个正弦信号；正弦信号； n n 并并绘制滤波前、后的信号波形与频谱。绘制滤波前、后的信号波形与频谱。 46 引言 1 1：原信号：原信号 a1=3; a1=3; % 信号1的幅度 a2=1.5; a2=1.5; % 信号2的幅度 a3=5; a3=5; % 信号3的幅度 f1=100; f1=100; % 信号1的频率(hz) f2=180; f2=180; % 信号2的频率(hz) f3=270; f3=270; % 信号3的频率(hz) p1=-30; p1=-30; % 信号1的相位(度) p2=90; p2=90; % 信号2的相位(度) p3=0; p3=0; % 信号3的相位(度) fs=1024; fs=1024; % 采样频率(hz) n=fs; n=fs; % 采样点数 t=0:1/fs:2*pi;t=0:1/fs:2*pi;% 采样时刻 x=a1*sin(2*pi*f1*x=a1*sin(2*pi*f1*t+pit+pi*p1/180)+a2*cos(2*pi*f2*p1/180)+a2*cos(2*pi*f2*t+pit+pi*p2/180)+a3*sin(2*pi*f3*p2/180)+a3*sin(2*pi*f3 * *t+pit+pi*p3/180);*p3/180); figure(1);figure(1); f=0:2*pi/100:2*pi;f=0:2*pi/100:2*pi; subplot(2,2,1);plot(f,x(1:101);title(subplot(2,2,1);plot(f,x(1:101);title(原信号的波形原信号的波形);); xkxk = = fft(x,nfft(x,n); ); f=(1:n-1)*fs/n;f=(1:n-1)*fs/n; subplot(2,2,2);plot(f(1:n/2),abs(xk(1:n/2)/(n/2);subplot(2,2,2);plot(f(1:n/2),abs(xk(1:n/2)/(n/2); title(title(原信号的频谱原信号的频谱);); 47 引言 2 2：双线性变换法直接设计高通滤波器：双线性变换法直接设计高通滤波器 fpfp=250; =250; % % 通带截止频率通带截止频率 fs fs=190; =190; % % 阻带截止频率阻带截止频率 rprp=1;rs=25;=1;rs=25; wpwp=(=(fpfp/fs)*2*pi; /fs)*2*pi; % % 转换为数字的角频率转换为数字的角频率 wsws=(=(fs fs/fs)*2*pi;/fs)*2*pi; omegapomegap=2*fs*tan(wp/2); =2*fs*tan(wp/2); %频率预畸频率预畸 omegasomegas=2*fs*tan(ws/2);=2*fs*tan(ws/2); m,wcm,wc=buttord(omegap,omegas,rp,rs,sbuttord(omegap,omegas,rp,rs,s); ); b1,a1=b1,a1=butter(m,wc,butter(m,wc,highhigh,s,s);); bz,azbz,az=bilinearbilinear(b1,a1,fs);(b1,a1,fs); y=y=filter(bz,az,xfilter(bz,az,x); ); subplot(2,2,3);subplot(2,2,3); plot(f,y(1:101);plot(f,y(1:101); title(title(滤波后信号波形滤波后信号波形);); ykyk= =fft(y,nfft(y,n); ); subplot(2,2,4);subplot(2,2,4); plot(f(1:n/2),abs(yk(1:n/2)/(n/2);plot(f(1:n/2),abs(yk(1:n/2)/(n/2); title(title(滤波后信号频谱滤波后信号频谱);); 48 引言 二种方法设计（模拟）高通滤波器二种方法设计（模拟）高通滤波器 fs=512; fp=250; fs=190； rp=1;rs=25; (1)(1)：直接设计：直接设计 wp=(fp/fs)*2*pi; ws=(fs/fs)*2*pi; n,wc=buttord(wp,ws,rp,rs,s); b1,a1=butter(n,wc,high,s); (2)(2)：间接设计：间接设计 z,p,k=buttapbuttap(n); b,a = zp2tfzp2tf(z, p, k); b2,a2 = lp2hplp2hp(b, a, wc);% % 低通低通 高通高通 h1,w = freqs(b1,a1); subplot(2,1,1);plot(w*fs/(2*pi),abs(h1);axis(0,fs,0,1.2); title(直接设计高通滤波器); h2,w = freqs(b2, a2); subplot(2,1,2);plot(w*fs/(2*pi), abs(h2); axis(0,fs,0,1.2); title(频率变换法设计高通滤波器); 这就是这就是 滤波器转换滤波器转换 49 因此，为了使设计规范化，通常将滤波器的频率参数进行归一化处理。 