关于导数及其教学研究 毕业论文.doc

四 川 广 播 电 视 大 学毕 业 设 计（论 文）说 明 书题 目 关于导数及其教学研究 学 生 系 别 数学系 专 业 班 级 数学与应用数学 学 号 20081510270287 指 导 教 师 摘要函数导数概念是数学分析中的基本概念，是近代数学的重要内容，随着新课程改革的不断推行这部分内容已被纳入了中学数学教材中，给中学生的学习无疑增加困难，同时也为中学教师的教学带来了一定的难度。然而作为一种重要的数学工具，导数与其它知识有着密切联系，更好的体现了知识点之间的整合，因此导数的引入不应该成为中学中教与学的一种负担。为了更好的实现教与学，本文首先从导数的产生背景对导数产生的时间和地点以及牛顿和莱布尼茨等对导数创立的过程和贡献等方面做了介绍；再从导数的定义、导数的几何意义和其与数学其它知识（极限、连续、可微等）的联系等基础知识进行了讲解和研究；最后重点从导数在求切线、方程的根、解不等式、向量问题、数列以及优化问题等方面对它的教学和应用进行了探索，重点强调导数的使用价值和文化价值。 关键词：微积分、连续、极限、导数、abstractthe functional derivation is basic conception of the mathematical analysis. it is also the most important part of the modern mathematics .with the revolution of the new curriculum reforms，the part of functional derivation has been introduced into context of the middle school. however, it is no doubt that it brings some difficulties to the middle students，of course, and also adds some difficulties to teaching. whereas, as an important tool of mathematics, derivation is related to many other parts of mathematics, and embodies the conformities between other parts in mathematics. so we assure that it shouldnt become a loan for teaching and studying. in order to realize the teaching and studying, this article firstly introduces and discusses some aspects of derivation, mainly from the background, definition and the meanings of geometry. then, we mainly make the exploration on tangent , the analytic geometry , function monotony 、the extreme value，the equation root，the inequality，the vector and optimized question.keyword: the conformity； the new curriculum reform； calculus；derivation differential；limit； continuity四川广播电视大学毕业设计（论文）目 录前 言 第一章 函数导数产生的背景 11.1导数思想的萌芽 11.2 牛顿和莱布尼茨创立导数 2第二章 导数的教学研究 32.1 函数的连续性 32.2 认真讲好两个引例 32.3 重视导数的定义 42.4 理解导数的几何意义 42.5 导数与其他知识的整合 52.6 函数y=f(x)的极值点一定是导数为0的点吗？ 