Radon变换与CT扫描技术ppt课件

现代数学的应用 Radon变换与 CT扫描技术 * 1 奥地利数学家 Radon分别在 1917年和 1919 年分别提出了 Radon变换和 Radon逆变换； Radon积分 CT 技术的物理过程 ; Radon反变换 CT 技术图像重建过程 ; 1972年，英国 EMI公司制作了第一幅 CT图 像，发明了无损伤诊断探测技术。 一 、背景 Date 2 二、 CT扫描技术的基本原理： 设一束平行光束的密度函数（或称吸收函数） ，其中 为介质 ， 该光束的初始强度为 ,照射后强度为 ，强度的衰 减率为 ，解得 。 给出两个坐标系： XY,su， 两者之间的关系如 下 Date 3 定义复数： z=x+iy,z1=s+iu ，则 z=z1exp(I ) 接收信号 为 Date 4 Radon变换： R-Radon算子（或称 投影算子） Rf表示函数表示函数 f（ x,y)在在 s-0u坐标系下经过坐标系下经过 确定的点对坐标确定的点对坐标 u的一维投影。的一维投影。 0Date 5 Radon反变换： 极坐标下可表示为：极坐标下可表示为： Date 6 Radon反变换的具体实现有两种不同 方法 :卷积反投影方法和滤波反投影方法 . Radon反变换揭示了 CT技术中图象重 建的基本方法 ,即在 CT投影数据的基础上 依次进行滤波操作和反投影操作 ,方便地 重建出原始数据的图象 . Date 7 三、 Radon变换特性 : 1.线性 . 如果 的 Radon变换分别为 ,那么 , 的 Radon变换是 . Date 8 2.带线性 3.对称性 即 Date 9 4.周期性 5.位移性 如果 f(x,y)的 Radon变换为 ,那么 Date 10 6.伸缩性 Date 11 四、 Radon变换及其反变换的精髓 在于提供了一套完整的投影 数 据 , 获 得和原始 图 像重建的 严谨 算法 ，同 时 投影 数 据的 获 得又无 须 深 入物体 内 部。 Date 12 Radon变换应用在许多实际问题中，如 ： 1）排水问题， 2）石油流动问题， 3）航空工业中的动力问题， 4）薄膜的特征值问题等等。 Date 13 值得一提的是：衰减 Radon变换突破了 Randon变换只能沿直线进行线积分的限 制并成功地运用到单光子单层摄像、气体 动力学和等离子体物理学中。 Date 14 最新研究 Date 15 一、波动方程反问题的 求解 Date 16 1） 波动方程声速的反演在地球物理、海 洋物理、连续截至力学等领域是一个十 分重要的数学物理反问题。 Date 17 2) 在一定限制条件下的波动力学的传播特 性有 与 Radon变换相同的数学过程，这 样 Radon反变换算法可直接应用到波动 力学反问题的求解上。 Date 18 3) 对均匀背景下有摄动的波动场利用 Radon反变换的方法成功地解决了这 种条件下波动方程的速度系数反问题 ，而这种解决方法不需要深入到波动 场内部进行测量。 Date 19 4) 高维波动方程的反问题 ,根据奇性解 的演化去求声速的 Radon变换 ,将反问 题的解转化为 Radon反变换 ,而 Radon 反变换能够只根据外部测量数据重建 内部截面图像 .已有计算实例证实了这 种方法的有效性 . Date 20 二 、反源及反势问题 Date 21 二维椭圆型偏微分方程的反源问 题 讨论方程 : 如何利用边界上的可测值来反 演源函数 f(x,y)的分布 (2.1) Date 22 二维椭圆型偏微分方程 f(x,y)的 Radon变换式实质上是某个特定函数 在左右边界上的差值 , 通过计算可方便求出 . 中源函数 Date 23 v 势和势函数成功的应用于诸如量 子力学、电磁学、流体动力学和弹性 力学等领域 v 势函数的反问题，即反势问题，大 都局限于某个具体的物理现象和方程。 v采用的方法：迭代法、最小二乘法和 有限元法等。 Date 24 将 Radon变换及其反投影变换原理应 用于二维椭圆型偏微分方程反势问题 的求解 ,从另一个角度解决了小扰动 情况下椭圆型偏微分方程的反势问题 . Date 25 v 思想 ： Radon变换及其反变换 应用于二维椭圆型偏微分方程反势 问题的求解，无须深入物体内部， 只利用边界上物理量的测量值即可 很好的反演出势函数。 Date 26 针对二维条码的符号结构特点，根据 Radon变换的基本思想方法，提出一种 对识别无间断的连续线段很有效的算法 和一种对识别 “铁路线 ”很有效的算法。 三、图像定