一、频率归一化一、频率归一化 由于实际滤波器的频率范围直接取决于应用，因此必然千差万别。 1 频率归一化与转换 借助低通滤波器的系统函数，经合适的频率变换，可以得到高通、带借助低通滤波器的系统函数，经合适的频率变换，可以得到高通、带 通、带阻滤波器的系统函数。通、带阻滤波器的系统函数。 因此不论那一种滤波器的设计，都可以：可以： 先将该滤波器的技术指标转化为频率归一化的低通滤波器的技术指标 ， 按照该指标先设计低通滤波器的系统函数， 再通过频率变换，得到所需类型系统函数。 50 其归一化之后的系统函数和频率响应分别为： 系统函数： 频率响应： 设所要设计的模拟高通、带通或带阻滤波器： 系统函数： 频率响应： 归一化复变量 q 与归一化频率的关系为： 1 频率归一化与转换 将频率归一化处理后的原型模拟低通滤 波器称为归一化原型模拟低通滤波器原型模拟低通滤波器 ： 系统函数： 频率响应： 归一化原型模拟低通滤波器归一化原型模拟低通滤波器 51 若用通带截止频率 进行归一化处理，得归一化频率： 二、原型低通二、原型低通低通低通 通带、阻带截止频率分别为： 显然：归一化通带截止频率 归一化阻带截止频率 1 频率归一化与转换 若令归一化复变量复变量为 p，则有： 前面用过前面用过 52 三、原型低通三、原型低通高通高通 用模拟高通滤波器的通带截 止频率 进行归一化： 1 频率归一化与转换 由于滤波器的幅频响应是频率的偶函数，所以只要将低通的由于滤波器的幅频响应是频率的偶函数，所以只要将低通的 右（或左）半边曲线对应于高通的左（或右）半边曲线，就右（或左）半边曲线对应于高通的左（或右）半边曲线，就 可以实现低通到高通的变换。可以实现低通到高通的变换。 53 归一化低通频率与高通的对应关系如下： 显然，与之间的频率变换关系为： 的归一化复变量 p 与 的复变量 s 之间的映 射关系为： 与 的映射关系为： 即即 1 频率归一化与转换 0 - + 0 低通：低通： 高通：高通： 54 通带的上限、下限通带的上限、下限阻带的上限、下限阻带的上限、下限 通带带宽通带带宽 通带的中心频率通带的中心频率 用 对频率进行归一化处理： 1 频率归一化与转换 且：且： 四、原型低通四、原型低通带带通通 55 只要将 的整个曲线对应于 的右半边 曲线，就可以实现低通到带通的变换 ： 1 频率归一化与转换56 与之间的频率变换关系为： 的归一化复变量 p 与 的复变量 s 之间的映射关系为： 与 的 映射关系为： 1 频率归一化与转换57 边界频率参数、通带带宽边界频率参数、通带带宽 、阻带的中心频率的定义与同模拟、阻带的中心频率的定义与同模拟 带通滤波器相同。带通滤波器相同。 其归一化频率为： 幅频特性为：幅频特性为： 1 频率归一化与转换 五、原型低通五、原型低通带带阻阻 58 与 的映射关系为： 与之间的频率变换关系为： 边界频率 ， 满足： 1 频率归一化与转换59 按下式： 一、归一化模拟低通滤波器设计一、归一化模拟低通滤波器设计 即可求出 对应的阶次 n 和 3db 截止频率 。 2 模拟滤波器设计 查表可确定巴特沃斯归一化原型系统函数 ，则有： 60 二、模拟高通、带通和带阻滤波器设计二、模拟高通、带通和带阻滤波器设计 确定所要设计的模拟滤波器的技术指标确定所要设计的模拟滤波器的技术指标 技术指标：技术指标： 高通： 带通、带阻： 归一化：归一化： 带通、带阻： 高通： 2 模拟滤波器设计 按照频率变换关系，将上面的技术指标转换为归一化原型模拟低通滤波按照频率变换关系，将上面的技术指标转换为归一化原型模拟低通滤波 器器 的归一化技术指标要求：的归一化技术指标要求： 设计归一化原型模拟低通滤波器设计归一化原型模拟低通滤波器 61 【例例】设计一个模拟高通滤波器，指标如下： 由题意，得到模拟高通滤波器的技术指标（角频率角频率）： 阻带截止频率 通带最大衰减 阻带最小衰减 通带截止频率 【解解】 例 5 归一化频率为： 3 db截止频率 62 归一化原型模拟低通滤波器 的技术指标要求为： 设计归一化原型模拟低通滤波器 查p157表6.2.1得： 例 563 确定模拟高通滤波器 例 5 主要代码如下（主要代码如下（直接设计高通滤波器直接设计高通滤波器）：）： wpwp=2*pi*100;=2*pi*100;% % 