概率论的发展简介及其在生活中的若干应用 毕业论文.doc

概率论的发展简介及其在生活中的若干应用摘 要概率论是一门研究随机现象的数量规律的科学，已有300 余年的历史。了解概率论的起源及其在实践中的发展很有必要，随着社会的发展，概率论的理论方法已成为研究工农生产、国民经济、现代科学技术的不可缺少的工具。概率论进入其他科学领域的趋势在不断发展为此更有必要进一步分析概率论在生活中的应用,重点探讨日常生活中如抽签，经济效益，相遇，如何追究责任及其正常运作的问题。 充分体现了把概率论作为日常生活中问题解决的必备工具。关 键 词概率论；概率论的理论基础；概率论的应用；抽签；经济效益；相遇问题about the development of probability theory and its application in a number of lifeabstractprobability theory is the study of the number of laws of random phenomena of science, has more than 300 years of history. understanding the origins of probability theory and its development in practice are necessary, along with social development, methods of probability theory have become an indispensable tool as researching industry and agriculture production, the national economy, modern science and technology. probability of the trend into other fields of science is even more necessary in the continuous development of this further analysis of the probability of application in life, focus on daily life, such as drawing of lots, cost-effective, meeting, how accountability and its normal functioning. fully reflects the probability of a daily life problem-solving too.key wordsprobability theory; on the basis of probability theory; application of probability theory; ballot; economic benefits; encounter problems.目 录引言31. 概率论的发展简介31.1 概率论的起源31.2 现代概率论在实践的曲折发展31.3 概率论的理论基础41.4 概率论的进一步发展52. 概率论在生活中的应用5 2.1 抽签先后是否公平6 2.2 经济效益7 2.3 相遇问题7 2.4 如何追究责任8 2.5 正常运作的问题92.6 校对错误9 结论10 参考文献10引言17、18世纪，数学获得了巨大的进步。数学家们冲破了古希腊的演绎框架，向自然界和社会生活的多方面汲取灵感，数学领域出现了众多崭新的生长点，而后都发展成完整的数学分支。除了分析学这一大系统之外，概率论就是这一时期使欧几里得几何相形见绌的若干重大成就之一。20世纪以来，由于物理学、生物学、工程技术、农业技术和军事技术发展的推动，概率论飞速发展，理论课题不断扩大与深入，应用范围大大拓宽。在最近几十年中，概率论的方法被引入各个工程技术学科和社会学科。为此，应用概率论来探讨生活中的应用有必然的重要性。1. 概率论发展简介1.1 概率论论的起源概率是一门研究随机现象的数量规律的科学，它起源于博弈问题。15-16世纪，意大利数学家帕乔利(l.pacioli,1445-1517)、塔塔利亚(n.tartaglia,1499-1557)和卡尔丹(g.cardano,1501-1576)的著作中都曾讨论过俩人赌博的赌金分配等概率问题。17世纪中叶，荷兰数学家惠更斯(c.huygens,1629-1695)发表了论赌博中的计算，这是最早的概率论著作。