6第三章 导数的教学设计（导数法则） 8第四章 导数的应用 104.1 导数定义的理解和利用 104.2 利用导数求切线方程 114.3 导数与方程根的问题 114.4导数与不等式的综合 124.5 导数与向量的问题 134.6 导数与数列问题 134.7 导数与优化问题 15结束语 17参考文献 18致谢 19附件1 20附件2 21四川广播电视大学毕业设计（论文）前言导数属于高等数学微积分中的内容, 产生于十七世纪的欧洲，在清末开始传入我国，是理工科高等学校必修内容之一。为了普及数学文化，提高数学素质，新的课程改革将其纳入了高级中学数学学科的学习范畴。 它的加入使函数和不等式等方面的许多知识得到了更好的解释和更紧密的联接，使人们用数学知识来解决实际问题的能力和方法得到了丰富，而且还极大的发展了人们的辩证思维能力和文化价值。这部分内容在引入起初曾受到了人们的广泛疑议。就其原因，一方面是因为这部分内容对中学生的学习相对来说是有很大困难的。原本是高等学校开设的内容，纳入中学教材中很难让学生了解导数的整个知识体系，再加上导数的本质就是再处理极限问题，因此要想弄清楚导数就必须搞清极限理论。另一方面，这一部分内容对于中学教师来说也是相对陌生的，为其教学带来了挑战。如何传授给学生，如何让学生掌握其精髓，如何达到预定的教学目标等等问题的研究都还需从零开始。本文试图从函数导数的产生背景、导数的定义、导数的几何意义等方面对导数及其教学进行介绍和研究，最后再从导数与切线、方程的根、不等式的综合、向量的结合、恒成立问题、数列以及优化问题等方面的应用进行了探索，目的在于为中学教与学提供一定的思路。i 第一章 函数导数的产生背景71.1 导数思想的萌芽导数作为微积分的重要部分产生于17世纪下半叶的英国1。它是一种撼人心灵的智力奋斗的结晶，是继欧式几何之后数学史上第二个里程碑，它的产生改变了世界，将人类从一个静态的世界带入了动态的世界。任何事物的产生都是为了满足生产生活的需要，导数同样如此。在当时人们主要是为解决一些如速度、斜率、面积和最值等问题以及如何在军事上使得炮弹打的最远等问题而产生。从古至今有上百的数学家对它进行研究，最早的有毕达哥拉斯2（约公元前560前480）就做出了“穷尽法”的贡献，可以说这是导数思想的萌芽，后来接着有安帝、平巴罗和中国的刘徽等数学家都对导数思想进行了研究。1.2 牛顿和莱布尼茨创立导数导数的产生最具影响力和成就性的只有牛顿（newton）和莱布尼茨（leibniz），通过他们的努力而建立起了微积分学的基础。1736年newton流数法和无穷级数1（写于1671年）的发表开启了历史的新纪元，以无限和变量的观点解决了上面的一些问题，从而掀起了人们对待世界的新看法。也就是由于newton微积分的建立给人们的思想和对世界的认识带来了空前的冲击和改变，而又因为数学家们在一段时间内无法对其给出一个严格而正确的定义，从而遭到了当时许多科学家和教派的严厉反对和讽刺。最突出的有以贝克来为中心的教派唯心论者，他嘲笑newton的“无穷小”为“消失量的灵魂”，而导致了历史上的第二次数学危机。newton在流数法和无穷级数中指出变量是由点、线、面的连续运动产生的，称变量为流（）,变量的变化率为流数（）,即导数，流数的流为。在此时newton虽对导数有了深刻和正确的理解，但并没有给出其严格的定义。尽管后来dalember2看出了newton在本质上具有正确的导数概念，但却因受直观的束缚没有建立在变量的基础上而没能继续前进。而真正站在变量的基础上给出导数定义的第一人是bolzano1，他把的导数定义为经由负值和正值趋于0时，比值无限接近地趋向的量（并且说明了不是两个消失了的量比，而是一个比值所趋近0的一个数）。 后来他又在cauchy的研究基础上通过把定义为任何一有限量和把定义为的方式定义了导数，从而把newton导数和leibniz的微分统一了起来，微分也通过导数也就有了意义，使得导数的定义得到了完善和扩展。newton和 leibniz都成为了历史的巨人，而微积分（导数）更成为了人类永远的光辉。第一章中简单的介绍了函数导数的产生背景，显然导数的产生是实际需要的产物，它的产生为人类文明的发展作出了重要贡献。