【数学】安徽省江南十校2017届高考模拟试卷(3月份)(理)

安徽省江南十校 2017 年高考数学模拟试卷（理科） （3 月份） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1若 ，则|z |=（ ） A B1 C5 D25 2设集合 A=xZ| x|2， ，则 AB=（ ） A 1，2 B1， 2 C 2，1，2 D 2， 1，0，2 3已知平面向量 =（1，m） ， =（2，5） ， =（m，3） ，且（ + ）（ ） ，则 m=（ ） A B C D 4已知 ，则 sin（sin cos）=（ ） A B C D 5已知 MOD 函数是一个求余函数，其格式为 MOD（n，m） ，其结果为 n 除以 m 的余数， 例如 MOD（8，3）=2 下面是一个算法的程序框图，当输入的值为 36 时，则输出的结果 为（ ） A4 B5 C6 D7 6质地均匀的正四面体表面分别印有 0，1，2，3 四个数字，某同学随机的抛掷次正四面 体 2 次，若正四面体与地面重合的表面数字分别记为 m，n，且两次结果相互独立，互不影 响记 m2+n2 4 为事件 A，则事件 A 发生的概率为（ ） A B C D 7 九章算术是我国古代的数字名著，书中均属章有如下问题：“今有五人分五钱， 令上二人所得与下三人等问各德几何 ”其意思为“已知 A、B、C、D、E 五人分 5 钱， A、B 两人所得与 C、D、E 三人所得相同，且 A、B、C 、D、E 每人所得依次成等差数 列问五人各得多少钱？”（“钱” 是古代的一种重量单位） 在这个问题中，E 所得为（ ） A 钱 B 钱 C 钱 D 钱 8如图，网格纸上小正方形的边长为 1，实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的 体积为（ ） A20 B22 C24 D26 9设ABC 的面积为 S1，它的外接圆面积为 S2，若ABC 的三个内角大小满足 A：B：C =3：4：5，则 的值为（ ） A B C D 10若函数 f（x ）的图象如图所示，则 f（x）的解析式可能是（ ） A B C D 11已知球的直径 SC=6，A 、 B 是该球球面上的两点，且 AB=SA=SB=3，则棱锥 SABC 的 体积为（ ） A B C D 12设x 表示不小于实数 x 的最小整数，如 2.6=3，3.5= 3已知函数 f（x）=x 22x， 若函数 F（x） =f（x） k（x 2）+2 在（1，4上有 2 个零点，则 k 的取值范围是（ ） A B C D 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13已知实 x，y 数满足关系 ，则| x2y+2|的最大值是 14若（x+y） 3（2x y+a） 5 的展开式中各项系数的和为 256，则该展开式中含字母 x 且 x 的次数为 1 的项的系数为 15已知双曲线 =1 上一点 P（x，y ）到双曲线一个焦点的距离是 9，则 x2+y2 的值 是 16将函数 y=sin2xcos2x 的函数图象向右平移 m 个单位以后得到的图象与 y=ksinxcosx（k0）的图象关于 对称，则 k+m 的最小正值是 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17已知 Sn是数列a n的前 n 项和，且满足 Sn2an=n4 （1）证明S nn+2为等比数列； （2）求数列S n的前 n 项和 Tn 18美团外卖和百度外卖两家公司其“骑手”的日工资方案如下：美团外卖规定底薪 70 元， 每单抽成 1 元；百度外卖规定底薪 100 元，每日前 45 单无抽成，超出 45 单的部分每单抽 成 6 元，假设同一公司的“骑手”一日送餐单数相同，现从两家公司个随机抽取一名“骑手” 并记录其 100 天的送餐单数，得到如下条形图： （）求百度外卖公司的“骑手”一日工资 y（单位：元）与送餐单数 n 的函数关系； （）若将频率视为概率，回答下列问题： 记百度外卖的“骑手” 日工资为 X（单位：元） ，求 X 的分布列和数学期望； 小明拟到这两家公司中的一家应聘“骑手”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利 用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由 19如图，四边形 ABCD 是边长为 的正方形，CG平面 ABCD，DE BFCG，DE=BF= CGP 为线段 EF 的中点， AP 与平面 ABCD 所成角为 60在线段 