函数极值的求法 毕业论文.doc

毕业论文 题 目: 函数极值的求法 系 别: 数学系 专 业: 数学教育 班 级: 10 级（2）班 学 号: 131002055 姓 名: 指导老师: 2013年 4月 4 日 目 录 1. 一元函数极值的求法 .1 1.1 费马定理 .1 1.2 稳定点 .2 1.3 极值的第一充分条件 .2 1.4 极值的第二充分条件 .2 1.5 极值的第三充分条件 .2 1.6 求一元函数极值的步骤 .3 2. 二元函数极值的求法 .4 2.1 极值必要条件 .4 2.2 极值充分条件 .4 2.3 求二元函数极值的基本方法 .4 3. 多元 函数极值的求法 8 3.1 普通极值问题 .9 3.2 条件极值问题 11 3.3 求条件极值的步骤 13 参考文献 .15 致 谢 16 1 函数极值的求法 摘 要：这篇论文主要讨论了函数的极值问题，包括一元函数极值，二元 函数极值，多元函数极值，以及条件极值拉格朗日方法等.本文以定理的形式给 出了一元函数、二元函数，以及多元函数的求解方法.同时也给出了求多元函数 条件极值的拉格朗日乘数法. 关键词：极值、极值点、稳定点、拉格朗日 abstract: this paper discusses the issue of extreme value of function, including the extreme value of a function, binary functions extremism, extreme value of function of many variables and lagrangian methods for conditional extremism. this form of the theorem gives a unary function binary function and method for solving multivariate function. it is also seeking conditional extreme value of function of many variables are given lagrange multiplier method. tags: extreme, extreme points, a stable point, lagrange 2 引言：在生产实践、科学实验和社会生活中，经常遇到待解决“最好”、 “最大”、“最省”、“最小”等问题，这类问题可归结为数学中的最大值和 最小值，函数的极值和最值有一定的联系，可以为求函数的最值作一定的参考. 函数的极值不仅在实际问题中占有重要的地位，而且也是函数形态的一个重要 特征，多元函数的极值问题是多元函数微分学的重要应用.对函数极值问题求解 方法的探讨有利于我们解决现实生活中的很多最优问题.本文就函数极值的问题 进行了一些探讨，总结了一些求函数极值的方法，包括一元函数、二元函数、 多元函数的极值求解方法，深化了课本中的一些定理和概念，为更好的解决现 实中的最优问题提供了一些参考. 1.一元函数极值的求法 函数的极值不仅在实际问题中占有重要的地位，而且也是函数性态的一个 重要特征，那么对一元函数的极值问题我们该怎样解决呢？ 定义： 设函数 ，则 是函数 的一个极小值，极大值与极0fxf0fxfx 小值统称为极值。在 附近有定义，如果对 附近的所有的点，都有0 ，则 是函数 的一个极大值。如果附近所有的点，都有0fxf0fxfx ，则 是函数 的一个极小值，极大值与极小值统称为极 值。 若函数 在点 处可导，且 为 的极值点，则 .这就是说可导f0x0xf0fx 函数在点取极值的必要条件是 .f 1.1 费马定理 设函数 在点 的某邻域内有定义，且在点 可导.若点 为 的极值点，f0x0x0xf 则必有 3 0fx 1.2 稳定点 我们称满足方程 的点为稳定点.对于函数 ，点 是稳fx 3fx0x 定点，但却不是极值点. 