第二章 导数的教学研究导数是中学数学新课程改革实施以来新增内容之一，其目的是在中学数学中深入微积分的思想方法。在中学阶段学习导数可以完善人们的知识系统，创新学习方法，加快解决如切线、速度、加速度、面积、体积、最值、边际成本（利润）等方面的问题，逐步认识和体会到现代数学的应用价值和科学价值。可以培养人们的动态思维， 正确的理解有限和无限，近似和准确，直与曲等的对立统一，加强思维的开阔和发展。 导数作为高等数学中微积分的一部分定义是精确的，严谨的，抽象的，其展开的方式是公理化基础上的逻辑演绎形式，在教学上主要由原理到例子的同化方式和证明的形式进行学习。根据普通高中数学课程标准9，在导数的学习中主要考查内容有：（1） 导数的定义和几何意义 （2） 导数的运算 （3） 导数在研究函数中的应用（单调性，极值） （4） 生产生活中的优化问题。针对普通高中数学课程标准的要求，在教学中我们想做如下的一些研究和讨论。2.1 函数的连续性 导数是极限的继续，在讲导数之前我们应该认真复习函数在某点的连续的概念：如果,（或者）则称在处连续。这里虽然看是两个定义，但却是异曲同工，并且它与导数有着密切的联系，对它们的理解将对导数定义的理解起到很大的帮助作用 。2.2 认真讲好两个引例 导数概念在微积分中是最重要、最基本且含义深刻的， 在大多数的教材中都采用了通过典型实例（一般23个）来引入，且大多数多引用了牛顿和莱布尼茨的“瞬时速度”和“切线斜率”。他们在教材与教学中有着非常重要的意义 ，通过它们使学生进行比较、分析从而抽象出其实际意义，掌握好导数的概念。2.3 重视导数的定义 在讲解了两个实例后，再将其定义抽象出来学生就不难接受。函数在点处的导数为的定义：如果存在，则称函数在点处可导，极限值记为在理解此定义时要注意的是折射两个变量的比值，在理解了导数的定义外更应该强调的如何利用导数的定义求函数的导数，它的一般步骤是：1.求或；2.求或）；3.取极限求得导数或.下面举例来说明： 例1 设在点处可导，则 （ ） a. b. c. d. 2 设在点处可导，则 ( ) a. b. c. d. 2.4 理解导数的几何意义 导数的几何意义就是莱布尼茨的“切线斜率”， 要理解导数的几何意义可以从以下几个方面入手：2.4.1 导数与切线存在的关系根据导数的定义可知，若存在，则其就是切线的斜率，切线自然存在；但若不存在呢？那就又分两种情况，若，则此时切线是存在的，只不过是垂直于轴的直线；若，则此时切线就不存在。以上关系微妙但却重要，应改充分区分和理解。2.4.2 导数与切线交点问题 在中学教材曾有过“当直线与曲线有且只要有一个公共点时，且整条曲线在直线的一侧时,此切线就是该曲线的切线”的说法,但这仅仅是对圆等比较特殊曲线的一类情况。实际上也存在着如在处的切线为（即轴）曲线分布在轴的两侧和两条都是函数（）的切线这样一类的曲线。它们在某点处的切线除了切点外可能还有其它的公共点，这一类函数在日常的学习和生活中其实很常见只不过在以前我们无法解释回避了而已。所以，只有让学生正确理解了导数和切线的概念才能掌握好这方面的知识，从而在应用中有条有理，头脑清晰。2.4.3 求过某点的切线问题 关于切线的问题很常见，导数的引入为解决过某点的切线问题带来了方便，我们就对其“过的某点是否在曲线上”分别进行研究： 若点在曲线上，说明这点既在曲线上也在所求的切线上。由“点斜式”的求切线的方法，则其切线方程就应该为：当0，法线方程就为： 2.若点不在曲线上，这种情况就要复杂一些。首先我们要找到曲线与切线的连接桥梁，也就是设出曲线与所求直线的公共点切点（，），使其分离的两个事物联系起来。这样子，我们就从不熟悉的环境中回到了上面我们所讲的情况中（知道了切点和斜率），从而我们就可以列出此时的切线方程。 从上面看出“过某点求切线方程”还是有一定难度的，充分体现了代数与几何相结合的思想。2.5 导数与其它知识的整合导数，作为重要的数学工具与极限、连续、微分、极值、切线等方面有着密切的联系。