数学建模论文-住房投资分析.doc

论文题目：住房投资分析 姓名：xxx 学号：xxxxxx 专业： 数学与应用数学 2011 年5月1日住房投资分析摘 要随着房地产业的不断升温，越来越多的家庭开始将余钱进行房地产投资。本文通过对现阶段房地产总体情况进行分析，运用运筹学、概率论、组合数学、随机过程等相关知识，建立了ahp、投资风险的模糊综合评价、最优租售转换的ros投资决策等数学模型，以达到让投资人获取最大利益。为长沙市家庭住房投资提出了合理、贴切的方案。首先，本文结合现有数据，运用灰色系统理论建立了描述房价的模型，并运用matlab对数据进行拟合，对未来几年长沙商品房价进行了预测。本模型只采纳短期预测数据，力求最大的准确度。预测结果表明：未来一定时间内，房价将以1.22的同比价格变化指数继续上涨，2011年能够达到6770元/。这就为住房投资提供了最基本的保障。然后，本文进一步对制约住房投资利润和投资风险的因素进行析解分离，对贷款方式、租金额度、折旧损失、买房决策、最佳租售时机等分别进行讨论。结果表明：选择的租金额度，能达到最大出租收益期望值237元。模型针对不同的投资者提供了不同的还贷方案。基于ahp的购房模型为投资者提供了最佳购房选择。基于ros的投资决策，为投资者提供了最优停止决策点。最后，在模型的改进方面，考虑了包括股票、储蓄投资方式在内的一个最优组合投资方案。当储蓄投资占32%，股票投资占47%，住房投资占21%时能够达到最大收益。从整体上看，本文得到了一个较为完备的家庭式住房决策方案。其充分抓住了影响投资收益的关键因素，将复杂的房地产投资过程高度明了化，再加上较为紧密地联系了实际，使模型缜密，易懂，适用性强，但也不可避免的具有公式较多，运算量大的缺点，仍有待做进一步的改进。关键字：ahp matlab 投资风险 最优租售 ros 组合投资问题重述在缺乏可靠投资渠道的情况下，有的家庭选择利用余钱或贷款购置房屋进行投资。请根据市场房屋价格的变化情况，综合考虑家庭收入、租金收入、储蓄及贷款利率、房屋折旧率、房屋空置率等因素，建立数学模型，为家庭进行住房投资做出决策。问题分析投资，追求的都是利润的最大化，同时尽可能规避风险。对于住房投资而言，利润主要来源于租金和再次卖出时获得的差价，而在此过程中，房主所要承担的损失主要有银行贷款利息、折旧费、物业费以及两次买卖过程中存在的税费和手续费。在当前的房地产红火以及政府宏观调控的大形势下，房屋价格很难有相当明显的下跌。研究房价未来的发展趋势，是住房投资的前提。购房后对于房屋的租赁问题，有必须研究出一套利润最大化方案，确定房租价格。考虑到市场的潜在风险，需要研究出一套基于租售的最佳时机的模型，也就是在一定时期内可以“以租养贷”，在另一时期内即有特殊情况出现时，可以将其售出，以达到尽可能规避风险和实现利润最优化。对于低收入家庭而言，如何负担第一套住房都存在一定困难，基本上可以不考虑其投资第二套住房的情况。而对于高收入家庭而言，其拥有的资产数额庞大，投资领域多样，对于风险的承受力很大，研究价值不是很明显。因此，焦点应集中于占相当比例的中等收入家庭，其资金有限，抗风险能力差，使得建立一套模型来寻求利润的最大化以及风险的最小化就显得尤为必要。同时，其购置房产往往需要借贷，而其家庭收入决定了贷款额度以及年限，更进一步决定了其买入房屋的质量、居住面积。所以，研究贷款的决策，是很必要的。在当前的房地产红火以及政府宏观调控的大形势下，房屋价格很难有相当明显的下跌，由于房屋价格等相关因素有着十分明显的地域性差异，为了使讨论更为形象和直观，本文主要以长沙市为例进行展开分析。基本可以在国内二线城市进行推广应用。模型假设（1）假设在一段时间内，房地产业在相关政策、市场供求等方面不会出现幅度十分巨大的变化。