上海海事大学高等数学a(二)2011-2012(a)解答

上 海 海 事 大 学 试 卷 2011 2012 学年第二学期期末考试解答 高等数学 A（二） （A 卷） （本次考试不能使用计算器） 班级 学号 姓名 总分 一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分 3 小题, 每小题 4 分, 共 12 分) 1、 ( D ) 2、 （C） 3、 （C ） 二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分 5 小题, 每小题 4 分, 共 20 分) 1、 zedyx 2、 ()xC 3、 S943 三 计算题（必须有解题过程） （本大题分 7 小题，共 70 分） 1、 （本小题 7 分） 设 ，求 ，)0(arcsin2xyz xzy2 解： = 4 分x 22221y 7 分2 2)(xyz 题 目 一 二 三 （1） 三 （2） 三 （3） 三 （4） 三 （5） 三 （6） 三 （7） 得 分 阅卷人 - 装 订 线- 2 2、 （本小题 7 分） 计算二重积分 21sin(),:0,2DIxydDxy 解： 1 分co = 4 分 2020 )cos()s(xx dydyd = 6 分2020 )1cosin1( = 7 分 3、 （本小题 7 分） 判别下列级数的敛散性，若是任意项级数要说明绝对收敛还是条件收敛。 0,cos1an 解： ，11nn an1)(lim2 所以当 时，原级数绝对收敛 4 分a ， 为交错级数 条件收敛 6 分n)(cosn)( ，原级数发散 7 分nu,10 4、 （本小题 7 分） 将 展开为 的幂级数，并指出收敛域xxfarct)( 解：由 3 分1,)1(1022xfnn 得 5 分120)(nnfx41arct)0(f 得 ， 7 分xxftn120)(nnxx （x=-1 没包含，扣一分） 第 3 页 共 5 页 5、 （本小题 7 分） 计算 其中是由 x=0,y=0,z=0 及 dxyzdzxeydzx )23()3()sin( 在第一卦限中所围成的立体 的表面的外侧。123y 解：原式= 5 分dvdvzRyQxp)231( = 2V=2 7 分 6、 （本小题 7 分） ，其中 L 是沿摆线231(3)(sin)xLyedyd sin1coxty 从 O(0,0)到 A( 一段弧。,2 解： ，与路径无关。 2 分2 213,sin,x PQPyeQyx 原式= 4 分2008(i)3xOBAdyd = 。. 7 分 33(1)cosine 7、(本小题 7 分) 5、 计算 ， 为平面曲线 绕 Z 轴旋转一周形成的曲面与平dvyxI)(22yz 面 z=1 围成的区域 解： 为 ， 1 分2, 所以原式= 4 分zdrd0310 = 7 分6 或 1202rz 8、 （本小题 7 分） 4 求 12n 解：因为 1 分1n 12)(2nn 令 4 分 1212)()nnxxxS ， 6 分 ,)(22 所以 7 分 1n .31S 9、 （本小题 7 分） 求微分方程 的通解 。()12y 解：令： ，得 2 分 pp, ， 3 分()22yy 即 ， 5 分dp12pCy12() ，yx21 通解为： 7 分arctnC12 10、 （本小题 7 分） 求微分方程 的通解。yyxex42() 解：特征方程 的根为： 1 分02rr12 对应的齐次方程的通解为 ， 3 分yCxe() 设特解为 ，代入方程得yxABxp22( 第 5 页 共 5 页 6 分yxxp2162 故所求通解为 。7 分yCxxe123421 四、证明题（本题 6 分） 在椭球面 第一卦限 P 点处作切平面，使其与三个坐标面22zyx 所围的四面体体积最小，证明向径 的三个方向角相同。 O