【高考数学学习技巧】直观易行的交集法解题法

直观易行的交集法解题法 由于集合的元素可以是数，也叫以是点，是数对，甚至是 人或物，因此用交集法的思想去解题，非常直观、易行。 要找几个集合的交集，常用如下两种办法：一是把各个集 合都找出来，然后找它们的公共部分，前而讲的交轨作图法用 的就是这种办法；另一种办法是先找出其中一个集合，然后从 中逐次剔除不在其他有关系集合中的元素，剩下的就是它们的 交集，这种办法的实质就是逐步淘汰法，侦破案件常常就是采 用这种办法，逐步缩小侦破范围，终达目的。 (例 11)已知 f(x)=x2 6x+5，问满足 f(x)+f(y)O 与 f(x) f(y) 0 的点(x，y) 在平面上的什么范围，并作图(1979 年全国数学 竞赛题)。 解：f(x)+f(y) =(x2-6x+5)+(y2-6y+5) =（x-3)2+(y-3)2-8； f(x) f(y) =(x2-6x+5)-(y2-6y+5) =（x-3)2-(y-3)2 =(x-y)(x+y-6)。 因此，原题是求满足 (x-3)2+(y-3)2-8O 的点集与满足 (x-y)(x+y-6)0 的点集的交集。满足的点集 A 是山圆心在(3，3)，半径 为 8 的圆(x-3)2+(y-3)2=8 的圆周上的点及圆内点构成(图 3-8 左 图的阴影部分)；满足的点集 B 是山 满足 图 3 8 (i)x-yO x+y-60 或(ii)x yO x+y-60 的点构成(图 3 8 中图的阴影部分)。 于是，问题变为求 AB，求得的解是罔 3 8 右图的阴影部 分。 例 12)求两个数，它们的最大公约数是 72，最小公倍数是 864。 分析山于这两个数的最大公约数是 72，所以可设这两个数 为 72m 与 72n，其中 m 与 n 互质。再设集合 A 含两个元素 72 与 m，集合 B 含两个元素 72 与 n，则 AB 只有一个元素 72， 且 AB 的所有元素的乘积应等于所求两数的最小公倍数 864(见图 3 9)，即 72mn=864，或 mn=12，其中 m 与 n 互质，故 有 m1 3 nl 24 昆明辩证 /?lweor 3 所以本题有两解：72 与 864；216j288 网 3 9 (1)容斥原理 在计算一个集合 A 的元素的个数( 记为 A，下同)时，有时 用间接计算法比直接计算法更为简便。例如，要计算 l 到 100O 之问不能被 5 整除的整数个数时；可以先计算 l 到 1000 能被 5 整除的整数的个数(这很容易，其个数为 10005=200)，因此 l 到 l000 之间不能被 5 整除的整数的个数就是 1000-200=800。 这种间接计算原理叫叙述如下：如果集合 A 是集合 s 的一 个子集合，则属于 A 的元素的个数，等于 S 的所有元素的个数 减去属于 S 而不属于 A 的元素的个数。用记号 A 表示属于 S 而 不属于 A 的元素的集合，则上述原理可以写为 A=S-A 或 A=S-A 图 3-10 在这个原理中，A 与 A 的元素不同(相斥)，即 AA=0，且 A 是 A 的补集，即 AA=s(相容)，故称它为“容 斥原理”(如图 3-10) (2)容斥原理的应用 (例 138 个人排成一列，甲不在排首，乙不在排尾，共有多 少种排法? 解：在容斥原理 sO=s sl+s2 中，s=8!，s1=7!+7!，s2=6! S0=8!-2.7!+6!=43.6!=30960。 注意离开容斥原理，常有下面的错误解法： 甲在排头时，共有(8-1)!=7 1 种排法， 乙在排尾时，共有(8-1)!=7 1 种排法， 所以甲不在排头，乙不在排尾共有 8!-7!- 7!=6.7!=42.8!种排法。 错在哪里? 图 3 11 设 Sa 为甲在排头的事件组成的集合，Sb 为乙在排尾的事 件组成的集合，则 Sa 与 Sb 并不互斥，即 Sa 中含子集 Sab，Sb 中也含子集 Sab，而 Sab，所以应有(图 3 11) S0=S-(Sa+Sb)+Sab=8!-(7!+7!)+6! 这说明上述解法错在缺少 Sab 当然，我们叫以换一种解法。在甲不在排头的情况下对乙 是否在排头进行