（2）假设在一段时间内，模型中所购房屋的物业费、贷款利率不会产生很大的波动。（3）长沙市限购令出台较晚，造成近期某些数据的缺失，假设限购令对长沙市影响不明显。（4）假设在一段时期内，通货膨胀率对住房投资不产生影响符号说明符号说明单位a每月还贷数额元/年t贷款年限年c购房资金元贷款利率平均年租金盈利元/年平均年缴纳物业费元/年房屋折旧率房屋同比价格变化指数截止第年盈利的累计值元交纳住房贷款利息元投资所购房屋的面积房屋价格元/平米x房屋租金元/平米p（x）出租率模型的建立与求解模型一：基于 gm（1，1）对房价的预测模型gm（1，1）模型是灰色系统理论的一种预测模型，它以不确定性系统为研究对象，通过对“部分”已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控，从而预测事物未来的发展状况。该模型是一种时间序列预测模型，它能根据少量信息建模和预测，因而得到广泛的应用。灰色系统理论预测方法主要是gm模型的建立和求解。gm模型一般对应一个微分方程，微分方程的求解形成一个预测模型的函数方程。gm（1，1）建模过程和机理如下： 设原始数据序列(（1），（2），（n）)其中，（k）0，k1，2，n 对做一次累加，生成数列:=(（1），（2），（n）)其中，（k），1，2，n 构造数据系列b和数据向量y：b ，y 确定参数a和b。采用最小二乘法对待定系数求解则有： 白化方程+ab的解为：（）+ gm（1，1）模型的时间相应列为： 还原值为： 模型精度检验：1） 计算均方差比c：c 其中2） 计算小误差概率p：统计满足式子（其中k=1,2,n）的e（k）的个数,若此数为r，则。对于建立的模型是否优良，一般要进行均方差检验和小概率误差检验。一般地，相对误差越小越好（因为c值小，说明残差方差小，样本方差大）。而小误差概率p越大越好（因为越大，说明残差与残差平均值之差平均值之差小于给定值0.6745s1的点越多）。对于已建立的gm（1，1）模型是否有效，一般参考精度检验表1.表1 灰色系统预测精度检验等级参照表精度等级均方差比值小误差概率一级0.350.95二级0.500.80三级0.650.70四级0.800.602 计算过程以20002010年商品价格作为依据（有长沙市统计信息网提供），对长沙市商品放价格进行预测。 建立20002010年长沙市商品房均价序列值：（1740，1831，2162，2283，2738，2539，2691，3157，3906，4126，5548） 对做一次累加，生成数列：（1740，3571，5733，8016，10754，13293，15894，19051，22957，27083,32631） 构造数据系列b和数据向量y：， 确定参数a和b： 确定模型1801.9其时间相应序列为： 模型精度检验：1） 计算均方差比c：，精度为一级。2） 计算小概率误差：所以，p=10.95,精度为一级。参照灰色系统预测精度检验等级（表1），灰色预测模型综合精度等级为一级，模型预测结果有效。因此，模型：，可用于预测长沙市商品房价格。根据上述预测模型，计算得到20112015年长沙市商品房价格的预测值表（表2）。年份20112012201320142015商品房价格（元/平方米）677084801060013200164003）根据数据，用matlab进行拟合，图形如下所示，对比计算出来的数据，基本吻合。3 预测结果分析从预测的结果可以看出，今后五年长沙市商品房价格将呈现上涨趋势。推动长沙市商品房价格持续上涨的原因主要包括需求和供给两个方面。从供给的角度看，在供应和需求一定的情况下，成本的上涨将推动房地产价格的上涨。房地产开发成本主要由地价和建筑材料价格组成，土地资源的不可再生性，决定了土地价格的总体上行趋势。