CG 上取一点 H，使得 GH= CG （1）求证：PH平面 AEF； （2）求二面角 AEFG 的余弦值 20在平面直角坐标系中，直线 不过原点，且与椭圆 有两个不同 的公共点 A，B （）求实数 m 取值所组成的集合 M； （）是否存在定点 P 使得任意的 mM ，都有直线 PA，PB 的倾斜角互补若存在，求 出所有定点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 21已知函数 f（x ）=e x1+a，函数 g（x ）= ax+lnx，aR （）若曲线 y=f（x）与直线 y=x 相切，求 a 的值； （）在（）的条件下，证明：f（x ）g（x）+1； （）若函数 f（x ）与函数 g（x）的图象有且仅有一个公共点 P（x 0，y 0） ，证明：x 02 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选修 4-4：坐标系与参数方程 22已知 P 为曲线 上的动点，直线 C2 的参数方程为 （t 为参 数）求点 P 到直线 C2 距离的最大值，并求出点 P 的坐标 选修 4-5：不等式选讲 23已知关于 x 的方程 在 x 0，3上有解 （）求正实数 a 取值所组成的集合 A； （）若 t2at30 对任意 aA 恒成立，求实数 t 的取值范围 参考答案 一、选择题 1B 【解析】 = = ，则|z|= =1 故选：B 2C 【解析】A= 2， 1，0，1，2， B=x|x 或 x0， 故 AB= 2， 1，2 ， 故选：C 3D 【解析】根据题意，向量 =（1，m） ， =（2，5） ， =（m，3） ， 则 ； 若（ + ）（ ） ， （m+ 1） （m 5）=（m+3）（ 1） 解可得： ； 故选：D 4A 【解析】 ， 故选：A 5D 【解析】模拟执行程序框图，可得： n=36，i=2，MOD （36，2）=0，j =1，i =3 满足条件 in，MOD（36， 3）=0 ，j =2，i=4 满足条件 in，MOD（36， 4）=0 ，j =3，i=5 满足条件 in，MOD（36， 5）=1 ，i =6 N *，可得 i=2，3，4，6，9，12，18， 共要循环 7 次，故 j=7 故选：D 6B 【解析】质地均匀的正四面体表面分别印有 0，1，2，3 四个数字，某同学随机的抛掷次正 四面体 2 次， 正四面体与地面重合的表面数字分别记为 m，n，且两次结果相互独立，互不影响 基本事件总数 N=42=16， 记 m2+n24 为事件 A，则事件 A 包含听基本事件有：（1，1） ， （0，1） ， （1，0） ，共 3 个， 事件 A 发生的概率为 故选：B 7D 【解析】由题意：设 A=a4d，B=a3d，C =a2d，D= ad，E=a， 则 ， 解得 a= ， 故 E 所得为 钱 故选：D 8C 【解析】由三视图可知：该几何体是一个棱长为 3 正方体去掉 3 个棱长为 1 的小正方体剩 下的部分该几何体的体积 V=33313=24故选：C 9D 【解析】在ABC 中，ABC 的三个内角大小满足 A：B：C =3：4：5， A=45，B=60，C=75， 那么ABC 的面积为 S1= acsinB= a2 = a2 外接圆面积为 S2=R2，R= ， = 故选 D 10B 【解析】由题意，x=0，y 0，排除 A， 0x1，x1，y ，排除 C， D 选项中，f（2）=5 ，f（3）= ，不符合，排除 D 故选：B 11D 【解析】球的直径 SC=6，A、B 是该球球面上的两点，且 AB=SA=SB=3， 由条件：SOAB 为棱长为 3 的正四面体， 其体积为 = ，同理 ， 故棱锥 SABC 的体积为 故选：D 12C 【解析】令 F（x ）=0 得 f（x）=k（x2） 2， 作出函数 y=f（x）和 y=k（x 2）2 的图象如下图所示： 若函数 F（x） =f（x） k（x 2）+2 在（1，4上有 2 个零点， 则函数 f（x）和 g（x）=k（x 2）2 的图象在（1，4上有 2 个交点， 经计算可得 kPA=5，k PB=10，k PO=1，k PC= ， k 的范围是1， ）5，10） 故选：C 二、填空题 135 【解答】5 由条件可知：z=x2y +2 过点 M（1，3）时 z=5，|z| max=5， 解：作出不等式组 ，对应的平面区域如图：由 解得 M（1，3） ， 由条件可知：z= x2y+2 过点 M（1，3）时 z=5，| z|max=5， 故答案为：5 147 【解析】 （x+y） 3（2x y+a） 5 的展开式中各项系数的和为 256， 令 x=y=1，得 