家家学专项培训——数论_教师版.doc

人只有献身社会,才能找出那实际上是短暂而有风险的生命的意义。爱因斯坦第三讲数论问题真题模考1. 学前班有几十位小朋友，老师买来176个苹果，216块饼干，324粒糖，并将它们尽可能地平均分给每位小朋友余下的苹果、饼干、糖的数量之比是1：2：3，问学前班有多少位小朋友？【分析】 所以有位小朋友。2. 某商店把一些旧存小刀作为处理品降价出售，小刀每把原价元，降价后存货全部卖出，共卖得元小刀每把降为多少元?【分析】，只有这一种拆法， 所以每把降价为元。3. 李老师带领一班学生去种树，学生恰好被平分成个小组，总共种树棵，如果师生每人种的棵数一样多，那么这个班共有学生 人【分析】，只有除以余，每人种棵树， 所以共用学生人。4. 求下式约简后的分母：【分析】分子有个相乘，有个相乘， 分母有个相乘，个相乘， 约简完分母为。5. 各位数字和等于且能被整除的位数共有多少个?【分析】数字组合有个， 数字组合有个， 数字组合有个， 共计个。6. 已知三个素数的积为它们的和的5倍，则它们分别是_、_、_。【分析】 三个素数分别是。7. 把分成若干个自然数的和，如何分才能使这些自然数的乘积最大?【分析】，所以分成最大。8. 个盒子共装有个弹子，问怎样装法能使顾客在购买至之间的任何数目的弹子时，不用打开盒子，便可拿到所购数目的弹子?【分析】个盒子分别装， 剩下的个弹子不用装。9. 所有的方幂以及互不相等的的方幂的和排成一个递增的数列：求这列数的第项。【分析】如果将这些数用三进制表达，那么这个数列是1，10，11，100，101，110，111，这列数和二进制数列1，10，11，100，101，1110，111，“表面形式”是一样的，二进制的序列是连续的整数序列其第100个数是1100100，所以三进制数列中第100个数的形式也是“1100100”但它化作十进制是，而不是100。所以这列数的第100项是98110. 任意一个自然数,当为奇数时，加上；当为偶数的时候，除以。算一次操作。现在对于连续进行这种操作，在操作过程中是否能出现？为什么？【分析】 出现循环，并没有出现，所以不能出现。考点拓展【例1】 肖红家的电话号码是个七位数。将前4位组成的数与后三位组成的数相加，得到7088；将前三位组成的数与后四位组成的数相加，得到1922。肖红家的电话号码是_。【分析】设七位数为由题意有：(1) (2)由(2)式知，；在由(1)式知，；再由(2)式知，依次可得，。=6851237。【例2】 红、黄、白、蓝卡片各一张，每张上写有一个数字。小明将这4张卡片如下图放置，使它们组成一个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是5544。那么红、黄、蓝三张卡上的数字分别是_、_、_。【分析】设红、黄、白、蓝卡片上的数字分别是，则有1000+100+10+-10(+)=5544，110+10-=616。由上式可得=5，=7，=4。【例3】 8是4的倍数，9是3的倍数，8与9是相邻的自然数；15是3的倍数，16是4的倍数，15与16是相邻的自然数。如果将8，9或15，16看作一组，那么在1100中共有 组相邻的自然数，一个是3的倍数，另一个是4的倍数。【分析】34=12。在自然数序列中，具有此性质的情况每12个数重复一次。在112中有(3，4)(8，9)两组，10012=84。所以1100中共有28+1=17(组)。【例4】 已知两个自然数，每一个除以它们的最大公约数所得的商之和等于，而这两个数的最小公倍数是，则这两个数分别是_、_。【分析】 。因为在的质因数中，只有， 所以这两个数的最大公约数为， 这两个数分别是，。【例5】 某幼儿园分大、中、小三个班，小班人数最少，大班比小班多6人，中班共27人，已有25筐苹果分给他们，每筐苹果数大约在5060之间不等。已知苹果总数的个位数是7，若每人分19个，则苹果数不够；若大班每人比中班每人多分1个，中班比小班每人多分1个，则苹果刚好分完。那么大班每人分 个苹果，小班有 人。【分析】设大、中、小三班共有人，中班每人分个苹果。 因为大班每人个苹果，小班每人个苹果，且大班比小班多6人，所以如果减少6个苹果，大、小班平均每人个苹果。由此推知苹果总数为。因为“每人分19个苹果，则苹果数不够了”，所以。 因为小班人数最少，中班有27人，所以总人数 。 苹果总数在(5025)与(6025)之间，即 。 由，可得 由及是整数知，。， ，由知，。 由的个位数是7，推知的个位数是1，由11=l，37=21，99=81及15y18推知，的个位数是3，只能是73或83。 若，则苹果总数 ，不合题意。 若，则苹果总数： ，符合题意。大班每人分苹果个，小班有(83276)2=25(人)。【例6】 一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如16=,16就是一个“智慧数”，那么从1开始的自然数列中，第2003个“智慧数”是_。【分析】=。因为与同奇同偶，所以“智慧数”是奇数或是4的倍数。 对于任何大于1的奇数()，当，时，都有 =。即任何大于1的奇数都是“智慧数”。 对于任何大于4的4的倍数()，当，时，都有 =。即任何大于4的4的倍数都是“智慧数”。除了1和4以外，非“智慧数”都是不能被4整除的偶数，反之亦然。也就是说，除了1和4以外，任何连续的4个正整数，都有3个“智慧数”和1个非“智慧数”。“智慧数”约占全部正整数的。2003号267l，因为2672=668。再加上1和4这两个非“智慧数”，在12672中共有非“智慧数”668+2=670(个)，有“智慧数”2672670=2002(个)。所以第2003个“智慧数”是2673。课后练习1. 年月日是小红的岁生日。爸爸在的前边和后边各添了一个数字，组成了一个六位数。这个六位数正好能同时被她的年龄数、出生月份数和日期数整除。求这个六位数。【分析】设这个六位数是， 能被整除，则为偶数， 能被整除，则能被整除， 能被整除，则或， 满足条件的解有：， 所以这个六位数是或。2. 一个自然数，除以时所得到的商和余数是相等的，除以时所得到的商是余数的倍，这个自然数是 。【分析】 所以这个自然数是。3. 已知恰是自然数的平方数，的最小值是 .【分析】，要使是