受钢材、水泥等主要建筑材料价格和人工成本上涨的影响，建筑安装工程的价格也逐年上涨，直接推高了商品房价格。因此，不断提高的房地产开发成本将成为客观事实。 从需求的角度看，随着城镇化水平的提高、城镇人口和城镇投资的增加、城镇居民可支配收入和流动性指标的高速增长，需求量将会持续增长。此外，长沙市作为湖南省省会城市的相对优越条件，使得个市县人口不断向长沙集中，各项因素推动着长沙市商品房价格的不断走高。4 决策：通过对以上模型的分析，投资者如果想在长沙投资住房，那就得尽快买。长沙的房价存在较大的上升空间。投资收益的利润函数：假设投资所购住房面积为，第年该房价格，需缴纳住房贷款利息，每年盈利为，累计盈利为，房屋同比价格变化指数为，折旧率为，每年租金盈利为，物业费为，则有如下关系：该房实际价格： 年盈利满足：所以，此次投资的最终利润为：模型二：租金收益模型由需求价格弹性可知，商品价格下跌，往往导致需求量增加；相反价格上涨，则会抑制需求量甚至导致其下降。因此租金的定位，将直接关系到其成功租出的可能性（即租出率），而与出租率相对应的，是住房的空置率。房屋租出率随价格变化表每平米价位/元1418222630出租率100%92%75%32%0 据长沙房产网数据统计以长沙市为例，中等质量住宅的平均出租价格区间为，不妨假设出租价格时，租出率为1；出租价格时，租出率为0。由此可设出租率随出租价格变化曲线近似可视为抛物线（如下图）。 出租率随出租价格变化图则有此变化函数为：其中表示出租价格，为对应的出租率。则每月出租收益期望额为：由此得其每月出租收益期望额分布图如下：每月出租收益期望额随价格变化图结合的取值区间以及图像发现，当时，计算得收益期望有最大值，因此该房每年的最大出租收益期望值为。模型三：购房贷款决策根据长沙市2011年3月4日出台的住房“限购令”，在长沙五区有住房2套以上的家庭、拥有1套住房以上的外地家庭、不能提供长沙居住证的外地家庭，暂停在长沙主城区购买90平方米(含)以下新建商品房，新规定从3月4日起正式执行。2011年4月14日召开的国务院常务会议要求，对贷款购买第二套住房的家庭，贷款首付款不得低于50%，贷款利率不得低于基准利率的1.1倍。3.1判断是否贷款假设现有购房资金万元。其选择等本金还贷方式，年限为25年，根据2011年4月6日起执行的贷款利率政策,贷款利率为6.8%，考虑到国务院新政策出台不久，忽略其影响.则有关系式：总利润=升值利润+租金利润-折旧损失-物业费-还贷利息方案一：不贷款买房（贷款金额为零）。在此情况下，其可购得房屋面积为：其中指其购房时房屋每平米的价格。应用利润关系式，其第一年的收益为：方案二：贷款金额为买房总价的40%（最大贷款额）。在此情况下，可以购得的住宅面积为：，同样应用利润关系式，其第一年的收益为：结合长沙市现有数据，可以赋值：， (折旧率的计算公式为：，而残值规定为0.05，砖混结构住宅寿命理论为50年)，根据近期长沙市统计信息网资料,内五区商品房销售均价为6165,所以取，将数据分别代入以及中，计算得：显然， 而在接下来的几年中，本金还贷方案的还贷利息会逐年减少，利润更丰，因此，在现有的政策背景、房地产业界大环境和大趋势下，选择更高的贷款额，购买更大面积的住宅，往往能够获得更高、更可观的收益。3.2 决策还贷方式-模型建立6同样设某家庭现有购房资金为，每月收入结余中可用于还贷的资金为，按中国现有的贷款规定，有以下两种还贷方式可供选择：方式一：采用等本金还贷方式:指贷款人将本金分摊到每个月内，同时付清上一交易日至本次还款日之间的利息。方式二：采用等本息还贷方式: 即把按揭贷款的本金总额与利息总额相加，然后平均分摊到还款期限的每个月中，每个月的还款额是固定的，但每月还款额中的本金比重逐月递增、利息比重逐月递减。这种方法是目前最为普遍，也是大部分银行长期推荐的方式。