23（a+1） 5=256， 解得 a=1， 所以（x+y） 3（ 2xy+1） 5 的展开式中含字母 x 且 x 的系数为： 故答案为：7 15 133 【解析】双曲线 =1 的 a=4，b=6，c= =2 ， 不妨设点 P（x ，y ）在右支上， 由条件可知 P 点到右焦点（2 ，0）的距离为 9， 即为 =9，且 =1， 解出 x=2 ，y =9， 则 x2+y2=52+81=133 故答案为：133 162+ 【解析】将函数 y=sin2xcos2x=cos2x 的函数图象向右平移 m 个单位以后得到 y=cos2（xm）= cos（2x2m）的图象， 根据所得图象与 y=ksinxcosx= sin2x（k0）的图象关于 对称， 设点 P（x 0，y 0）为 y=cos（ 2x2m）上任意一点， 则该点关于 对称点为 在 y= sin2x（k0）的图象上， 故有 ， 求得 k=2，sin（2x 0 ）=cos（2x 02m） ，即 cos（2x 0 ）=cos（2x 02m） ， 2 m= +2k，kZ，即 2m= 2k，kZ ，故 m 的最小正值为 ， 则 k+m 的最小正值为 2+ 三、解答题 17 （1）证明：当 n=1 时，a 1=S1，S 12a1=14， 可得 a1=3， Sn2an=n4 转化为：S n2（S nSn1）=n4（n2） ， 即 Sn=2Sn1n+4， 所以 Snn+2=2Sn1（n1）+ 2 注意到 S11+2=4， 所以S nn+2为首项为 4，公比为 2 等比数列； （2）由（1）知： ，所以 ， 于是 = = 18解：（）百度外卖规定底薪 100 元，每日前 45 单无抽成，超出 45 单的部分每单 抽成 6 元， 当送餐单数 n45，nN *时，百度外卖公司的“骑手”一日工资 y=100， 当送餐单数 n45，nN *时，百度外卖公司的 “骑手”一日工资 y=100+（n45） 6=6n170，nN *， 百度外卖公司的“骑手” 一日工资 y（单位：元）与送餐单数 n 的函数关系为： （）记百度外卖的“骑手”日工资为 X（单位：元） ，由条形图得 X 的可能取值为 100，106，118，130， P（X=100）= =0.2， P（X=106）= =0.3， P（X=118）= =0.4， P（X=130）= =0.1， X 的分布列为： X 100 106 118 130 P 0.2 0.3 0.4 0.1 E（X）=1000.2+1060.3+1180.4+ 1300.1=112（元） 美团外卖“骑手” 日平均送餐单数为：420.2+440.4+460.2+480.1+500.1=45 所以美团外卖“骑手” 日平均工资为：70+451=115（元） 由知，百度外卖“骑手” 日平均工资为 112 元 故推荐小明去美团外卖应聘 19证明：（1）连接 AC，BD 交于点 O，连接 OP，则 O 为 BD 中点， OPDE ，OP 面 ABCD PAO 为 AP 与面 ABCD 所成角， AP 与平面 ABCD 所成角为 60，PAO=60 在 Rt AOP 中， RtAHC 中， 梯形 OPHC 中， AP 2+PH2=AH2，APPH， 又 EH=FH，PHEF ，又 APEF=P，PH面 AEF 解：（2）CG 面 ABCD，ABCD 为正方形， 如图所示建立空间直角坐标系 G（0，0， ） ，E（ ， 0， ） ，F（0， ， ） ，H （0，0， ） ，P（ ， ， ） ， =（ ， ，0） ， =（ ，0， ） ， ， PH面 AEF，面 AEF 的法向量为 ， 设面 EFG 法向量为 ， 则 ，取 x= ，得 ， 设二面角 AEFG 的平面角为 ，由题意 为钝角， 则 cos= = 故二面角 AEFG 的余弦值为 20解：（1）因为直线 不过原点，所以 m0， 将 与 联立，消去 y 得： ， 因为直线与椭圆有两个不同的公共点 A，B， 所以=8m 216（m 24）0，解得 ， 所以实数 m 的范围组成的集合 M 是 ； （2）假设存在定点 P（x 0，y 0）使得任意的 mM，都有直线 PA，PB 的倾斜角互补， 即 kPA+kPB=0，令 ， 所以 ， 整理得： ， 由（1）知 x1，x 2 是 的两个根， 所以 ， 代入（*）化简得 ， 由题意 解得 或 所以定点 P 的坐标为 或 ， 经检验，满足题意， 所以存在定点 P 使得任意的 mM ，都有直线 PA，PB 的倾斜角互补， 坐标为 或 21解：（）设曲线 y=f（x）在 Q（x 1，y 1）点处切线是 y=x，则 由于 所以 x1=1，y 1=1， 由题意知： ，于是 a=0 （）证明：令 ， 当 x（0，1）时，0e x