数学建模论文-储油罐的变位识别与罐容表标定.doc

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从a/b/c/d中选择一项填写）： a题 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 天水师范学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2010年 09 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：储油罐的变位识别与罐容表标定摘要 选择任意两站点之间用时最少并且费用最小的公交线路，就是 关键词 微元法；最佳线路；广度优先；算法一 问题的提出通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为a=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。二 基本假设1.由于油罐地处环境温度相对恒定，故不考虑油体的热胀冷缩现象；2.不考虑油罐内部附属部件所占体积；3.不考虑罐体左、右两端直径的差值；4.不考虑油罐内气体空间压力变化；5.不考虑油罐围测（主要包括：高度和长度的测定）的影响；6.不考虑在油品静压力作用下罐体的膨胀和收缩；三 参数设定与符号说明：椭圆柱体横截面的长半轴；：椭圆柱体横截面的短半轴；：油品液面最高度；：油浮子的高度；：油罐纵向倾斜角度；：油罐横向偏转角度；：椭圆柱体左底面；：椭圆柱体右底面；：球冠与中间圆柱相接面圆的半径；：球冠的高度：左端油品液面最高度；：右端油品液面最高度；：左侧球冠的储油量；：中间圆柱体中的储油量；：左侧球冠的储油量；：到油浮子的距离；：圆柱体的长度；四 数学模型的建立和数值计算（一）对于问题1模型的建立与求解1罐体无变位时：设椭圆柱体的底面长半轴为，短半轴轴为， 若油罐上刻度计的刻度为, 而此时油罐内的储油量为, 那么问题归结为求出函数 , 其中满足 时, ; 时, .图1而为罐体的总体积，故 换言之, 要求油量关于刻度计的刻度函数 的反函数。首先对椭圆柱建立如图（1） 所示的空间直角坐标系, 设椭圆柱体储油部分的高度为时, 横截面的面积为,由图1可得到位于坐标系中心的椭圆柱底面的的方程为： (1)从而，当椭圆柱体的储油部分高度为时，即时，有 那么 (2)故高度为时, 椭圆柱体内的储油量为= (3)计算得. (4)2.罐体发生纵向变位，倾斜角为时。 图 2建立坐标系，在平面，截面为弓形平面设椭圆的方程为，则有，截面函数为. (5)则体积函数为. (6)其中为油品油罐左侧面到油品最右侧之间的距离，,故,(2)式变为. (7)(5)式带入(7)得到. (8) 根据题目要求,罐体中的油量不同,在相应部分的函数不同,因而在不同部分上式的积分上下限不同,通过分析,根据油位计（文中）显示的情况分为下列五种情况进行讨论：（）当时（如图3），即油位计显示为零的情形，我们在此只考虑罐体中剩余的最大油量，此时积分上限为m=0.4，(9)图3 根据题目的要求，代入上式可得到当油浮子高度为0时，罐体中油品的最大值为1.67435升.（）当时，即油位计显示非零，到罐体中油面的右端刚好接触到达罐体右面的情况， 图4 (10)当油品最右侧正好到达右侧面最低点时，罐中油品总量为146.946升。故当所附数据大于146.946升时，我们必须考虑下述的第三种至第五种情况。 （）当时，罐体中油面的右端到达罐体右侧面，而油面在左面的最高处还未达到罐体最高(2b)处， 图 5 (11) （）当时，罐体中油面的左端到达罐体最高(2b)处至探针最高处,图6 (12)（）当时，油位计的最高处,可以估算出罐体中还能注入的最大油量.图 7. (13) 下面我们对于罐体的倾斜角度为度发生倾斜以后，我们讨论了罐容的变化，并且与试验数据进行了比较，我们的到了他们变位时模型的输出数据与试验数据的误差图，输入数据与试验数据的误差图，以及变位时出油的误差图等，通过分析，我们发现当储油罐按照如图发生倾斜时，油位计显示的高度会增加，使得误差增加大约1%左右，说明我们的的模型是可靠的，有一定的稳定性。最后我们使用上述模型，给出了新的罐容表（表-1），从罐容与油面高度的关系图，可以发现，该模型很好的反映了罐容与高度的关系，符合上升的规律！罐体高度间隔为1cm的罐容表高度油量高度油量高度油量01.674400722400965.6607768002661.422634103.5311498524101004.953788102703.552425206.2636981264201044.583928202745.491028309.9750646194301084.534878302787.2247734014.756739544401124.790728402828.7397795020.691462644501165.335928502870.0219376027.8550060246012060568867036.317401344701247.233978702951.8299958046.143828384801288.557348802992.3263379057.395283344901330.111128903032.53066210070.129096955001371.881229003072.4273711084.397269375101413.85389103112.00048120100.25471445201456.015239203151.233595130117.74821815301498.352069303190.109866140136.92387185401540.851019403228.611946150157