这些数学家的著述中所出现的第一批概率论概念与定理，标志着概率论的诞生。17、18世纪之交，有不少数学家从事概率的研究。雅格布伯努利(jacob bernoulli,1654-1705)的巨著猜度术是一项重大的成就，“伯努利定理”著称的极限定理是是“大数定律”的最早形式。伯努利之后，德莫瓦佛的机会的学说(doct rine of chances, 1718, 伦敦出版) 包含“德莫佛拉普拉斯定理”。开辟了概率论的新时期。泊松则推广了大数定律, 提出了著名的“泊松分布”。19世纪后期，极限理论的发展称为概率论研究的中心课题，俄国数学家切比雪夫对此做出了重大贡献。他建立了关于独立随机变量序列的大数定律，推广了德莫弗拉普拉斯的极限定理。19世纪末，一方面概率论在统计物理等领域的应用提出了对概率论基本概念与原理进行解释的需要，另一方面，科学家们在这一时期发现的一些概率论悖论也揭示出古典概率论中基本概念存在的矛盾与含糊之处。1.2 现代概率论在实践中曲折发展在概率问题早期的研究中，逐步建立了事件、概率和随机变量等重要概念以及它们的基本性质。后来由于许多社会问题和工程技术问题，如：人口统计、保险理论、天文观测、误差理论、产品检验和质量控制等。这些问题的提法，均促进了概率论的发展。但是，随着概率论中各个领域获得大量成果，以及概率论在其他基础学科和工程技术上的应用，由拉普拉斯给出的概率定义的局限性很快便暴露了出来，甚至无法适用于一般的随机现象。由于19 世纪的分析没有严格化, 以其为研究工具的概率论的严格化就成了空中楼阁。虽后来分析的基础严密化了, 但测度论尚未发明。因此, 20 世纪前的概率论明显缺乏数学的严格化和严密性, 甚至连庞加莱(j. h. po incare, 1854- 1912) 也不能把概率论演绎成逻辑上严密完美的学科。诸如“贝特朗悖论”以及概率论在物理、生物等领域的应用都需要对概率论的概念、原理做出解释。正是这些问题促使人们思考概率论的基础问题及概率论所依赖的数学技术问题。1900 年, 希尔伯特(d. h ilbert, 1862- 1943) 在巴黎国际数学家大会上所作报告中的第六个问题, 就是呼吁把概率论公理化。10 很快该问题就成为当时数学乃至整个自然科学界亟待解决的问题之一。最早对概率论严格化进行尝试的是俄罗斯数学家伯恩斯坦(c. h. bern stein, 1880- 1968) 和奥地利数学家米泽斯(r. vonm ises, 1883- 1953)。因此可以说，到20世纪初，概率论的一些基本概念，诸如概率等尚没有确切的定义，概率论作为一个数学分支，缺乏严格的理论基础。1917 年伯恩斯坦发表了题为“论概率论的公理化基础”的论文, 随后的几年里他仍致力于研究概率论公理化。1927 年其概率论第一版问世, 最后一个版本即第四版出现于1946 年。伯恩斯坦在书中给出了一个详细的概率论公理体系。1.3 概率论的理论基础概率论的第一本专著是1713年问世的雅各贝努利的推测术。经过二十多年的艰难研究，贝努利在该树种，表述并证明了著名的大数定律。所谓大数定律，简单地说就是，当实验次数很大时，事件出现的频率与概率有较大偏差的可能性很小。这一定理第一次在单一的概率值与众多现象的统计度量之间建立了演绎关系，构成了从概率论通向更广泛应用领域的桥梁。因此，伯努利被称为概率论的奠基人。定义随机事件、概率等概念后, 伯恩斯坦引进了三个公理。基于这三个公理构造出整个概率论大厦,但其理论体系并不令人满意。正如柯尔莫哥洛夫所言, 第一个系统的概率论公理化体系是伯恩斯坦所给, 其建立的基础是依据随机事件的概率对事件做定性比较的思想。在定性比较思想中概率的数值似乎是推导而来, 而不是基本概念。米泽斯的主要工作是概率论的频率定义和统计定义的公理化。在概率, 统计和真理(1928) 一书中, 他建立了频率的极限理论, 强调概率概念只有在大量现象存在时才有意义。虽然频率定义在直观上易于理解, 易为实际工作者和物理学家所接受, 便于在实际工作中应用, 但像某个事件在一独立重复试验序列中出现无穷多次这一事件的概率, 米泽斯理论是无法定义的。为概率论确定严密的理论基础的是数学家柯尔莫哥洛夫。1933年，他发表了著名的概率论基础，这是概率论的一部经典性著作。其中，科尔莫戈罗夫给出了公理化概率论的一系列基本概念，提出了六条公理，整个概率论大厦可以从这六条公理出发建筑起来。科尔莫戈罗夫的公理体系逐渐得到数学家们的普遍认可。由于公理化，概率论成为一门严格的演绎科学，并通过集合论与其它数学分支密切地联系者。