行列式的计算方法 毕业论文.doc

行列式的计算方法摘要 行列式最早是由解线性方程而引进的，时至今日，行列式已不止如此，在许多方面都有广泛的应用。本文，我们学习行列式的定义、性质，化为“三角形”行列式，利用行列式的性质，使行列式化简或化为“三角形”行列式计算。利用拉普拉斯展开定理，按某一行(列)或某几行(列)展开，使行列式降级，利用范德蒙行列式的计算公式，利用递推关系等，在计算行列式中最常用的是利用行列式的性质，和按某行(列)展开行列式，而某些方法是针对于某些特殊类型的行列代而言，对一般的级行列式的计算，往往要利用行列式的性质和拉普拉斯展开定理，导出一个递推公式，化为2级或3级行列式，以及化为“三角形”行列式来计算。关键词 计算方法 线性方程组 行列式引 言解方程是代数中一个基本问题，特别是在中学代数中，解方程占有重要地位。因此这个问题是读者所熟悉的。譬如说，如果我们知道了一段导线的电阴r，它的两端的电位差v，那么通过这段导线的电流强度i，就可以由关系式，求出来。这就是通常所谓解一元一次方程的问题。在中学所学代数中，我们解过一元、二元、三元以至四元一次方程组。而n元一次方程组，即线性方程组的理论，在数学中是基本的也是重要的内容。在中学代数课中学过，对于二元线性方程组：当二级行列式时，该方程组有唯一解，即，对于三元线性方程组有相仿的结论。为了把此结果推广到n元线性方程组的情形。我们首先要掌握n级行列式的相关知识。定义 n级行列式等于取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，这里是的一个排列，每一项安下列规则带有符号，当是偶排列时，则该项带正号，当是奇排列时，则该项带负号。这一定义可以写成这里表示对所有n级排列求和。一 基本理论（一）n级行列式的性质：性质1：行列互换，行列式不变。即：性质2：一个数乘以行列式的某一行，等于该这个数乘以此行列式性质3：如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这个行列式除这一行外全与原来行列式的对应的行一样。性质4：如果行列式中有两行相同，那么行列式为为零。所谓两行相同就是说两行的对应元素相等。性质5：如果行列式中两行成比例，那么行列式为零。性质6：把一行的倍数加到另一行，行列式不变。性质7：对换行列式中两行的位置，行列式反号。（二） 基本理论1其中为元素代数余式。2降阶定理345非零矩阵k左乘行列式的某一行加到另一行上，则新的分块行列式与原来相等。（三）几种特殊行列式的结果1 三角行列式(上三角行列式)(下三角行列式)2 对角行列式3对称与反对称行列式满足，d称为对称行列式满足，d称为反对称行列式。若阶数n为奇数时，则d=04二 行列式的计算（一）定义法例：计算行列式解：由行列式定义知，且， 所以d的非零项j，只能取2或3，同理由，因而只能取2或3，又因要求各不相同，故项中至少有一个必须取零，所以d=0。（二）化成三角形行列式法将行列式化为上三角形行列式计算步骤，如果第一行第一个元素为零，首先将第一行(或第一列)与其它任一行(或列)交换，使第一行第一个元素不为零，然后把第一行分别乘以适当数加到其它各行，使第一列除第一个元素外其余元素全为零，再用同样的方法处理除去第一行加第一列余下的低阶行列式依次做下去，直至是它或为上三角形行列式，这时主对角线上元素的乘积就是行列式的值。例：计算行列式解：各行加到第一行中去 例：计算行列式解：从倒数第二行(-1)倍加到第n行（三）递推法例：计算行列式解：按第一行展开得： (1)按递推关系 (2)由(1)式又可推导出：，按逆推关系得 (3)由(2)(3)解得例：计算解：计算 由遂推公式得例：n阶范德蒙 (vandermonde)行列就是采用遂推来求解。它利用初等变换把转化为递推关系式：从而得出。（四）降阶法：将行列式的展开定理与行列式性质结合使用，即先利用性质将行列式的某一行(或某一列)化成仅含一个非零元素，然后按此行(列)展开，化成低一阶的行列式，如此继续下云去，直到化为三阶或二阶行列式直接计算出结果。左边例：计算行列式，其中，解： （五）升阶法：此法多采用的形式为加边法。例：计算行列式，其中in是单位阵，为n维实列向量，且解：将行列式升为(n+1)阶行列式。 (由)（六）分解之和法例：解：左边=右边例：解：第2行乘(-1)加到第1行，第3行乘(-1)加到2行，依次行乘(-1)加行最后一行拆成2行 例：计算行列式解：将左上角的改写成，于是可以写成两个行列式的和 因关于与是对称的，所以又有由此两式即可得例：计算行列式解：将表成两个行列式之和 在第二个行列式中，于第行和第列都提出公因子，再用乘第行加到第行上去，易得得例：计算行列式：解： 其中例：计算行列式：解： （七）分解之积法：计算行列式：解： 例：计算行列式：证明：例：证明：证明：（八）换元法例：计算行列式解：把视为中每个元素加上x所得，因此（九）数学归纳法例：证明：当时，命题成立。假设对于阶行列式命题成立，即则按第1列展开：所以对于阶行列式命题成立。例：计算行列式解： 猜想：证明：(1)当时验证成立(2)假设时成立，即有当时，有 当时成立 猜想成立（十）线性因子法计算行列式(1) (2)解：(1)由各列加于第一列可见，行列式d可被整除。由第二列加到第一列，并减去第三、四列可见，可被整除，由第三列加于第一列，并减去第二、四列可见，被整除。最后由第四列加于第一列，并减去第二、三列可见，可被整除。我们把视为独立未知量，于是上述四个线性因子式是两两互素的，因此，可被它们的乘积整除。此乘积中含有一项：，而中含有一项：所以(2)将行列式的前两行和两列分别对换，得如果以代替，又得原来形式的行列式。因此，如果含有因式，必含有因式，由于当时，有两列相同，故确有因式，从而含有因式。