前面已经讲解与切线的关系，下面就对它与其他知识的几种关系进行研究：2.5.1 导数与极限 从导数的发展历程上看newton借助了物理直观的方式引入导数概念，经过了变量“瞬”的无限小增量而获得变化率法和流术法，最初与最后比，和对无穷小量的否定方法的三个阶段而得到了导数。显然其间借助了极限及其思想。如果没有极限，那么导数的定义是难以理解和应用的。极限，它贯穿着整个高等数学，展现了导数的动态观念和动态美。虽然极限一直是数学教学中的一个难点，但可想而知，如果没有极限，那么函数的连续、微分等知识就无法从本质讲起，学生将会产生许多疑问，面对知识会束手无策。从而有可能将极限的教学困难转移到对导数的理解上来，治标不治本，使学生感到知识的行而上学和孤立，所以在学习导数之前很有必要学好极限。2.5.2 连续与可导 人们已经知道何为充分和必要条件，那么导数与连续性在此又会是怎么样的关系呢？从函数在处连续的定义和必要的条件易知，函数在处可导则一定连续，那么函数在处连续时可导吗？看下面例子： 由函数的连续性和函数的有界性可知：()=, 所以此函数在点处是连续的。但()在处时所以，在处连续而不可导，上面关系应是充分不必要。2.5.3 可导与可微 微分属于莱布尼茨的功劳而导数却是牛顿的成果，经过bolzano才使它们联系了起来，那么它们有怎么样的关系呢？由微分定义可知，函数在点处可导与可微是等价的。导函数在点处的微分等于该点的导数乘以自变量的微分,即=,而函数的导数是函数的微分与自变量微分的商，即。它们虽在某时有种等量关系的存在,但并不是说它们就是完全等价的。函数在点的导数()是一个定数值，而微分=是的一个线性函数。再则，从几何意义上讲，导数是曲线在点,处切线的斜率，而微分=是由曲线在点,的切增量，即切线上点的横坐标由变到时的纵坐标变量。其三,在研究函数问题作用也不相同，导数多用于函数性质形态的研究，而微分多用于近似计算和误差估计。它们之间既有联系又有区别，特别要使学生弄清楚它们的区别和运用。2.6 函数的极值点一定是导数为0的点吗？这是一个容易使学生忽视的问题，在我们的讲解过程中往往重点强调了“导数为0的点就是极值点”而其反面就放松了，其实这并不是一个必要充分条件。一般地，函数在点 =处取得极大值，但未必能保证在点=处有导数。例如：=在=0处取得极小值0，但=在=0处却并不可导。反过来，如果在=处导数为0那也不一定有在点=处取得极值。例如：函数=虽有，但当=0时=却无极值。因此，在点 =时取得极值是成立的既不充分也不必要条件。但要强调的是如果函数是可导函数，那么导数为0的点就是函数极值点的必要不充分条件了。在这个问题的理解上有一定难度，一不小心就会使学生的思维发生混乱，我们要尽量从实例出发，让其深刻理解导数的定义和运用。9第三章 导数的教学设计第二章我们主要介绍了导数的相关基本知识,那么在这章中我们主要以多项式函数为例来研究导数运算法则的教学设计。教学目的：学会用导数的运算法则求简单多项式函数的导数教学重点：导数运算法则的应用教学难点：多项式函数的求导教学学时：2课时一、复习引入1、已知函数，由定义求2、根据导数的定义求下列函数的导数： （1）常数函数 （2）函数二、新课讲授1、两个常用函数的导数：（并与前面定义求解进行比较）2、导数的运算法则：（并利用定义进行证明，从形式上对其记忆） 如果函数有导数，那么 也就是说，两个函数的和或差的导数，等于这两个函数的导数的和或差；常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数。例1 求下列函数的导数： （1） （2） （3） （4）为常数) 例2 已知曲线上一点，求：过点a的切线的斜率和切线方程？三、课堂小结：多项式函数求导法则的内容和应用四、课堂练习：1、求下列函数的导数：（1） （2） （3） （4） 2、已知曲线上有两点m（8，0），n（2，8），求：（1）割线mn的斜率； （2）过点m处的切线的斜率；（3）点m处的切线的方程。3、求曲线在点q（2，6）处的切线方程。五、课堂作业：1、求下列函数的导数： （1） （2） （3）（4） （5） （6） 2、求曲线在处的切线的斜率。3、求抛物线在处及处的切线的方程。六、课后思考: 第一课时主要讲解了导数的相关法则的内容和其由来。