三角函数诱导公式、万能公式、和差化积公式、倍角公式等公式总结及其推导

三角函数诱导公式： 诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限 ”。 “奇、偶”指的是 /2 的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数 的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。（反之亦然成 立）“符号看象限”的含义是：把角 看做锐角，不考虑 角所在象 限，看 n (/2) 是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负 号。 符号判断口诀： “一全正；二正弦；三两切；四余弦”。这十二字口诀的意思就 是说： 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”； 第二象 限内只有正弦是“+” ，其余全部是“”； 第三象限内只有正切和余 切是“+”，其余全部是“”； 第四象限内只有余弦是“+”，其余全部 是“” 。 “ASCT”反 Z。意即为“all(全部)”、“sin” 、“cos”、“tan” 按照将字母 Z 反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。 三角函数诱导公式 - 其他三角函数知识 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 tan cot=1 sin csc=1 cos sec=1 商的关系 sin/cos=tan=sec/csc cos/sin=cot=csc/sec 平方关系 sin2()+cos2()=1 1+tan2()=sec2() 1+cot2()=csc2() 两角和差公式 sin（+ ）=sincos+cossin sin（）=sincos-cossin cos（+）=coscos-sinsin cos（ ）=coscos+sinsin tan（+ ）=(tan+tan )/(1tan tan) tan（）=(tantan)/(1+tan tan) 二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2=2sincos cos2=cos2()sin2()=2cos2()1=12sin2() tan2=2tan/(1tan2() 半角的正弦、余弦和正切公式 sin2(/2)=(1cos)/2 cos2(/2)=(1+cos)/2 tan2(/2)=(1cos)/(1+cos) tan(/2)=(1cos)/sin=sin/1+cos 万能公式 sin=2tan(/2)/(1+tan2(/2) cos=(1tan2(/2)/(1+tan2(/2) tan=(2tan(/2)/(1tan2(/2) 三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin3=3sin4sin3() cos3=4cos3()3cos tan3=(3tantan3()/(13tan2() 三角函数的和差化积公式 sin+sin=2sin(+)/2) cos()/2) sinsin=2cos(+)/2) sin()/2) cos+cos=2cos(+)/2) cos()/2) coscos=2sin(+)/2) sin()/2) 三角函数的积化和差公式 sin cos=0.5sin(+)+sin() cos sin=0.5sin(+)sin() cos cos=0.5cos(+)+cos() sin sin= 0.5cos(+)cos() 三角函数诱导公式 - 公式推导过程 万能公式推导 sin2=2sincos=2sincos/(cos2()+sin2()*， （因为 cos2()+sin2()=1） 再把*分式上下同除 cos2()，可得 sin2=2tan/(1+tan2() 然后用 /2 代替 即可。 同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余 弦得到。 三倍角公式推导 tan3=sin3/cos3 =(sin2cos+cos2sin)/(cos2cos-sin2sin) =(2sincos2()+cos2()sinsin3()/(cos3() cossin2() 2sin2()cos) 上下同除以 cos3()，得： tan3=(3tantan3()/(1-3tan2() sin3=sin(2+)=sin2cos+cos2sin =2sincos2()+(12sin2()sin =2sin2sin3()+sin 2sin3() =3sin4sin3() cos3=cos(2+)=cos2cossin2sin =(2cos2()1)cos2cossin2() =2cos3()cos+(2cos2cos3() =4cos3()3cos 即 sin3=3sin4sin3() cos3=4cos3()3cos 和差化积公式推导 首先,我们知道 sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb- cosa*sinb 我们把两式相加就得到 sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb 所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2 同理,若把两式相减,就得到 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2 同样的,我们还知道 cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b) =cosa*cosb+sina*sinb 所以,把两式相加,我们就可以得到 cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb 所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2 同理,两式相减我们就得到 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2 这样,我们就得到了积化和差的四个公式: sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2 好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得 到和差化积的四个公式. 我们把上述四个公式中的 a+b 设为 x,a-b 设为 y,那么 a=(x+y) /2,b=(x-y)/2 把 a,b 分别用 x,y 表示就可以得到和差化积的四个公式: sinx+siny