南昌大学理工班选拔考试试卷及答案

数 学 试 卷 学院：_姓名：_编号：_总分：_ 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1设 ，且 ，则 等于 ( )2zf)( ),()(Ryxiif 1)(if1 (A) (B) (C) (D)yixyxyix 2若 ，则方程 的根是 （ f)( xf)4( ） (A) (B) (C)2 (D)2121 3设函数 若 ，则 x0的取值范围是 （ 12 ,0()xf)(0xf ） (A)（1，1） (B)（1，+） (C)（，2）（0，+） (D)（，1）（1，+） 4若 则 （ ,cosin,cosin,4ba ） (A)ab (C)ab2 5已知曲线 C 的方程为 ，则曲线 C 的大致图象是 ( )1|2xy 6设有不同的直线 、 和不同的平面 、 、 ，给出下列三个命题：aba （1）若 ， ，则 。 （2）若 ， ，则 。/a/ （3）若 , ，则 。 其中正确的个数是 （ ） (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 7在等差数列 中， ，从第 10 项开始比 1 大，记 ，则 t 的取值范251 Sann)(lim2 围是 （ ） (A) (B) (C) (D)754t 378t5374t 50374t 8已知直线 相切，则三条边长分别为| a|，|b|，|c|的三角形1)0(2yxabcyax与 圆（A） （B） （C） （D） （ ） (A)是锐角三角形 (B)是直角三角形 (C)是钝角三角形 (D)不存在 9如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E 为 CC1的中点，过点 E 作一条直 线与直线 A1D1和 AB 都相交，则这样的直线 ( ) (A) 有三条 ( B ) 有两条 (C ) 仅有一条 ( D ) 不存在 10某种电热水器的水箱盛满水是 200 升，加热到一定温度，即可浴用， 浴用时，已知每分钟放水 34 升，在放水的同时按 毫升秒 的匀910 加速自动注水(即 t 分钟自动注水 2 升).当水箱内的水量达到最小值时，放水程度自动停止，现假定t 每人洗浴用水量为 65 升，则该热水器一次至多可供 （ ） (A)3 人洗浴 (B)4 人洗浴 (C)5 人洗浴 (D)6 人洗浴 11已知 A 箱内有红球 1 个和白球( n+1)个， B 箱内有白球( n-1)个（ *，且 ） 现随意从 A 箱 中取出 3 个球放入 B 箱，将 B 箱中的球充分搅匀后，再从中随意取出 3 个球放入 A 箱，则红球由 A 箱移入到 B 箱，再返回到 A 箱中的概率等于 ( ) (A) D.12)(n9C.2n3. 12 n 12已知 则 的值为 ( )()(3),ff=-3limxfx- (A) 4 (2)0 (C)8 (D)不存在 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分把答案填在题中横线 13不等式组 表示的平面区域内的整点（横纵坐标均为整数的点）的个数为_个。 60yx 14仓库有一种堆垛方式，如图（3）所示，最高一层 2 盒，第二层 6 盒，第三层 12 盒，第四层 20 盒，请你写在堆放层数 与盒数 n 的一个关系 .na 15在某次数学考试中，学号为 的同学的考试成绩)4,321(i ，且满足 ，则这四位同学的考试成绩的所有可能情况有 93,087,5)(if )(ff _种 16直角三角板在平面 上的射影可以是_(写出所有你认为可能情况的序号) 一点 线段 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形 三、解答题：本大题共 6 小题，共 48 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(6 分)已知 ，试判断 的形状ABCBACAB 7-3 18(5 分)一批零件有 5 个合格品及 2 个次品，安装机器时，从这批零件中任意取出 1 个，如果每次取出 的次品不再放回去，已知取得合格品之前取出的次品数为 ，求 () 的概率分布； () E . 19(9 分)如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB=90，侧棱 AA1=2，D、E 分 别是 CC1与 A1B 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是ABD 的垂心 G. （）求 A1B 与平面 ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） ； （）求点 A1到平面 AED 的距离. 20(8 分)已知函数 在 上有定义， 且满足 有()fx1,1)2(f,(1,)xy (yfx （1）证明：f（x）在（1，1）上为奇函数； （2）对数列 求 ；,12,1nnx)(nf （3）求证 .25)()(21 ffxf 21(8 分)设 恰有三个单调区间，试确定 的取值范围，并求出这三个单调区间。3()fxaa 22(10 分)点 P（x，y）到定点 F（3，0）和定直线 x=1 的距离分别为 d1、d 2，且 2d1+d2=5。 (1)求动点 P 的轨迹方程，并且画出此方程的曲线 C (2)若动点 Q（x，y）在曲线 C 上运动，试问 Q 在什么情况下，|QF|取最大值、最小值？并求出此最 大值或最小值。 答案 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A D A D A D B C B C C 二、填空题： 1328 14。 15。15 16。 )1(na 三、解答题： 7-5 17.()0ABCBABCAC 解 :为 直 角 三 角 3分4分5形分 6分 18 （） 的概率分布如下： 0 1 2 P( ) 75251 3分 () 7521 4分 31 5分 19 （）解：连结 BG，则 BG 是 BE 在面 ABD 的射影，即EBG 是 A1B 与平面 ABD 所成的角. 设 F 为 AB 中点，连结 EF、FC，12211,.,336,.,.2sin.3arc24sinDECABDABCEFGFEFABBED 分 别 是 的 中 点 又 平 面 为 矩 形连 结 是 的 重 心 在 直 角 三 角 形 中于 是 与 平 面 所 成 的 是 分角 分分 （）连结 A1D，有 EADEV11 5分, FBFBE又 , 设 A1到平面 AED 的距离为 h，1平 面 6分 则 . 故 A1到平面 AED 的距离为 .EDShBAED1 3621K362 9分 20 （1）令 则,0yx0)(,)(2ff 分 令 则 为奇函数. )(,xffx 2 分 （2） ， 1)(1f ),(1()2()1 nnnnn xffff 3分 是以1 为首项，2 为公比的等比数列.nnxfx即 )(1 4分 （3） )211()(1 2 nnxffx ,)211nnn 6分 而 ,2(52n 7分 .5)12nxffx 8分 21解：f(x)=3ax 2+1 1 分 若 a 0，则 f(x)0, x(-,+)此时(x)只有一个单调区间，矛盾 3 分 若 a=0，则 f(x)=x，此时 f(x)也只有一个单调区间，矛盾 4 分 若 a0，则 )31)(3) axxaf 6 分 综上可知，a0 时， 恰有三个单调区间，其中减区间为 ,)(f )31,(a),( 增区间为 )31,(a 8 分 22依题意 |1|)(221 xyxd 分 所求曲线方程为 图略 )1(,)37()14(6)(,)2(2