2017年天津市红桥区高考数学一模试卷（文科）含答案解析

2017 年天津市红桥区高考数学一模试卷（文科） 一、选择题 1集合 A=x|x 0， B= 2， 1， 1， 2，则（ B=（ ） A（ 0， + ） B 2， 1， 1， 2 C 2， 1 D 1， 2 2 “= ”是 “曲线 y=x+）关于 y 轴对称 ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3如图所示的程序框图，输出 S 的值是（ ） A 30 B 10 C 15 D 21 4某几何体的三视图如图所示（单位： 则该几何体的侧面 面积是（ ） A B 2 C 1 D 5已知抛物线 p 0）的焦点 F 与双曲 的右焦点重合，抛物线的准线与 x 轴的交点为 K，点 A 在抛物线上且 ，则 A 点的横坐标为（ ） A B 3 C D 4 6已知等比数列 首项为 1，若 42等差数列，则数列 的前 5 项和为（ ） A B 2 C D 7已知函数 y=f（ x）的定义域为 x|x R，且 x 0，满足 f（ x） +f（ x） =0，当 x 0 时， f（ x） =1x+1，则函数 y=f（ x）的大致图象是（ ） A B C D 8已知函数 f（ x） = ，若有三个不同的实数 a， b，c，使得 f（ a） =f（ b） =f（ c），则 a+b+c 的取值范围为（ ） A（ 2， 2017） B（ 2， 2018） C（ ， ） D（ ， 2017） 二、填空题 9设 i 为虚数单位，则复数 = 10经统计，在银行一个营业窗口每天上午 9 点钟排队等候的人数及相应概率如下： 排队人数 0 1 2 3 4 5 概率 该营业窗口上午 9 点钟时，至少有 2 人排队的概率是 11函数 f（ x） =2 最大值为 12已知圆 C 的圆心为 C（ 1， 1），且经过直线 x+y=4 上的点 P，则周长最小的圆 C 的方程是 13已知 边长为 1 的等边三角形，点 D， E 分别是边 中点，连接 延长到点 F，使得 的值为 14已知下列命题： 命题： x （ 0， 2）， 3x 否定是： x （ 0， 2）， 3x 若 f（ x） =2x 2 x，则 x R， f（ x） = f（ x）； 若 f（ x） =x+ ，则 （ 0， + ）， f（ =1； 等差数列 前 n 项和为 ，则 1； 在 ，若 A B，则 其中真命题是 （只填写序号） 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） 15在 ， A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 a=3， b=2 ， B=2A （ 1）求 值； （ 2）求 c 的值 16某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能 销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如表： 试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？ 资金 单位产品所需资金（百元） 空调机 洗衣机 月资金供应量（百元） 成本 30 20 300 劳动力（工资） 5 10 110 单位利润 6 8 17如图，四棱锥 P ，底面 矩形， 平面 E 为棱中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求证：平面 平面 18已知等比数列 前 n 项和为 比 q 0， 2， S3=2 （ ）求数列 通项公式； （ ）设 ， 前 n 项和，求 19已知函数 f（ x） = x3+b（ a， b R） （ 1）设函数 g（ x） =f（ x） b，若 a=1，求函数 g（ x）在（ 1， g（ 1）处的切线方程； （ 2）若函数 f（ x）在（ 0， 2）上是增函数，求 a 的取值范围 20已知椭圆 E： （ a b 0） 的离心率 ，且点 在椭圆E 上 （ ）求椭圆 E 的方程； （ ）直线 交于 A、 线段 求 O 为坐标原点）面积的最大值 2017 年天津市红桥区高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题 1集合 A=x|x 0， B= 2， 1， 1， 2，则（ B=（ ） A（ 0， + ） B 2， 1， 1， 2 C 2， 1 D 1， 2 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 根据补集和交集的定义，写出运算结果即可 【解 答】 解：集合 A=x|x 0， B= 2， 1， 1， 2， 则 x|x 0， 所以（ B= 2， 1 故选： C 2 “= ”是 “曲线 y=x+）关于 y 轴对称 ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据充分条件和必要条件的定义结合三角函数的性质进行判断即可 【解答】 解：若 y=x+）关于 y 轴对称， 则 = +k Z， 故 “= ”是 “曲线 y=x+）关于 y 轴对称 ”的充分不必要条件， 故选： A 3如图所示的程序框图，输出 S 的值是（ ） A 30 B 10 C 15 D 21 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图，可得该程序的功能是利用循环计算并输出满足条件的 S 值，模拟程序的运行过程，可得答案 【解答】 解：当 S=1 时，满足进入循环的条件，执行循环体后 S=3， t=3 当 S=3 时，满足进入循环的条件，执行循环体后 S=6， t=4 当 S=6 时，满足进入循环的条件，执行循环体后 