由于购房面积直接决定了购房所需金额，而购房所需金额又同所需贷款金额存在明显的正相关，需分类对两种还贷方式进行比较。（一） 所投资购买房屋为较小户型考虑到,长沙市实行限购令,假设此模型中较小户型为大于90平方米.。当购房面积较小时，需要贷款的金额也相应较小，那么若贷款年限确定，每月需要承担的月供就少，这时无论采取以上哪种还贷方式收入都足以承担月供。下面就这两种方式建立函数模型，比较哪种方式更加优越。1. 等本金还贷方式设银行规定的贷款月利率为，所需年限为，易得购房价格为,故贷款金额为（），则第一个月需缴纳的本息和为，其需满足： 所以这种情况下s需满足的条件为：，即: 上式说明贷款年限在30年内时，r可以承担等本金还贷方式第一个月的月供且c金额的资金可以付得起50%以上的首付。 对照贷款年限表（见附录），确定贷款最小年限，则第个月需缴利息为：单年所需缴纳年利息总和为：因此方案一等本金还贷方式产生的总利息为：所以有：2等本息还贷方式令每月还贷数额为，且设每个月末剩余本金为，则有易得 假定在第个月，贷款得以偿清，则将，带入式得：故贷款年限t满足 查贷款年限表（见附录）可得到最小贷款年限，令得： 第个月末剩余本金为：所以可得第k个月的利息为：所以第 t年的利息为：带入并累加得综上所述，对比以上两种还贷方式可以发现：1） 若，采取等本金还贷方式较为合理，可得：2） 若，则采取等本息还贷方式，同样可得：（二）所投资购买房屋为较大户型当s的值增大时，由式又可得如下两种情况：1）若，则，在此情况下，当时，无论采取哪种还贷方式，都能承担月供，故此时的与（一）中讨论相同。2）若，令，则由式得：假定每月剩余收入均用于还贷，即令，则：当，无论采取何种还贷方式，r都无法承担月供，故可得：所以当时，只能采取等本息方式还贷，此时还贷利息为： 结合以上分析，下面举例说明应如何做出贷款决策。假设某投资者现有购房资金c=32万，每月可用来支付房贷的收入结余为r=3000元，由上述分析可知，在能力范围内应该买更大面积的房以便获得更高收益，故其尽量多贷款买面积更大的户型。根据现行法规，贷款金额最高值为。将数据代入上述有关贷款年限t的式子进行求解，得到等额本金还贷方式与等额本息还贷方式应选贷款年限的理论解为：实际上，贷款年限常为整数，取：在不考虑提前还贷及利息变化等因素的前提下，到还贷年限，贷款金额21.33万元需缴纳的利分别为：等额本金贷款方式：70975.57元等额本息贷款方式：61816.36元可见对于此例，选择等额本息还贷方式所需缴付的总利息更少。故根据以上分析，模型对于此例给出的投资决策是：使用最高贷款额度贷款21.33万元，并且选择8年期的等额本息还贷方式。购房面积的确定根据3.1中得出的结论，要尽可能多的获得收益，就需买较大面积的住宅，因此，做出决策：在能力允许的范围内尽可能投资较大面积的房。故有： 模型四：基于ahp的购房决策模型多准则决策层次分析模型（ahp）是要求决策人对每个标准的相对重要性进行判断，并采取标准参数识别出他对个标准的倚重程度。ahp的结果是建立在决策人的总体评价基础上的。ahp的构建思想为：首先各个选择因素进行成对比较，构建成对比较矩阵，从而得到各决策因素对于总决策方案（即最终选择的地区）的优先级（权重）；然后对个决策变量（即被选区域）进行比较，构建成对矩阵，最后得到个决策变量的优先级，选择最优方案。设决策标准为（i=1,2,3.,n）,决策变量为（j=1,2,3,m）.目标函数为,其中是决策变量成对比较矩阵, ,是决策因素成对比较矩阵的优先级向量,其计算方式为成对比较矩阵按列做归一化处理,再按行取平均值得到各决策因素的优先级.模型的求解与应用假设投资者在对长沙市五区进行初步分析后，将范围锁定在长沙五区中的三个:芙蓉区、开福区、天心区.