用公理化结构，这个结构明确定义了概率论发展史上的一个里程碑，为他以后的概率论的迅速发展奠定了基础。1.4 概率论的进一步的发展在公理化基础上，现代概率论取得了一系列理论突破。公理化概率论首先使随机过程的研究获得了新的起点。1931年，科尔莫戈罗夫用分析的方法奠定了一类普通的随机过程。所谓随机过程：如果固定某一观测时刻t,事物在时刻t 出现的状态是随机的，即每次所得到的结果是不相同的一个过程。随机过程论是起源于马尔柯夫关于“成连续锁的试验”的研究。这一类普通的随机过程是马尔柯夫的理论基础。科尔莫戈罗夫之后，对随机过程的研究做出重大贡献而影响着整个现代概率论的重要代表人物有莱维(p.levy,1886-1971)、辛钦、杜布(j.l.dob)和伊藤清等。1934年，辛钦提出平稳过程的相关理论。1948年莱维出版的著作随机过程与布朗运动提出了独立增量过程的一般理论，并以此为基础极大地推进了作为一类特殊马尔可夫过程的布朗运动的研究。1939年，维尔(j.ville)引进“鞅”的概念，1950年起，杜布对鞅概念进行了系统的研究而使鞅论成为一门独立的分支。从1942年开始，日本数学家伊藤清引进了随机积分与随机微分方程，不仅开辟了随机过程研究的新道路，而且为随机分析这门数学新分支的创立和发展奠定了基础。概率论的发展史说明了理论与实际之间的密切关系。许多研究方向的提出，归根到底是有其实际背景的。反过来，当这些方向被深入研究后，又可指导实践，进一步扩大和深化应用范围。2. 概率论在生活中的应用概率论进入其他科学领域的趋势在不断发展。下面简略介绍一下概率论本身在现代的应用情况。物理方面，放射性衰变，粒子计数器，原子核照相乳胶中的径迹理论和原子核反应堆中的问题等的研究，都要用到泊松过程和更新理论。化学反应动力学中，研究化学反应的时变率及影响这些时变率的因素问题,自动催化反应，单分子反应,双分子反应及一些连锁反应的动力学模型等，都要以生灭过程（马尔柯夫）来描述。许多服务系统，如电话通信，船舶装卸，机器损修，病人候诊，红绿灯交换，存货控制，水库调度，购货排队，等等，都可用一类概率模型来描述。在社会科学领域，特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题，也大量采用概率论方法。同时它对各种应用数学如统计学、运筹学、生物学、经济学和心理学的数学化起着中心作用。”概率论已获得当今社会的广泛应用，正如拉普拉斯所说：“生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率的问题。”概率已成为日常生活的普通常识的今天，对现实生活中的概率问题进行研究就更显得十分重要，下面举一些实例加以说明。2.1 抽签先后是否公平 （古典概型）【例1】生活中，我们有时要用抽签的方法来决定一件事情。我们就来研究一下，从概率的方面来说明抽签次序是否影响抽签结果？分析：这是古典概率的一个典型问题。解法1：不一般性，第一，不妨考察5个签中有一个彩签的情况，对第1个抽签者来说，他从5个签中任抽一个，得到彩签的概率，为了求得第2个抽签者抽到彩签的概率，把前2人抽签的情况作一整体分析，从5个签中先后抽出2个，可以看成从5个元素中抽出2个进行排列，它的种数是，而其中第2人抽到彩签的情况有，因此,第1人未抽到彩签，而第2人抽到彩签的概率为，通过类似的分析，可知第3个抽签的概率为，第4个、第5个分别为，.一般地，如果在n个签中有1个彩签，n个人依次从中各抽1个，且后抽人不知先抽人抽出的结果，那么第i个抽签者(i=1,2,n)抽到彩签的概率为；解法2：在n个签中第i个抽签者抽到彩签，此时样本点取决于n个人中那个抽到彩签。共有， 样本点，而第i个人抽彩签，只需其余（n-1）个人在（n-1）个签中选。即 ，个签中第i个人中签的 概率为.以上两种揭发所得结果相同，都与抽签的顺序i无关，这证明抽签是公平的。如果n个人将有1个人中签，那么无论是先抽还是后抽，其中签的概率均为；也就是说，并未因为抽签的顺序不同而影响到其公平性。2.2 经济效益 (独立事件)有时从经济效益的角度来考虑，利用概率的知识可使得有些问题变得更简单又经济，省钱又省力。【例2】为防止某突发事件发生，在甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率(记为p)和所需费用如下： 预防措施甲乙丙丁p0.90.80.70.6费用(万元)90603010预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施。