从学生反应得知，在公式的由来和求高次函数的导数内容难度较大，而导数法则的内容是要求记忆的，是运用的前提，在今后的讲解和练习中应多加以法则为模板对应例题解答过程进行对照的详细的讲解，以便学生尽快从感性上升到理论认识和记忆中。第二课时主要讲解了导数在解析几何中的运用斜率问题。这部分难度较前面课时部分要大，较灵活，学生对从“不用图形求斜率”的代数思想还不能很快的接受。而学生对求“过某点的切线”问题的混淆性很大，应加强对“过某点求切线” 和“过曲线上某点切线”进行区分。另外学生对导数相关课外的知识了解较少，应多准备一些课外的相关资料，以帮助他们更多的了解导数，增加其学习兴趣。 21第四章 导数的应用 前面章节我们主要谈了导数在教学和学习方面中涉及到的问题，作为教学的一个重要目标，在这一章中重点谈谈导数知识的应用。4.1 导数定义的理解和利用例1 已知()在处可导，且，求. 此题说明了只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等价变形，使极限式转化为导数定义的结构形式。例2 设函数 ()求.解：当0时，; 当0时，=由于是该函数分界点，由导数定义可知=1=1所以(0)故=1因此 上题看似简单的求导，但却因为是分段函数就使得其难度有所加大。对于分段函数在分界点时，应该应用导数的定义进行求解，且必须只能用其定义进行。4.2 利用导数求切线方程例 已知曲线=+，求过点p(2,4)的切线方程.解：法一：=4 过点p(2,4)的切线方程为：-4=4(-2)即4-4=0，法二：设曲线=+与过点p(2,4)的切线相切于点（,）,则= 切线方程为 - =( -)即 = -+又切线过点p(2,4)-+解得: =2, =-1故, 所求切线方程为: -+2=0或4-4=0.仔细查看可知道方法一是错误的。事实上，虽然点(2,4)在曲线=+上，但点(2,4)却不一定是切点。题目只需切点经过点(2,4)即可，而方法一中所求的只是在点p(2,4)处的切线。要注意“过某点的切线”中，无论该点是否再曲线上，该点都不一定是切点；在“求某点的切线”中，该点才是切点。从题中还可以看出，过某点的切线可以不止一条。同时反过来，一般的在三次及以上的函数，其切线与函数的交点或切点就可能会出现多个。如=1和 (或),r.4.3 导数与方程根的问题例 设为实数，函数.（）求的极值；（）当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点解：令，当变化时， 的变化情况如下表所示:+0-0+所以的极大值=，极小值.（2），所以当时曲线与轴仅有一个交点。所以当时曲线轴仅有一个交点.4.4 导数与不等式的综合例1 已知为实数，函数（1）若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围;（2）若，（）求函数的单调区间（）证明对任意的，不等式恒成立.解： ， 函数的图象有与轴平行的切线，有实数解 ，即的取值范围是.又，由 或， 由 的单调递增区间是,单调减区间为的最大值为，的极小值为.又,在上的最大值，最小值.对任意，恒有,函数 在区间内可导，导函数是减函数，且.例2 设，是曲线在点处的切线方程，并设函数。（1）用，表示;（2）证明：当时，.解：（1） （2） 令，令，递减，所以递增，当当，是唯一极值点，也是最值点.所以得；当时，.4.5 导数与向量的问题例1 设平面向量若存在不同时为零的两个实数、及实数，使（1）求函数关系式；（2）若函数在上是单调函数，求的取值范围.解：（1）由 得 .（2）在上有由 .由,且在上是增函数故，不存在k，使在上恒成立。故的取值范围是. 4.6 导数与数列问题导数是一种研究函数的重要工具，而数列又可看作是一种特殊的函数，运用导数来研究数列将给教与学带来新的活力。例1 求和s=1+2+3+4+（0，1）(题源：导数试题分析)解： （）= s=（+）=1-此题是常见的数列求和问题，传统的方法是 “错位相减”，但导数则将其简洁了。从上题可以看出在某些数列问题中引入导数工具的确会简化题解，但前提是要能很好的掌握好导数法则及其定义。例2 已知数列通项=+(10-)(n),求数列的最大项。