其选择买房考虑的因素主要有:经济实力、商品房供求比、房价、交通.下表列出了三个区域的相关信息.选择因素选择变量芙蓉区开福区天心区经济实力强较强一般房价6664元/平米6437元/平米5605元/平米商品房供求比1.061.041.06交通堵塞通畅通畅租赁市场饱和度大较大较大房屋升值空间较大较大一般 首先买房者根据自己的买房要求对各项指标进行成对对比,.再对以上的买房因素成对比较剧中男按列进行归一化处理,得出各项因素对于总目标的重要性的优先级为近似计算最大特征值对层的特征向量w ,得: ,再求最大特征值的近似值对决策变量进行成对比较,此问题的决策变量成对比较矩阵可设为:计算各地区的优先级,结果如下:芙蓉区优先级为开福区优先级为:天心区优先级为模型分析：开福区的优先级高于芙蓉区和天心区,故投资者应该选择开福区作为其投资地.模型的拓展：多准则决策层级分析模型(ahp)作为多目标准则的一种决策方法,具有很广泛的用途.对于家庭或者个人而言,是进行购房投资选择等重大决策很实用的模型工具.推广之,对于政府部门而言,它可以用来解决公共产品投入,地区开发项目选择,公共政策决定等复杂问题;其余企业而言,它可以用于新产品开发,设备购置等多方面的决策.模型五：风险模糊评价模型本模型力图采用多层次模糊评判模型对个人房产投资风险给予一个定性与定量相结合的分析。 一、个人房产投资风险的定性分析 一般来讲，个人的房产投资行为而临着如下的投资风险： 1.1金融风险：房贷利率变化风险、通货膨胀、买方的支付风险。1.2房产自身风险：房产所处的位置、环境，物业管理水平。 1.3政府行为风险：政府的政策风险。1.4市场风险：开发商的资金风险、投机行为、流动性风险、对未来的预期。二、个人房地产投资风险模糊综合评判数学模型2.1建立评判对象的因素集u= (u1 ,u2 ,u3 ,u4 )u为各评判因素组成的集合，即u=(金融风险，政府风险，市场风险，房产自身风险)。每个一级指标下设若干指标，见表1表1 风险因素综合评价体系风险因素ui子准层因素uij强较强一般较弱弱金融风险u1房贷利率变化风险u110.050.20.250.450.05通货膨胀风险u120.050.450.350.10.05买方支付风险u1300.350.600.05政府风险u2政府对土地的规划风险u210.30.550.10.050政府对开发商的监管u220.10.60.10.150.05政府政策风险u220.250.550.10.10市场风险u3开发商的信用风险u310.350.350.20.10对市场未来的预期u320.150.450.400市场投资行为风险u330.150.450.30.10流动性风险u3400.20.60.150.05房产自身风险u4房产所处的位置、环境u410.250.250.30.150.05物业管理u420.150.30.40.150房产结构u430.20.30.450.050房产产权u440.250.150.40.150.052. 2建立评判集本论文对个人房产投资的评判集表达为：v=(v1 ,v2 ,v3 ,v4 ,v5 )v=(强、较强、一般、较弱、弱)表明个人对一项房产的投资风险越弱越好。本模型就目前的一项房地产开发项目进行了打分，评分结果如表1。2. 3确定指标权重本文采用层次分析法(ahp)5来确定指标的权重。依据ahp法的原理，层次分析模型采用两两重要性强度判断比较，构造判断矩阵，计算各因素的相对权重，对各个矩阵求出最大特征根max，计算一致性指标c. i.及一致性比例c. r. ，刘一于每个矩阵都有c. r. 0. 1，所以认为各矩阵都有满意的一致性。