1.3 极值的第一充分条件 设 在点 连续，在某邻域 内可导.f0x0;oux 若当 时 ，当 时 ，则 在点i0,f0,x0fxf 取得极小值；0x 若当 时 ，当 时 ，则 在点i0,xfx0,xfxf 取得极大值.0x 1.4 极值的第二充分条件 设 在 的某邻域 内一阶可导，在 处二阶可导，且f0x0;oux0x ，0f 若 ，则 在 取得极大值；.i0fxf0x 若 ，则 在 取得极小值. 1.5 极值的第三充分条件 设 在 的某邻域内存在直到 阶导函数，在 处 阶可导，且f0x1n0xn ， ，则kf1,2k 0fx 当 为偶数时， 在 取得极值，且当 时取极大值，in 0nfx 时取极小值； .0nfx 当 为奇数时， 在 处不取极值.if0x 4 1.6 求一元函数极值的步骤 1. 求函数 的导数；fx 2. 令 ，解出稳定点 ；012,nx 3. 判断 两侧的符号，找出局部极值点；1,2ixn 4. 根据极值的第二充分条件进行判断； 5. 根据极值的第三充分条件进行判断. 例 1 求 的极值点和极值325fxx 解 在 上连续，且当 时有 523,0x1300xfx 易见， 为 的稳定点， 为 的不可导点.这两点是否是极值点，1xf f 需作进一步的讨论. x,00,11,y 不存在 0 递增 0递减 3递增 由上表可以看出：点 为 的极大值点，极大值 ； 为 的xf f1xf 极小值点，极小值 .13f 例 2 求函数 的极值2x 解 由 1xf 得 2210xfxx 得稳定点为 或 又 223328141xxxff 5 于是 10f 故 是 的极大值点，极大值 ， 是 的极小值点，极小值1fxffx .f 例 3 试求函数 的极值231fxx 解 由于 32222115410f xxx 得 1,5x 222151164108fxxx 则 ，故 不是 的极值点； ，故 是10ffx120f1x 的极小值点； ，故 是 的极大值点.fx2405f5fx 所以极小值 ，极大值 .10f136f 2. 二元函数极值的求法 以上我们用导数的方法分析解决了一元函数极值的问题，那么对二元函数 极值的问题我们又该怎样解决呢？ 定义： 设函数 在点 的某邻域 内有定义.若对于任何点f0,pxy0up 6 ，成立不等式0,pxyu （或 ）0fpf0fpf 则称函数 在点 取得极大（或极小）值，点 称为 的极大（或极小）值f0 0 点.极大值和极小值统称为极值.极大值点和极小值点统称为极值点. 2.1 极值必要条件 若函数 在点 存在偏导数，且在 取得极值，则有f0,pxy0p ，0,xof,yofx 反之，若函数 在点 满足上式，则称点 为 的稳定点.f00 需要说明的是与一元函数的情形相同，函数的偏导数不存在的点上也有可能取 得极值,如函数 在原点无偏导数 ,但在原点取得极小值.2),(yxf 2.2 极值充分条件 设函数 在点 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导),(yxfz),(0y 数, 又令 , 令 , ,0xxf ayxf),(0 byxf),(0 , 则 在 处是否取得极值的条件如下: cyf),(0),(y),0 （1） ， 时, 在 取极大值；d0af0p （2） ， 时, 在 取极小值； （3） 时 , 在 不取极值.f0 （4） 时 ,不能肯定 在 是否取得极值.df0p 证明 记 0(,)(,)fxyf 将 按照具有拉格朗日型余项的泰勒公式展开到第二项,结合稳定点条件有 (1.2)2 21( )!xyxyfff 令 7 ，200,xfya ，yb ，200,fyc 由二阶偏导数的连续性,有 ， 时， 、 、 均趋于 0.x 令 , ,其中 ,于是有cosxsiny2xy (1.3)2 21( icossinsi)abc (1) 时0d 这时 ,故 ，(1.3) 式括号中前三项可表示为c (1.4)221cosinsinaba 显然(1.4)式恒不为零,且与 a同号.其绝对值为 内的 的连续函数，有最0, 小值 .m 另一方面, 时,由于 、 、 均趋于 0，则对一切 都有0 ， (1.5)2 2cossinsim 只要 充分小 . 因此： 时, ,函数取极小值； 时, ,函数取极小值.0a0a (2) 时d (i)若 ，仍可利用(1.4)的变换. 