在总费用不超过120万元的前提下，我们应该采用哪一种预防方案，可使得此突发事件不发生的概率最大？我们现在就来研究在总费用不超过120万元的前提下采用哪一种相对比较好。分析：每种预防措施都是相互独立的，这样，可根据事件的独立性性质及加法公式进行计算.方案1：单独采用一种预防措施的费用均不超过120万元。由表可知，采用甲措施， 可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为p1=0.9.方案2：联合采用两种预防措施费用不超过120万元。由表可知，联合甲、丙两种措施，可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为:p2=1-p（）p（）=1-(1- p（） ) (1- p（） )= 1-(1-0.9)(1-0.7)= 0.97.方案3：联合采用三种预防措施费用不超过120万元。故只能联合乙、丙、丁三种预防措施，此时，突发事件不发生的概率为：p3=1-p（）p（）p（）=1-(1-0.8)(1-0.7)(1-0.6)=1-0.024=0.976.综合上述三种预防方案可知，在总费用不超过120万元的前提下，联合乙、丙、丁三种预防措施可合突发事件不发生的概率最大，其概率为0.976。2.3 相遇问题 （几何概型）【例3】一位丈夫和他的妻子要上街购物，他们决定在上午10：00到11：00之间到某一街角的一家商店门口相会，他们约定当其中一人先到后一定要等另一人15分钟，若另一人仍不到则离去。试问这对夫妻能够相遇的概率为多大？假定他们到达约定地点的时间是随机的且都在约定的一小时之内。分析：这是一个几何概率问题，通常可借助几何上的度量（长度、面积、体积或容积等）来合理地规定其概率.x-y=-15解：问题主要涉及到丈夫和妻子到达商店门口的时间这两个变量，若用x和y表示上午10：00以后丈夫和妻子分别到达约定地点的时间(以分钟计算)，则他们所x-y=15有可能的到达时间都可由有序对(x,y)来表示，其中0x60,0y60,于是样本空间即为图中边长为60的正方形区域。为了使丈夫和妻子相遇，他们到达时间必须在相距15分钟的间隔之内，也就是说满足|x-y|15,此范围表示的区域即为事件a(这对夫妻能够相遇)发生的区域，如图中正方形内两条线段所夹阴影部分所示。因此，。结果表明；按此规则相会，两人能够会面的概率不超过0.5.若把约定时间推晚些，相会的概率会大些。2.4 如何追究责任 （条件概率）在谈及随机试验及其中各个事件的概率的时候，总是在一组确定的条件下讨论。附加条件（即小前提）通常以某个事件已经发生的形式给出，这就是已知某事件已发生后的条件概率。【例4】某厂有4个车间生产同一种产品，其产量分别占总产量的0.15，0.2，0.3，0.35，个车间的次品率分别为0.05，0.04，0.03，0.02，有一用户买了该厂1件产品，经检查是次品，用户按规定进行索赔。厂长要追究生产车间的责任，但是该产品是哪个车间生产的标志已脱落。问厂长应如何追究生产车间的责任？由于不知该产品哪个车间生产的，因此每个车间都要负责任。各车间所负责任的大小应该正比该产品是各个车间生产的概率。解：设aj=“该产品是j车间生产的”，j=1，2，3，4; b=“从该厂的产品中任取1简恰好取到次品”则第j个车间所负责任的大小（比例）为条件概率,j=1,2,3,4; 由贝叶斯公式，得： j=1,2,3,4;又因 p(a1)=0.15, p(a2)=0.2, p(a3)=0.3, p(a4)=0.35. =0.05, =0.04,=0.03 ,=0.02.从而： .即第1，2，3，4车间所负责任比重为0.238，0.254，0.286，0.222.2.5 正常运作的问题 （伯努利概型）【例5】某车间有10台同类型的设备，每台设备的电动机功率为10千瓦.已知每台设备每小时实际开动12分钟，它们的使用是相互独立的.因某种原因，这天供电部门只能给车间提供50千瓦的电力.问该天这10台设备能正常运作的概率是多少？分析：由题意知，所要求的概率就是求“该天同时开动的设备不超过5台”这一事件的概率.因为每台设备的使用是相互独立的，且在某一时刻，设备只有开动与不开动两种情况，所以本题可视为10重贝努里试验，可用二项概率公式进行求解.解：设表示事件“设备开动”，表示“同时开动的设备数”，则由二项概率公式得：()k()10-k，同时开动不超过5台的概率： ；故该天这10台设备能正常运作的概率为0.994.2.6 校对错误 （中心极限定理）【例6】一本书共有100万个印刷符号.排版时每