转换为角频率转换为角频率 ws=2*pi*50;ws=2*pi*50; apap=3;=3; as=30; as=30; n,wcn,wc=buttordbuttord(wp,ws,ap,as,s(wp,ws,ap,as,s) ; ) ; b,a=b,a=butter(n,wc,butter(n,wc,highhigh, s) , s) 64 （1 1）buttordbuttord ( ) ( ) 函数函数 n,wcn,wc=buttord(wpbuttord(wp，wsws，rprp，rsrs， s) s) l 输入参数：wp，ws分别为通带和阻带的实际截止频率，单位为 rad/s。 当wpws时，此时为低通滤波器； 当wswp时，为高通滤波器； 当wp和ws为二元时，为带通或带阻滤波器，此时wc也是二元。 l 输入参数：rp，rs为通带最大衰减和阻带最小衰减； l 输出参数：n，wc将作为另一个函数butter的输入参数。 2 模拟滤波器设计 用于求解巴特沃斯模拟滤波器的阶数n和3db截止频率wc。格式如下： 注意：注意： buttordbuttord函数使用阻带指标计算函数使用阻带指标计算3db3db截止频率，这样阻带会刚好满足要求截止频率，这样阻带会刚好满足要求 ，而通带会有富余。，而通带会有富余。 65 （2 2）buttapbuttap( ) ( ) 函数函数 z,p,kz,p,k = =buttap(buttap( n n ) ) % n：滤波器阶数 返回参数z、p 和 k 分别为零点、极点向量和增益常数。 l 由于没有零点，所以一般z为空。 l p为n长的向量，表示极点。 l k为增益因子。 2 模拟滤波器设计 用于设计巴特沃斯归一化归一化（ ）模拟低通原型系统的函数: 66 用于将由z、p和k表示的系统函数转换为有理分式的形式： 2 模拟滤波器设计 （3 3）zp2tf( ) zp2tf( ) 函数函数 b,ab,a = = zp2tfzp2tf( (z,p,kz,p,k) ) 此时仍然是归一化频 率的原型滤波器，即 截止频率为1 rad/s 。 67 （4 4）lp2lp( )lp2lp( )、lp2hp( )lp2hp( )、lp2bp( )lp2bp( )和和lp2bs( )lp2bs( )函数函数 用于将截止频率为1 rad/s的归一化归一化原型模拟低通滤波器的系统函数分别 转换转换为指定频率wo（及带宽bw）的非归一化非归一化的模拟低通、高通、带通 和带阻滤波器的系统函数。 l l 低通：低通：b,a=lp2lp(b,a=lp2lp(b,ab,a,wo) ,wo) l l 高通：高通：b,a=lp2hp(b,a=lp2hp(b,ab,a,wo) ,wo) l l 带通：带通：b,a=lp2bp(b,a=lp2bp(b,ab,a,wo,bw),wo,bw) l l 带阻：带阻：b,a=lp2bs(b,a=lp2bs(b,ab,a,wo,bw) ,wo,bw) 2 模拟滤波器设计 wowo是目标滤波器的截止频率（是目标滤波器的截止频率（ 或通带、阻带的中心频率），或通带、阻带的中心频率）， 单位为单位为rad/srad/s bwbw是目标滤波器的带宽是目标滤波器的带宽 68 （5 5）freqsfreqs ( ) ( ) 函数函数 h,wh,w = = freqs(b,a,nfreqs(b,a,n) ) h=h=freqs(b,a,wfreqs(b,a,w) ) 实质：实质：进行拉普拉斯变换，返回s域的频响特性。 l b：分子多项式系数； l a：分母多项式系数； l w：一个实向量，一般表示为角频 rad/s。如作为输入参数向量，则表示 需要计算频响的对应频率点。 l n：为需计算的点数。此时自动产生一个长度为n的向量w。 如果省略n，则自动取n=200个点。 l h：返回的复频响应。 2 模拟滤波器设计69 例 6 低通滤波器 clear all;clear all; fpfp = 100;fs = 150;rp=3;rs=40; = 100;fs = 150;rp=3;rs=40; wpwp = 2*pi* = 2*pi*fp;wsfp;ws = 2*pi* = 2*pi*fs fs; ; n, n, wcwc = = buttordbuttord(wp(wp, , wsws, , rprp, , rsrs, s);, s); z, p, k = z, p, k = buttapbuttap(n(n); ); % % 模拟低通滤波器极零点模拟低通滤波器极零点 b, a = b, a = zp2tfzp2tf(z, p, k); (z, p, k); % % 由极零点获得转移函数参数由极零点获得转移函数参数 