一级指标b中个指标ui (i = 1, 2, 3, 4)对目标层a的权重分别为，w1 , w2 , w3 , w4 , 0 w1 1 , wi = 1 ,因而可得一级指标权重集w=(w1 ,w2 ,w3 ,w4)二级指标c各指标对其对应的b中指标权重集分别w1=(w11 ,w12 ,w13 ), w2=(w21 ,w22 ,w23 ), w3=(w31 ,w32 ,w33 ), w4=(w41 , w42 , w43 ) 。2.4确定模糊关系矩阵 对于每一个被评判的风险,评价要素和评价之间的关系,即从u到v的模糊关系1,可用模糊评判矩阵加以描述,用r表示. 其中,i为一级指标数目,即ui (i=1 ,2 ,3 ,4 );n为底i个一级指标下的二级指标数目,m为评语集中的评语数目.本文用如下算法: ai = wir得到模糊评价矩阵ai (i=1 ,2 ,3 ,4 ),由可以得到在a层的模糊评价矩阵2.5 计算评价对象个人房地产投资风险的模型评价矩阵则, a = (0.21 ,0.46 ,0.22 ,0.09 ,0.02),计算结果表明,有22%的人认为该项目的风险 “强”,46%的人认为风险“较强”,22%的人认为“一般”,只有9%和2%的人认为风险“较弱”和“弱”,由此可以看出,该项目的投资风险还是较大的.3结论(1) 房地产市场可以说是一个存在着大量不对称信息的市场,个人房地产投资者大多凭主观的经验、判断来进行投资,往往缺乏客观的综合评价指标,模糊综合评价方法适用性强,应用范围较广,特别适用于主观指标的综合评价,评价效果优于其他方法.减少了个人房产投资中的盲目性.(2) 在计算模糊矩阵中的时候用的是“加权平均型”的综合评判方法.该方法考虑了各决定因素对风险的影响,而不是只考虑影响最大的因素,这显示了投资者的理性及投资决策的周全性.模型六：基于最优租售转换的ros投资决策模型设投资者持有房产的租金收入服从几何布朗运动3(gbm:geometric brownian motion)dr= rdt+ rdw其中: 是r的期望增长值,满足r,否则,投资者会一直持有房产; 是r的期望增长率的标准差;w是标准的维纳过程;dw是维纳过程的增量,满足dw=,n(0,1).记保持房产为可租态的维护成本为c=r (01),则投资者的净收入为r(1-).若记投资者的寿命与贴现率(如银行活期利率)分别为t与r,则其当前(0时刻)房产价值必满足 (1)事实上,由于,故又因为dwn(0,t),故是研究租-售转换决策的比较基准.再设房地产的价格p服从如下的gbmdp=pdt+pdw 其中:是期望增长率,它满足r(否则投资者将不会做出出售的决策,因为等待永远是有利可图的); 是标准差;w亦满足.再记投资者继续保持出租态的决策与停止出租转为出售的决策分别为继续决策与停止决策.那么,当房价击中某一外生最优临界值时,停止决策就会发生,投资者执行这一决策可获取最大期望收益;否则,投资者会做出继续决策.为求出该最优阀值,需设定一外生变量:它表示在处的停止决策至少是有利可图的尽管停止决策可能并不是最优的(最优的决策是)若再记房价首次击中的时间为,则在时,投资者停止决策的价值必满足其中: ;k为转租为售的转换成本(即出售成本:例如它可以是投资者为出售房产而向中介支付的佣金等),设）;e为期望算子.由于=,从而式子(3)可以化简为 (4)上式成立是因为.关于此式简略证明如下.,记在时间段dt后p的取值为p+dp,则f(p)满足由taylor公式根据故从而变成令dt0得该常微分方程的解法是标准的.不难得到其解为其中:a与b均为待定常数; ,i=1,2是关于的一元二次方程的两个根.由于q(0)0,q(1)p)是p要达到的临界值.令1) 若s0,p必会以概率1达到,且达到的期望时间与方差分别为,2) 若s0,可能达到,达到概率为,但其一阶矩并不存在;3) 当s=0时,必会以概率1达到,但期望等待的时间是无穷大.类似地若p,则当sp.由此,可以给出下面的结论.