时,内表达式变为 ,故1=2a 为正.反之，若由条件 ( )确定 ，则内将变22cosin0ab2sin02 成 ，故为负.22sinacb 充分小时， (1.3)式括号中后三项，不论在 或 时都可成为任 12 意小，故 的符号即由前三项的符号决定. 这样，在被考察的点 的任意近处， 0p 在由角度 及 确定的射线上， 有异号的值.因此，在这点，函数不12 可能有极值. (ii)若 ，(1.3)式括号中前三项就变成0a2cosinsiin(cosin)bcbc 8 此时必有 ,故可这样来确定 使 ，于是，当0b1011sin2coscb 及 时，上面的三项式就有相反的符号，讨论可同上面一样完121 成. 所以， 时， 在 取极值， 有极大值， 有极小值；0df0p0a0a 时， 在 取不到极值，定理证毕.f 2.3 求二元函数极值的基本方法 （1）利用函数极值的定义求极值 （2）利用函数极值存在的充分必要条件求极值，则求 的极值的一般),(yxfz 步骤为: 解方程组 ， ，求得一切实数解，即可求得一切0),(yxf 0),(yxf 驻点 ；,),(21nyx 对于每一个驻点 ，求出二阶偏导数的值 ；),(iyx1,2) cba, 确定 的符号，按定理 2的结论判定 是否是极值，是极大2bac ),(iyxf 值还是极小值； 考察函数 是否有导数不存在的点，若有用定义加以判别是否为极),(yxf 值点。 例 1 221zxy 解 解方程组 021zxy 得稳定点 ，由于 ，0(,1)p(0,)xaz ， ，(,)xybz,2ycz ，240dcb 故极值不存在. 9 例 2 .2()(57)xyzxye 解 解方程组 2 22 2() ()() ()(57)(072xy xyyeze 解得稳定点 及 .在 处0(1,3)p13,260p ， , .307xaze130()6xybze130()5yczpe 于是 ,268da 故 在 取得极大值 .z0p130()zpe 同法可得函数 在点 取得极小值 . 1521()zpe 例 3 造一个容积为 的长方体盒子，如何设计才能使所用材料最少？v 解 设盒子的长为 ，宽为 ，则高为 故长方体盒子的表面积为xyxyv )(2s 这是关于 的二元函数，定义域为 yx, 0,yxd 由 ， ，得驻点 根据问题的实际意)(2vs)(2yvxs),(3v 义，盒子所用材料的最小值一定存在，又函数有唯一的驻点，所以该驻点就是 取得最小值的点即当 时，函数 取得最小值 ，也即当盒szx3s3 26 子的长、宽、高相等时，所用材料最少 3. 多元函数极值的求法 10 以上我们分别解决了一元函数极值问题和二元函数极值的问题，进而推广， 面对多元函数的极值问题我们又该如何进行分析解决呢？ 3.1 普通极值问题 设 是集合 上的函数，如果对 ，存在123,nfx nsr01npx 在 中的邻域 ，使得 ，恒有0pnru123,npxsu0123,nfxf 1nx 则 称为 在 上的局部极大值（极小值） ， 称为01nfx 123,nfx s0p 的局部极大值（极小值）点，如果 是开集，则 称为普通极23, s 值点，否则称为条件极值点. 定理 1 如果 是 的普通极值点，且01npx 123,nfx 在 存在偏导数，则23,nfx 0p01,12ii 证明 是内点，因而 是一元函数 的极值点，因此0p01x01nfx,2nifi 定义：设 在区域 上处处存在偏导数，如果在点123,nfx d 成立 ，则称 为 的判别01np 01,12ifxin 0p123,nfx 点. 如果 为 的极值点，则其实 的判别点，但0123,nfx 123,nf 反之并不成立. 例：令 ，则 ， ，但 并不是2,fy0,fx0,fy0, 的极值点.,fx 11 与一元函数相同，我们需要利用 在判别点处的二阶 taylor123,nfx 展开来讨论所给判别点是否是极值点以及是什么样的极值点.