b, a =b, a = lp2lp lp2lp(b, a, (b, a, wcwc); ); % % 原型低通原型低通实际低通实际低通 h1,w1 = h1,w1 = freqsfreqs(b(b, a);, a);% % 此时的此时的w1w1是归一化频率是归一化频率 subplot(2,1,1);subplot(2,1,1); plot(plot(w1*w1*wcwc/(2*pi),abs(h1);/(2*pi),abs(h1);%由于由于w1w1是归一化频率，需要转换为实是归一化频率，需要转换为实 % % 际角频率，再转换为线频率（际角频率，再转换为线频率（hzhz） title(title(原型滤波器原型滤波器);xlim(0 300););xlim(0 300); h2,w2 = h2,w2 = freqs(bfreqs(b, a);, a); subplot(2,1,2);plot(w2/(2*pi),abs(h2);subplot(2,1,2);plot(w2/(2*pi),abs(h2); title(title(低通滤波器低通滤波器);xlim(0 300););xlim(0 300); 有的书上要求归一化是对 wp进行的，此时可以改 为w1*wp。 70 例 6 低通滤波器 clear all;clear all; fpfp = 260;fs = 220; = 260;fs = 220; rprp=3;rs=40;=3;rs=40; wpwp = 2*pi* = 2*pi*fpfp; ; wsws = 2*pi* = 2*pi*fs fs; ; n, n, wcwc = = buttord(buttord(wpwp, , wsws, , rprp, , rsrs, s);, s); z, p, k = z, p, k = buttap(nbuttap(n); ); b, a = zp2tf(z, p, k); b, a = zp2tf(z, p, k); b, a = b, a = lp2hplp2hp(b, a, (b, a, wcwc); ); % % 原型低通原型低通实际高通实际高通 h1,w1 = h1,w1 = freqs(bfreqs(b, a);, a); subplot(2,1,1);plot(w1*wc/(2*pi),abs(h1);subplot(2,1,1);plot(w1*wc/(2*pi),abs(h1); title(title(原型滤波器原型滤波器);xlim(0 600););xlim(0 600); h2,w2 = h2,w2 = freqs(bfreqs(b, a);, a); subplot(2,1,2);plot(w2/(2*pi),abs(h2);subplot(2,1,2);plot(w2/(2*pi),abs(h2); title(title(高通滤波器高通滤波器);axis(0 600 0 1.5););axis(0 600 0 1.5); 此时wpws，表 示为高通滤波器 71 例 6 低通滤波器 clear all;clear all; fp1 = 160;fs1 = 140;fp1 = 160;fs1 = 140; fp2 = 200;fs2 = 220;fp2 = 200;fs2 = 220; rprp=3;rs=40;=3;rs=40; wp1 = 2*pi*fp1;ws1 = 2*pi*fs1;wp1 = 2*pi*fp1;ws1 = 2*pi*fs1; wp2 = 2*pi*fp2;ws2 = 2*pi*fs2;wp2 = 2*pi*fp2;ws2 = 2*pi*fs2; bwbw=wp2-wp1;w0=sqrt(wp1*wp1);=wp2-wp1;w0=sqrt(wp1*wp1); n, n, wcwc = buttord( = buttord(wp1,wp2,ws1,ws2wp1,wp2,ws1,ws2, , rprp, , rsrs, s);, s); z, p, k = z, p, k = buttap(nbuttap(n); ); b, a = zp2tf(z, p, k); b, a = zp2tf(z, p, k); b, a = b, a = lp2bplp2bp(b, a, (b, a, w0w0,bw); ,bw); % % 原型低通原型低通实际带通实际带通 h1,w1 = h1,w1 = freqs(bfreqs(b, a);, a); subplot(2,1,1);plot(w1*subplot(2,1,1);plot(w1*w0w0/(2*pi),abs(h1);/(2*pi),abs(h1); title(title(原型滤波器原型滤