命题3 p不一定能在有限的时间内达到,能否达到取决于s,若s0,则一定能在有限时间内达到,首次达到的平均时间是,方差是;当s0时,以概率(概率=1)达到,但达到的平均时间是无穷.命题3表明当房价前景看好时(s0),在处进行转租为售的投资是可行的.因为投资者只需等待有限时间就可以实现期望收益.当房价萧条时,等待最优临界值策略尽管预期的结果可能出现.2结论分析2.1比较静态分析 由于且所以是关于、的减量数. 又将代入中可以得到故是r的减函数.图1直观地给出了一条与r的模拟曲线.,由于关于方差的导数为: 正负号判断不明确,所以用数值实验来寻找与的关系,图2就是二者关系的一条模拟曲线.这条曲线反应了方差与临界值之间的正函数关系.又由故,从而是的增函数,图3的模拟曲线表征了这种正相关关系.根据以上分析可得如下静态分析结论.命题4 临界值与参数和呈正相关关系,与r和呈负相关关系,但与和t无关.表2给出了各数与关系的一组数据,它直观地证实了命题4的结果.又根据可知与负相关.但r和与的关系不明确.然而数值实验表明, 与正相关,但和r与因参数不同(如)而呈递增、递减或u形关系.表2给出了各参数与的一组计算结果.由此得到下面的结论.图1 贴现率与临界值的关系模拟参数: =2%,=1%,=20%,=3%,=10 000图2方差与临界值的关系模拟参数: 图3房价期望增长率与临界值的关系模拟参数: =2%,r=5%,=1%,=20%,=3%,=10 000模型优缺点优 点（1）住房投资是一个极其复杂的问题，其受多种因素的影响和制约。本模型将这些因素一一析解，使复杂的房地产投资过程高度明了化，便于结合不同地区特点做出调整，进行推广。（2）针对不同家庭，本文对可能预选的各种方案均做出了详细分析，通过深入的比较，最终得出可供选择的最优方案，使得家庭住房投资方案选择具有较高的完备性。（3）模型结论通俗易懂，便于普通家庭参考，辅助决策。（4）有些模型的构建在现实生活中有广泛的应用性和可推广性，能够为不同的决策者提供决策参考。不 足（1）模型考虑的因素较多，导致过程比较复杂，所列方程、公式较多，计算量大。（2）模型无法对重大政策调整进行预见，故在较长期投资决策方面，会出现准确度下降的问题。模型改进：考虑组合投资,对投资组合进行计量分析，引入均值-方差法4，实现投资组合最优化，按两步执行：找到风险资产的最优组合；将最优风险资产组合与无风险资产相结合，通过风险和收益的权衡，计算出最优的投资组合。最后得出结论：风险投资对那些具有适度储蓄的家庭非常有吸引力，这些家庭的人力财富相对于金融财富而言是很大的，并且人力财富相对安全。这类家庭应该将其金融资产组合向风险资产倾斜。（一）股票股票是典型的风险投资工具。最主要的特点是高风险高回报。从股票市场的长期发展历史看，股票是最有价值的投资品种。在个人数十年的投资生涯里，如果采用适当的投资策略和风险防范措施，股票投资是个人资产增值最有效的选择。过去几年国内证券市场总体跌幅较大，调整的概率有增大的可能，但随着中国国民经济持续发展，国内股市长期乐观向上的趋势不会改变。（二）存款银行存款是我国广大百姓十分踊跃和投资较多的方式。目前我国各银行开办的各种存款种类很多。有活期、定活两便、大额和定期存款。投资组合最优化过程通常按两步骤执行：找到风险资产的最优组合；将最优风险资产组合与无风险资产相结合。这里使用的风险资产概念，是指未来收益具有不确定性和波动性的资产。其收益概率分布的均值视为其预期收益率；其收益的波动程度由收益概率分布的标准差来衡量，以反映该资产的风险。无风险资产是指在交易区间的收益率为可预期的资产，其收益率为已知，收益概率分布的标准差即资产风险为0。关于这两个步骤,下面依次给予说明。