.81856415501583.498979503266.721951160180.25934175601626.282969603304.421401170203.99947385701669.190139703341.691167180228.90664135801712.31049803378.5114190254.88489925901761.531299903414.861462200281.8576776001792.8938310003450.719833210309.76078046101841.8471210103486.064019220338.53873756201885.155910203520.870435230368.14260076301928.5476310303555.114267240398.52850416402009.9506310403588.769319250429.65665926502033.5376110503621.807817260461.49062316602057.1069610603654.200187270493.9967486702080.6832510703685.914766280527.14375516802145.6921310803716.917458290560.90239826902189.1198910903747.171285300595.24519227002232.4352311003776.635813310630.14619167102275.7582811103805.266381320665.58080627202322.6707611203833.013032330701.52564717302354.0201911303859.818976340737.95839617402405.2642411403885.618199350774.85769347502448.3718311503910.331433360812.20304217602491.2586411603933.858146370849.97472337702534.0200711703956.055317380888.15372377802576.6432311803975.916936390926.72167097902619.1151411903994.97368412004012.744317图 8 图 9图 10（二）对于问题2的模型建立与求解对于图11所示的实际储油罐，是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。因此，我们对于该储油罐中储油量的计算，我们将该体积分为三部分来计算，即左侧和右侧两个球冠体和中间的圆柱体。设第一部分(左球冠的的储油量)体积为，第二部分(中间圆柱体的储油量)体积为，第三部分(左球冠的的储油量)体积为，对于储油量的计算我们分类进行讨论，图 111 数学模型的建立建立坐标系建立坐标系使得储油罐的的底面在轴，左侧的球冠体与圆柱底面的相交面在平面上，我们首先讨论左端球罐的中储油量的计算问题由于左端球冠在坐标下球冠的球面方程为， (14)图 12被的平面截的圆方程为，于是可得，由于左侧储油量球冠位于球心左侧，故取，设左端的球冠的储油量为，, (15)在极坐标情况下，上式变为， (16)其中为球冠所在球体的半径，为球冠所在平面投影的半径， (17)则（16）式变为 (18)对其中，与中间第二部分体积的计算类似于第一个问题中的椭圆柱体的计算，只需要将第一个问题的椭圆柱体变成圆柱体进行讨论。建立坐标系，在平面，截面为弓形平面设椭圆的方程为，则有，截面函数为. (19)则体积函数为. (20)其中为油品油罐左侧面到油品最右侧之间的距离，,故,(2)式变为. (21)(19)式带入(21)得到. (22) 根据题目要求,罐体中的油量不同,在相应部分的函数不同,因而在不同部分上式的积分上下限不同,进过分析分,根据油位计（文中）显示的情况分为下列五种情况进行讨论：（）当时（如图12），即油位计显示的显示为零的情形，我们在此只考虑罐体中剩余的最大油量，积分上限位， (23) 图 13 根据题目的要求，代入上式可得到当油浮子高度为0时，罐体中油品的最大值为1.67435升.（）当时，即油位计显示的显示非零，到罐体中油面的右段刚好接触到达罐体右面的情况， 图14 (24)当油品最右侧正好到达右侧面最低点时，罐中油品总量为146.946升。故当所附数据大于146.946升时，我们必须考虑下述的第三种至第五种情况。 （）当时，罐体中油面的右端到达罐体右侧面，而油面在左面的最高处还未达到罐体最高(2)处， 图15 (25) （）当时，罐体中油面的左端到达罐体最高(2)处至探针最高处,图16 (26)（）当时，油位计的最高处,可以估算出罐体中还能注入的最大油量.图17 (27) 对于右端球冠的中储油量的体积计算类似于左端的体积的计算，由于圆柱体的长度为，夹角为，所以左边油品的高度为，所以该部分油品的体积为 (28)其中，而对于横向的旋转的角度，根据的旋转理论，只需要将上面的用，用，用，就可以得到纵向和横向同时旋转后体积的计算公式分别为,.下面我们进行罐体中油品的体积计算，由于我们把油品中的体积分成了三部分进行讨论，(1)当时，即油位计显示的显示为零的情形，我们在此只考虑罐体中剩余的最大油量，剖面图如图17图18(29) 当时，即油位计显示的显示非零，到罐体中油面的右段刚好接触到达罐体右面的情况，剖面图如图-18图19 (30)当时，罐体中油面的右端到达罐体右侧面，而油面在左面的最高处还未达到罐体最高(2)处，剖面图如图19图19 (31) （4）当时，罐体中油面的左端到达罐体最高(2)处至探针最高处,图20 (32)(5) 当时，油位计的最高处,可以