为此我们需要下面 的引理 引理：设 阶对称矩阵 是正定（负定）的，则存在 ，使得对任意na0 ，恒有123,x 21231231,tnnnxxx 2a 证明 中单位球面 是有界闭集，因而是nr21231,/nnnsxx 紧集， 上的函数 连续且处处不为零，因而在ns123,tx 上 达到最小值，设为 ，则对任意 恒有123,0nx 12321, tnnxxa 引理得证. 定理 2 设 是 在区域 内的判别点，若果01npx 123,nfx d 在 的黑赛（hesse）矩阵 是正定的，则13,nfx 0 0fhp 是 的严格极小点，如果 是负定的，则0p 123,nfx f 是 的严格极大点，如果 是不定的，则01nx 0f 不是 的极值点.0 123,nfx 证明 设 2010nf ijfxhp 正定，取 满足上面引理，将 在 点作二阶 taylor展开，由 是0f0 01nx 判别点得 12 20200123111001201, ,2 nnnniitf iiniifxfxdfxxhpx 由于 在 趋于 时是无穷小，因此存在 的邻23,n 01nx 01nx 域 ，使得 时 ，得 ，u1xu 2123,nfxf 是 的严格极小点.01np 23,nfx 如果 不定，则存在 维向量 和 ，使得 ，0fh00fhp 而 ，令 ， ，则 充分小时 和 都在 内f10pt2ptt12d 且 221002fffthtt 充分小时 ，因此 不是极大值点，同理t0fhp0p 2220fft 在 充分小时小于零，因此 不是极小值点，得 不是极值点.t 0 3.2 条件极值问题 我们把附有约束条件的极值问题称为条件极值问题. 条件极值问题的一般形式是在条件组 ， ， 123,0knx 1,2km n 的限制下，求目标函数 123,nyfx 的极值. 在一般情况下要从条件组中解出 个变元并不总是可能的，下面我们介 绍的拉格朗日乘数法就是一种不直接依赖消元而求解条件极值问题的有效方法. 13 我们从 ， 皆为二元函数这一简单情况入手，欲求函数f ,zfxy 的极值，其中 受条件,xy ： c,0xy 的限制. 若把条件 看作 所满足的曲线方程，并设 上的点 位 在c,xyc0,pxyf 条件下的极值点，且在点 的某邻域内方程 能唯一确定可微的隐函0,p 数 ，则 必定也是 的极值点，故由 在ygx0zfxghxf 可微， 在 可微，得到 0,px 0000,xyhffx 而当 满足隐函数定理条件时 00,yg 把代入后又得到 0xyxfpfp 从而存在某一常数 ，使得在 处满足00, 000xxyfp 如果引入辅助变量 和辅助函数 ,lxyfxy 则中三式就是 00000,xxxyyfpl 这样就把条件极值问题，转化为讨论函数的无条件极值问题，这种方法 称为拉格朗日乘数法，中的函数 称为拉格朗日函数，辅助变量 称为拉格l 朗日乘数. 对于由，两式所表示的一般条件极值问题的拉格朗日函数是 14 121212,nmknlxf x 其中 ， 为拉格朗日乘数，并有下面定理12m 设在条件的限制下，求函数的极值问题，其中 与 在区域 内有连fkd 续的一阶偏导数.若 的内点 是上述问题的极值点，且雅可比矩阵d01npx 0111nmmnpx 的秩为 ，则存在 个常数 ， ，使得 为拉格朗m010011,nmx 日函数的稳定点. 3.3 求条件极值的步骤如下： 作拉格朗日函数 ；12mlf 分别令 ，1210nxxl 得到相应的方程组； 解上述方程组得到可能的条件极值点，再对这些点进行判定. 例 求函数 xyyxc2),( 在条件 下的极值8 解 构造函数 解方程组)8(2),( yxyxf 得 ，故点 是函数 的可能极值点3,5,7yx,5(,c 因为只有唯一的一个驻点，且问题的最小值是存在的，所以此驻点(5, 3) 也是函数 的最小值点最小值为),(c .08,42yxy 15 (万元)28352)3,5(c 例 6 求函数 在条件 及 下的极值,fxyz1xy21z 解 作拉格朗日函数 21212,lzxy 令 得120xyzl12yzx20yz1x2yz 解得 ， ， ， ， 或 ， ，1021x013021350 ， ，25x3y3z 将上式代入 得其值分别为 和 ，故原函数在其条件下的,fxy01235 极大值为 ，极小值为 ， 不是极值 .123501235 例 7 已知 ，其