储蓄、股票、地产收益率的概率分布（由长沙统计信息网相关数据计算）储蓄投资股票投资住房投资均值0.060.140.08标准差00.200.15相关性000假定有一种风险资产组合股票的比例为，地产的比例为1-。则这一组合的平均收益率的公式为：方差的公式为：其中：r1、r2、1、2分别是股票和地产的收益率和标准差，为两者相关系数。根据两种资产的比例，利用上述两个公式可计算出该组合的预期收益率和标准差。改变各自比重可得一组不同资产比例的收益、风险组合。演示如下：投资组合投资组合股票的比例(%)地产的比例(%)1-预期收益率标准差a01000.08000.1500b25750.09500.1231r(最小方差点)36640.10160.1200c50500.11000.1250d10000.14000.2000若反映在图形上，这些组合为一系列相应点，连结各点可得风险收益曲线。此曲线存在一个最小方差组合点（r），在此点下端，部分资金逐步转向另一种风险资产，随着平均收益率上升，标准差未上升，而是下降了，这违背风险收益对等原则。在该点上方，随比重的变化，平均收益率上升，标准差亦上升。可见，最小方差组合点上方部分为两种风险资产的投资组合的有效部分，同时假定该曲线为s。风险收益曲线引入无风险资产，观察无风险资产与风险资产1和风险资产2的投资组合的风险收益关系。连结无风险资产（对应于点f）与上述两种风险资产的所有可能组合（即s上的任意点），得到的直线表示股票和地产的某一组合与储蓄的组合的风险收益关系。其中，可得到的位置最高的直线是连结f与t的直线，点t是过f点的直线与曲线s的切点，并且切点t对应的特殊风险资产组合称为风险资产的最优组合，这是用来与无风险资产再组合，以获得最有效投资组合的风险资产组合。通过计算可得风险资产的最优组合中各资产的比重（此例风险资产的最优组合由69.23%的风险资产1和30.77%的风险资产2构成），进而可得最优组合的收益率均值e(r)(0.122)与标准差t(0.146)。当风险资产的最优组合作为单一风险资产时，不难得出f与t之间的有效投资组合的直线方程：代入上例具体数据得：该新的有效投资组合的直线表示投资组合的预期收益率是标准差的直线函数，即对投资者愿意承担的任一程度的风险都对应着一个投资组合使其预期收益率最大。从而f与t之间的点是把风险资产的最优组合作为单一风险资产与无风险资产进行组合的有效组合。最后,我们来看一下收入分配的完整过程。我们首先确定客户每年应消费的额度，其余用于投资。对投资各种方式的选择,应根据该客户的风险承受度，通过有效组合直线方程判断相应的收益率，再由投资组合的收益率与投资于风险资产比例的关系式，解出风险资产的投资比例。其关系式为：代入具体数据得：根据长沙市近年数据，假设投资者每年用于投资的金额为16000元，且当前收入和未来收入稳定，愿意承担额外的风险以获取更高的预期受益。对风险量化，假定为0.10，由有效组合直线方程确定相应收益率为0.102。于是，风险资产的投资比例为68%。因此，该投资者每年用于投资的6018元的68%投资于风险资产的最优组合，32%投资于无风险资产。因为风险资产的最优组合本身包括69.23%的股票投资和30.77%的住房投资，最后所求风险为0.10的投资组合的构成如下：投资组合的构成：储蓄投资32%股票投资0.6869.23%=47%住房投资0.6830.77%=21%参考文献1谭永基，数学模型复旦大学出版社 第138156页 2006年3月版2温广玉等，数学模型应用实例 东北林业大学出版社 第5687页2006年6月第一版 3李大潜等，中国大学生数学建模竞赛 高等教育出版社 第230237页 2001年第二版4唐世定 樊文兴 贾生华，城市住房价格波动差异与连锁反应研究 经济科学出版社 第34126页 2010年1月版5钱水土，周春喜 风险投资的风险综合评价研究 数量经济技术研究报，第