抛物线中的直角梯形

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 抛物线中的直角梯形 解析几何中抛物线的几何性质在 高考中得到了越来越多的关注，对于这 部分几何性质的解法，几何法显得更占 优势，而本文所有的题目均列出了几何 解法，例 3 和例 4 是本人对 2016 年全 国卷 20 题的推广及改编. 中国论文网 /9/view-13002719.htm 那么我们就先从一个大家熟悉的 图形开始，它是“ 上底加下底等于斜腰 的直角梯形”. 一、图形信息： BBAB，AAAB，|AA|+|BB|=|A B|，AB，AB中点为 M，M.AB 线段上 取 F 点满足|AF|=|AA|.结论如下： （1）1=2，3=4. -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 （2）AFBM ，MABF. 在 2016 全国卷第 20 题的第一 问应用了这条结论. （3）BM AM，以 AB 为直径 的圆与线段 AB相切，切点为 M，BMBF. （4）BFAF，以 AB为直径 的圆与线段 AB 相切，切点为 F. （5）MFAB. （6）|MF|2=AF BF=AA BB，|AB|2=4AA BB. 二、接下来我们在抛物线 y2=2px（p0）中找到这种直角梯形.通 过抛物线定义我们很容易找到满足上底 加下底等于斜腰的直角梯形.分别为四边 形 ABBA和四边形 AFOC.证明略. 上面向读者指出了抛物线中的这 种直角梯形的存在，那么关于它的结论 在这里面既可以作为考题来考，也可直 接为我们所用. 三、通过例 1 和例 2 的分析了解 这种直角梯形在抛物线环境下涉及的问 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 题与结论. 例 1AB 是一条焦点弦，AB 的中 点为 M，作 MM与准线垂直，垂足为 M，设 MM与抛物线交于 T 点.求证 T 点是 MM中点. 分析由结论（5）可得 MFAB，由抛物线定义可知 |MT|=|TF|，即可得到结论. 例 2 证明抛物线焦点弦的中垂线 与 x 轴的交点到焦点的距离与焦点弦长 的比是定值. 分析如上图所示，通过对边平行 证明四边形 MMFQ 为平行四边形， 得到|FQ|=|MM|，再由 2|MM|=|AB|得到结果 . 四、最后的两个例题是本人对 2016 全国卷文科第 20 题第一问的推 广及改编. 例 3 在直角坐标系 xOy 中，直线 l：y=t（t0）交于 y 轴于点 M，交抛物 线 C： y2=2px（p0）于点 P，在 MP 延 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 长线上取点 N，满足 MN=MP，连接 ON 并延长交 C 于点 H.求|OH|ON|. 解过点 H 作 HGy 轴，G 为垂 足. 由结论（6）得：4|OM| |OF|=|OG|2， 4|MP|OF|=|OM|2. 两式相除得： |OM|MP|=|OG|OM|2. 因为 MNGH， 所以 |OG|OM|=|GH|MN|=|OH|ON|， 所以|OM|MP|=|GH|MN|2， 即|MN|MP|=|GH|MN|. 因为 MN=MP，即|MN|MP|=， 所以|GH|MN|=|OH|ON|=. 例 4 在直角坐标系 xOy 中，直线 l：y=t（t0）交于 y 轴于点 M，交抛物 线 C： y2=2px（p0）于点 P，M 关于 点 P 的对称点为 N，连接 ON 并延长交 抛物线 C 于点 H，连接 PF 交 ON 于点 K，求证 MKON. 证明设|OF|=a ，|GH|=b. -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 由例 3 可知|MP|=|PN|=b4. 由抛物线定义可知 |PF|=a+b4. 因为PNKKOF， 所以|PK|PF|=|PN|PN|+|OF|， 所以|PK|=|PN|=|MP|， 即 MKON. 巧解高中数学难题以三角函 数为例 巧解高中数学难题以三角函 数为例 刘天宇（山东省济宁市金乡县 第一中学高二（14）班，山东济宁 272000） 【摘要】三角函数是高中数学中 最重要的一个组成部分，同时也是重要 的基本函数之一，在实际的教学中不仅 内容相当丰富，公式相当多，同时其考 察的形式也比较灵活多变，因此在实际 的教学中，往往学生很难对其进行有效 的掌握，也正因为如此三角函数成了高 中数学中教学的重点和难点.本文主要就 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 如何利用三角函数巧解高中数学难题进 行分析研究. 【关键词】巧解；高中数学难题； 三角函数；方式 三角函凳鞘 学中常见的函数， 在实际的教学中，三角函数对研究三角 形以及圆等几何形状的性质有着极大的 作用，同时还能够利用三角函数进行周 期性现象的研究1. 另外，在进行数学 分析的过程中，三角函数同样也是被定 义为微分方程特定的解，由此就可以看 出三角函数在数学教学中的重要意义.尽 管三角函数的解题方式比较多样化，不 过其中仍然存在一定的规律，下面就具 体对利用三角函数巧解高中数学难题进 行分析. 一、使用三角函数巧解高中数学 难题的方法 （一）定义法 使用定义法解题是最为原始和朴 素的一种解题方式，使用三角函数的定 义进行解题，能够使题目的思路更加的 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 7 简单易行，并且能够更好地让人进行理 解，比如，在以下题目的解答中： 求 y=sincos+sin+cos 的最值， 在实际的解答中，首先需要根据三角函 数的定义得出，sin=yr，cos=xr，同时 x2+y2=r2，因此 y=sincos+sin+cos=xyr2+yr+xr1r2x 2+y22+1r2（ x2+y2）=12+2，也就是当 x=y，sin=cos 时，取最大值. 在实际的解题中，虽然定义法只 能针对一些简单的题目进行处理，但是 在解题的过程中如果能够和其他的方式 进行联合应用，就能够有效地降低解题 的难度，最终实现对题目的有效解答. （二）使用消参法进行解题 消参法就是透过题目的现象看到 题目的实质，也就是在实际的问题处理 中，根据题目给出的不同参数之间存在 的联系，利用相应的公式，实现对已有 参数的转化，从而使题目的解答更加简 便.关于消参法的应用，可以根据题目中 上下文中相应的定理和公式进行灵活的 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 8 运用，这样就能达到利用三角函数解答 数学难题的目的. （三）构造法 构造法的应用主要是在原有函数 式没有满足公式定理转换条件的情况下， 通过减少项或添加项等方式实现对函数 的等效转换，这样就能达到简化计算的 目的，从而更方便地进行解题，比如， 已知 tan=3，求 sin- 3cos2sin+cos 的值. 首先 tan=sincos，含分母 cos，这种情况下就可以将原分式中的 分子和分母中的各项使用 cos 进行整 除，形成 tan. 解：因为 tan=3 推出 k+2 推出 cos0， 所以 sin- 3cos2sin+cos=sincos- 3coscos2sincos+coscos=tan- 32tan+1 =3-32-3+1=0. 二、结束语 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 9 综上所述，在当前社会经济不断 发展的过程中，教育事业得到了社会各 界共同的重视，高中阶段作为学生最重 要的阶段，其教学质量直接影响着未来 学生的个人成长和发展.数学作为高中阶 段重要的一个科目，对学生的学习成绩 有着重要的影响，三角函数是高中数学 中的重点，只有充分地认识到三角函数 定义、理论以及相关的数学思维和方法， 在实际的问题处理中，能够综合多种方 式进行相关数学问题