解：法一：设()=(10-),( n), 则()=20-3令()0 得0 ; () 0 得,0()在区间(0, )上是增函数，在区间(,+) 上是减函数.又 当=7时,有()=147.数列的最大项为a=147.法二：做辅助函数()=10-，0 则()=20-3 令()0 得0 ； 令()0得 ,0()在区间(0,)上是增函数，在区间(,+)上是减函数.当=时函数()取得最大值.又对n有()=20-3 且(7)=147 (6)=144(7)=147,即数列的最大项为a=147经过上面两种方法都得出了同一个答案=147，那么是否说明两种解法都是正确的呢？答案是否定的。大致看好像没什么区别，几乎连步骤都一样，其实并不一样。仔细思考可知，方法是一种错误的解法。其中是属于n的一个个正整数，而在解题过程中的区间表述中却出现了分数，这就是矛盾和错误的所在。而在法二中建立新函数时将起定义域设为了0的一切实数，然后再在题尾进行讨论而得到答案。这就是区别，虽然微小但也微妙和关键。因为导数是定义在连续函数上的，而对于数列()是离散的，根本就不存在导数，因而不能求导。这种问题在学习中非常普遍，图一时的快捷而忽视了条件。我们在今后的学习中一定要注意“连续与离散”，如果某题函数是离散的，而你又一定要用导数求解（感到很方便）的话，那么就要在作完题后进行检验并且在与答案最近的那个区间进行讨论。从此题也说明了在数列中引入导数解题虽有时很方便但也要慎重，随时提醒自己“连续与离散”。4.7导数与优化问题利用导数解决实际生活中的优化等问题主要是求极值及其可行范围等是我们学习的目的，也是我们考察的知识和能力的一个体现，也是重点。例1 某工厂每月生产x吨高附加值产品的总成本包括不变成本和可变成本两部分，不变成本为800（万元），可变成本为20（万元）。市场对这种商品的需求函数为=100（0x100），其中为这种商品的单价（单位：万元），为市场对这种商品的需求量（单位：吨），假设每月生产的产品能全部售出（产销平衡）。（1）把月利润（万元）表示为产量（吨）的函数：利润销售收入成本（2）每月生产多少吨时，能获得最大利润？此时产品的单价为多少？解： （1）=20800 =(100)20800=2+80800 （2）=2+80800=（40）2+800 当=40时，=800. 此时单价=100=60 故每生产40吨，能获得最大利润单价60万元.例2 某配件厂为装配线生产若干部件，轮换生产不同的部件时因更新设备要付出生产准备费（与生产数量无关），同一部件的陈列量大于血球时因积压资金，占有仓库要付储存费，今已知某一部件的日需求量100件，生产准备费5000远，储存费用每日每件1元，如果生能力远远大于需求，并且不允许出现缺货。试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（称生产周期），每次产量多少可使总费用最小？解：一. 问题分析：1.若每天生产一次，每次100件，无储存费，生产准备费5000，每天费用5000元.2.若10天生产一次，每次1000件，储存费900+800+100=4500元，生产准备费5000，总计9500元，平均每天费用950元.3.若50天生产一次，每次5000件，储存费4900+4800+100=122500元，生产准备费5000，总计127500元，平均每天费用2550元.二. 模型假设：为了处理方便，我们考虑生产周期t和产量均为连续量。由题做如下假设：1.产品每天的需求量为常数r.2.每天生产准备费为 ，每天产品储存费为.3.生产能力为无限大（相对于需求量），当储存量降到0时，件产品立即生产出来供给需求，即不允许缺货. 三. 模型建立：将储存量表示为时间的函数()，=0生产件，储存量(0)= ，()以需求速率r递增，直到()=0. 显然有：而一个周期的储存费数是c()，其中积分等于图中三角形的面积.一周期的总费用为=+=+.目标函数，即每天的平均费用是： = +.四. 模型求解：= -， 令 =0= （*）将其带入 式中 得 （*）所以，由目标函数式算出最小总费用为：=.（其中（*）和（*）是经济学中著名的经济订货批量公式公式）。五. 结果解释：由（*）和（*）式可以看出