S=10， t=5 当 S=15 时，不满足进入循 环的条件， 故输出的 S 值为 15 故选 C 4某几何体的三视图如图所示（单位： 则该几何体的侧面 面积是（ ） A B 2 C 1 D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 如图所示，该几何体为三棱锥，其中底面 等边三角形，侧棱 底面 中点 D，连接 得 【解答】 解：如图所示，该几何体为三棱锥，其中底面 等边三角形，侧棱 底面 取 中点 D，连接 则 ， = = S = 故选： A 5已知抛物线 p 0）的焦点 F 与双曲 的右焦点重合，抛物线的准线与 x 轴的交点为 K，点 A 在抛物线上且 ，则 A 点的横坐标为（ ） A B 3 C D 4 【考点】 圆锥曲线的共同特征 【分析】 根据双曲线 得出其右焦点坐标，可知抛物线的焦点坐标，从而得到抛物线的方程和准线方程，进而可求得 K 的坐标，设 A（ 过 B，则 B（ 3， 根据 | | B=3） =，进而可 求得 A 点坐标 【解答】 解： 双曲线 ，其右焦点坐标为（ 3， 0） 抛物线 C： 2x，准线为 x= 3， K（ 3， 0） 设 A（ 过 A 点向准线作垂线 B（ 3， | |又 B= 3） =， 由 而 ） 2，即 12 ） 2， 解得 故选 B 6已知等比数列 首项为 1，若 42等差数列，则数列 的前 5 项和为（ ） A B 2 C D 【考点】 等比数列的前 n 项和 【分析】 等比数列 首项为 1，由 42等差数列，可得 2 2a2=为 4），解得 q再利用等比数列的求和公式即可得出 【解答】 解：等比数列 首项为 1， 42等差数列， 2 2a2= 4），解得 q=2 n 1， = 则数列 的前 5 项和 = = 故选： C 7已知函数 y=f（ x）的定义域为 x|x R，且 x 0，满足 f（ x） +f（ x） =0，当 x 0 时， f（ x） =1x+1，则函数 y=f（ x）的大致图象是（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【分析】 根据条件判断函数的奇偶性，利用特殊值的符号进行排除即可 【解答】 解：由 f（ x） +f（ x） =0 得 f（ x） = f（ x），即函数是奇函数，图象关于原点对称，排除 C， D， 当 x 0 时， f（ x） =1x+1，则 f（ 1） =1+1=0， f（ e） =e+1=1 e+1= e 0，排除 B， 故选： A 8已知函数 f（ x） = ， 若有三个不同的实数 a， b，c，使得 f（ a） =f（ b） =f（ c），则 a+b+c 的取值范围为（ ） A（ 2， 2017） B（ 2， 2018） C（ ， ） D（ ， 2017） 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 作出 y=f（ x）的函数图象，根据函数的对称性可得 a+b=，求出 c 的范围即可得出答案 【解答】 解：当 x 0， 时， f（ x） =x ） = f（ x）在 0， 上关于 x= 对称，且 x） =1， 又当 x （ ， + ）时， f（ x） =增 函数， 作出 y=f（ x）的函数图象如图所示： 令 1 得 x=2017， f（ a） =f（ b） =f（ c）， a+b=， c （ ， 2017）， a+b+c=+c （ 2， 2018） 故选： B 二、填空题 9设 i 为虚数单位，则复数 = 4 3i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 得答案 【解答】 解： = ， 故答案为： 4 3i 10经统计，在银行一个营业窗口每天上午 9 点钟排队等候的人数及相应概率如下： 排队 人数 0 1 2 3 4 5 概率 该营业窗口上午 9 点钟时，至少有 2 人排队的概率是 【考点】 互斥事件的概率加法公式 【分析】 由互斥事件的概率公式可得 【解答】 解：由表格可得至少有 2 人排队的概率 P=答案为： 1函数 f（ x） =2 最大值为 2 【考点】 三角函数中的恒等变换应用 【分析】 利用三角恒等变形公式，函数 f（ x） =22x+ ） 【解答】 解 ： 函 数 f （ x ） = 2 2 =22x+ ） 故答案为： 2 12已知圆 C 的圆心为 C（ 1， 1），且经过直线 x+y=4 上的点 P，则周长最小的圆 C 的方程是 （ x 1） 2+（ y 1） 2=2 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 当半径 r 等于圆心 C 到直线 x+y=4 的距离时，圆 C 的周长最小，由此能求出周长最小的圆 C 的方程 【解答】 解： 圆 C 的圆心为 C（ 1， 1），且经过直线 x+y=4 上的点 P， 当半径 r 等于圆心 C 到 直线 x+y=4 的距离时，圆 C 的周长最小， 此时 r=d= = ， 周长最小的圆 C 的方程是（ x 1） 2+（ y 1） 2=2 故答案为：（ x 1） 2+（ y 1） 2=2 13已知 边长为 1 的等边三角形，点 D， E 分别是边 中点，连接 延长到点 F，使得 的值为 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 可作出图形，并连接 到 据条件可得出 ，从而 ，这样带入 进行数量积的运算即可求出该数量积的值 【解答】 解：如图，连接 根据条件， ，且 ； = ； = = = = 故答案为： 14已知下列命题： 命题： x （ 0， 2）， 3x 否定是： x （ 0， 2）， 3x 若 f（ x） =2x 2 x，则 x R， f（ x） = f（ x）； 若 f（ x） =x+ ，则 （ 0， + ）， f（ =1； 等差数列 前 n 项和为 ，则 1； 在 ，若 A B，则 其中真命题是 （只填写序号） 【考点】 命题的真假 判断与应用 【分析】 ，根据含有量词的命题的否定形式判定； ，若 f（ x） =2x 2 x，则 x R， f（ x） = f（ x），； ，对于函数 f（ x） =x+ ，当且仅当 x=1 时， f（ x） =1； ， ，； ，若 A B，则 a b， 22 【解答】 解：对于 ，命题： x （ 0， 2）， 3x 否定是： x （ 0， 2），3x 确； 对于 ，若 f（ x） =2x 2 x，则 x R， f（ x） = f（ x），正确； 对于 ，对于函数 f（ x） =x+ ，当且仅当 x=0 时， f（ x） =1，故错； 对于 ，等差数列 前 n 项和为 ， ，故正确； 对于 ，在 ，若 A B，则 a b22正确 故答案为： 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） 15在 ， A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 a=3， b=2 ， B=2A （ 1）求 值； （ 2）求 c 的值 【考点】 余弦定理 【分析】 （ 1）依题意，利用正弦定理 = 及二倍角的正弦即可求得 （ 2）易求 ， ，从而利用两角和的正弦可求得 A+B） = ，在 ，此即 值，利用正弦定理可求得 c 的值 【解答】 解：（ 1） ， a=3， b=2 ， B=2A， 由正弦定理得： = ，即 = ， ； （ 2）由（ 1）知 ， A （ 0， ）， ，又 B=2A， 1= ， B （ 0， ）， ， 在 ， A+B） = + = ， c= = =5 16某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如表： 试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？ 资金 单位产品所需资金（百元） 空调机 洗衣机 月资金供应量（百元） 成本 30 20 300 劳动力（工资） 5 10 110 单位利润 6 8 【考点】 简单线性规划的应用 【分析】 利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解 【解答】 解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是 x、 y 台，总利润是 P，则 P=6x+8y， 由题意有 30x+20y 300， 5x+10y 110， x 0， y 0， x、 y 均为整数 由图知直线 y= x+ P 过 M（ 4， 9）时，纵截距最大 这时 P 也取最大值 4+8 9=96（百元） 故当月 供应量为空调机 4 台，洗衣机 9 台时，可获得最大利润 9600 元 17如图，四棱锥 P ，底面 矩形， 平面 E 为棱中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求证：平面 平面 【考点】 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）连接 F，运用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证； （ 2）运用面面垂直的判定定理，只要证得 平面 线面垂直和矩形的定义即可得证 【解答】 证明：（ 1）连接 F， 由 E 为棱 中点， F 为 中点， 则 又 平面 面 则 平面 （ 2）由 平面 则 底面 矩形， 则 又 ， 则有 平面 由 平面 则有平面 平面 18已知等比数列 前 n 项和为 比 q 0， 2， S3=2 （ ）求数列 通项公式； （ ）设 ， 前 n 项和，求 【考点】 数列的求和 ；数列递推式 【分析】 （ I）等比数列 前 n 项和为 比 q 0， 2， S3=2可得 a3=22），解得 q进而得出 得 （ n 为奇数时， = = n 为偶数时， 分组求和，利用 “裂项求和 ”方法可得奇数项之和；利用 “错位相减法 ”与等比数列的求和公式可得偶数项之和 【解答】 解：（ I） 等比数列 前 n 项和为 比 q 0， 2， S3=2 a3=2得 2）， q 2=0，解得 q=2 a1+2，即 a1=2=22，解得 n （ n 为奇数时， = = n 为偶数时， + + + + + + = + + + = + + + 设 A= + + ， 则 A= + + + ， A= + + = ， A= + 19已知函数 f（ x） = x3+b（ a， b R） （ 1）设函数 g（ x） =f（ x） b，若 a=1，求函数 g（ x）在（ 1， g（ 1）处的切线方程； （ 2）若函数 f（ x）在（ 0， 2）上是增函数，求 a 的取值范围 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）求得 g（ x）的解析式和导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程，可得切线的方程； （ 2）先求出 f（ x）的导函数，然后求出导函数的根，讨论 a 的取值范围分别求出函数的单调增区间，使（ 0， 2）是增区间的子集即可，解不等式即可得到所求a 的范围 【解答】 解：（ 1）函数 g（ x） =f（ x） b= x3+ 导数为 g（ x） = 3x， 函数 g（ x）在（ 1， g（ 1）处的切线斜率为 3+2= 1， 切点为（ 1， 0），可得切线的方程为 y=（ x 1）， 即 x+y 1=0； （ 2）由题意，得 f（ x） = 3 令 f（ x） =0，解得