同理又含有因式，而的展开式中有一项：，从而计算行列式：解：由阶行列式定义知，的展开式是关于的首项系数为的次多项式当时，因此有个互异根0，1、2由因式定理得 故 （十一）辅助行列式法计算行列式 其中为次数的数域f上多项式为f中任意个数。解：若中有两个数相等，则若互异，则每个阶行列式 是的线性组合，据题的次数因而的次数但 这说明至少有个不同的根，故所以即（十二）应用范得蒙行列式进行计算例：解：第列提出公因子得再将第1行加于第2行，将新的第2行加于第3行，将新的第行加于第行，得例：解，第行提出公因子得例： 解： 例：计算行列式解：最后一行依次与前行调换位置经过次,再将第行依次与前行调换位置共次共经过次变换。原式（十三）阶循环行列式算法例：计算行列式其中解：设且令的个根为则由有 利用关系式 得例:设都是的可微函数证明：证明： （十四）有关矩阵的行列式计算例：设a与b为同阶方阵：证明：证明：例：设a为阶可逆方阵，、为两个维列向量，则证明：例：若阶方阵a与b且第列不同。证明：证明：(十五)用构造法解行列式例：设证明：证明：构造出多项式： （十六）用加边法计算行列式计算行列式解：将原行列式加边如下：各列减去第一列，并提出。再在所得的行列式中各行都加到第一行上去，得例：计算行例式：解：(十七)利用拉普拉斯展开：证明：级行列式证明：利用拉普拉斯展开定理，按第行展开有： 以上等式右端的级行列式均为“三角形行列式”。以上主要罗列了行列式的计算方法，大家要学会仔细观察行列式，灵活运用各种方法计算行列式，选择最佳计算方法。三 用多种方法解题下面用我们运用上面的介绍的各种方法，选用多种方法解题。例1、计算：法1：将第2,3,，n行都加到第1行上去，得再将第一行通乘，然后分别加到第2,3,n行上，得法2：将2,3,n行分别减去第1行得再将第2,3,n列都加到第1列上去，便有法3：将添加一行及一列，构成阶行列式再将第2,3,n+1分别减去第1行，于是有令在时，显然，在时，则法4：令将右式中第二个行列式的第2,3,n列全加到第1列上去，再利用laplace展开，所以得例2、求证证：若记，时，上述等式可简记为证法一：把第2行乘以，第3行乘以，第行乘以，全部加到第一行，再对第1行利用拉普拉斯定理展开，注意各项的符号应为，得证。证法二：对用归纳法当时，命题成立。假设对于时命题成立，那么，当左下角单位矩阵为阶(即)时，对最后一行展开，其中，而按归纳法假设证毕。证法三：利用分块矩阵的乘法两边取行列式，得在演算一个问题时，需要仔细分析已给的条件，灵活运用已经知道的性质和已经掌握的技巧，不要死套公式，这样就能很快求出答案。参考文献：1北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编.高等代数.北京:高等代数出版社。2刘学生,谭欣,王丽燕主编，高等数学学习指导与解题训练.大连:大连理工大学出版社。3考研笔记.4杨尚验,材家寿.高等代数重要习题详解，安徽:安徽省数学学会.1982,3:3540。5石福庆,陈凯,钱辉镜.线性代数辅导.北京:1985。the calculate method of determinamt (department of mathematics bohai university liaoning jinzhou 121000 china)abstract he ranks are earlast but solved the linear equation and introduced, even to this day. determinant are already net only like this, there is extensive application in many aspects. we study the definition of determinant, nature, turn” triangle” determinant, in this text. utilize nature of the determinant to be a ranks petrochemical industry or turn “triangle” determinant to calculate, utilize laplaces expansion theorem, launch according to one delegation (arrange) or some several lines (arrange), it is the determinant, that is dernoted, utilize the calculation formula of the vandermoncle determinant, utilize and pass and push the relation to wait, the most frequently used one is to some determinants of special type, to general n and calculation of the determinant, will often utilize nature of the determinant and laplaces expansion theorem, this text one recurrence formula every where, turn 2,3 determinant, turn “triangle” ranks is it calculate to come.keywords the determinant; computing technology; linear equation group.目 录引言1一 基本理论1（一） n级行列式的性质1（二）