2017年四川省成都市高考数学一诊试卷（文科）含答案解析

2017 年四川省成都市高考数学一诊试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合 U=R， A=x|（ x+l） （ x 2） 0，则 ） A（一 ， 1） （ 2， + ） B l， 2 C（一 ， 1 2， + ）D（一 1， 2） 2命题 “若 a b，则 a+c b+c”的逆命题是（ ） A若 a b，则 a+c b+c B若 a+c b+c，则 a b C若 a+c b+c，则 a b D若 a b，则 a+c b+c 3双曲线 的离心率为（ ） A 4 B C D 4已知 为锐角，且 ，则 +） =（ ） A一 B C D 5执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为 0，那么输入的 x 为（ ） A B 1 或 1 C l D l 6已知 x 与 y 之间的一组数据： x 1 2 3 4 y m y 关于 x 的线性回归方程为 = m 的值为（ ） A l B 已知定义在 R 上的奇函数 f（ x）满足 f（ x+3） =f（ x），且当 x 0， ）时，f（ x） =一 f（ ） =（ ） A B C D 8如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的所有棱中，最长的棱的长度为（ ） A B C 5 D 3 9将函数 f（ x） =象上所有点向右平移 个单位长度，得到函数 g （ x）的图象，则 g（ x）图象的一个对称中心是（ ） A（ ， 0） B（ ， 0） C（ ， 0） D（ ， 0） 10在直三棱柱 ，平面 与棱 别交于点 E， F， G， H，且直线 平面 有下列三个命题： 四边形 平行四边形； 平面 平面 平面 平面 中正确的命题有（ ） A B C D 11已知 A， B 是圆 O： x2+ 上的两个动点， | |=2， = ，若M 是线段 中点，则 的值为（ ） A 3 B 2 C 2 D 3 12已知曲线 y2= y 0， t 0）在点 M（ ， 2）处的切线与曲线 C2：y=ex+l 1 也相切，则 t 的值为（ ） A 4 4e C D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13复数 z= （ i 为虚数单位）的虚部为 14我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（组暅原理）： “幂势既同，则积不容异 ” “势 ”即是高， “幂 ”是面积意思是：如果两等高的几何体在同高处裁得两几何体的裁面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图 1 是一个形状不规则的封闭图形，图 2 是一个矩 形，且当实数 t 取 0， 4上的任意值时，直线 y=t 被图 1 和图 2 所截得的线段始终相等，则图 1 的面积为 15若实数 x， y 满足约束条件 ，则 3x y 的最大值为 16已知 ， ， ， 面积为 ，若线段 延长线上存在点 D，使 ，则 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17某省 2016 年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制各等级划分标准为： 85 分及以上，记为 A 等；分数在 70， 85）内，记为 B 等；分数在 60， 70）内，记为 C 等； 60 分以下，记为 D 等同时认定 A，B， C 为合格， D 为不合格已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在 50，100内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取 50 名学生的原始成绩作为样本进行统计按照 50， 60）， 60， 70）， 70， 80）， 80， 90）， 90， 100的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图 1 所示，乙校的样本中等级为 C， D 的所有数据的茎叶图如图 2 所示 （ I）求图中 x 的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率； （ ）在乙校的样本 中，从成绩等级为 C， D 的学生中随机抽取两名学生进行调研，求抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为 D 的概率 18在等比数列 ，已知 ， 等差数列 （ I）求数列 通项公式； （ ）求数列 |4|的前 n 项和 19如图 l，在正方形 ，点 E， F 分别是 中点， 于点 H，点 G， R 分别在线段 ，且 = 将 别沿 起，使点 A， B， C 重合于点 P，如图 2 所示， （ I）求证 ： 平面 （ ）若正方形 边长为 4，求三棱锥 P 内切球的半径 20已知椭圆 的右焦点为 F，设直线 l： x=5 与 x 轴的交点为 E，过点 F 且斜率为 k 的直线 椭圆交于 A， B 两点， M 为线段 中点 （ I）若直线 倾斜角为 ， |值； （ ）设直线 直线 l 于点 N，证明：直线 l 21已知函数 f（ x） = l k） x+k， k R （ I）当 k=l 时，求函数 f（ x）的单调区间； （ ）当 x 1 时，求使不等式 f（ x） 0 恒成立的最大整数 k 的值 请考生在第（ 22）、（ 23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4标系与参数方程 22在平面直角坐标系 ，倾斜角为 （ ）的直线 l 的参数方程为（ t 为参数）以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程是 4 （ I）写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （ ）已知点 P（ 1， 0）若点 M 的极坐标为（ 1， ），直线 l 经过点 M 且与曲线 C 相交于 A， B 两点，设线段 中点为 Q，求 |值 选修 4不等式选讲 23已知函数 f（ x） =x+1+|3 x|， x 1 （ I）求不等式 f（ x） 6 的解集； （ ）若 f（ x）的最小值为 n，正数 a， b 满足 2a+2b，求 2a+b 的最小值 2017 年四川省成都市高考数学一诊试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合 U=R， A=x|（ x+l） （ x 2） 0，则 ） A（一 ， 1） （ 2， + ） B l， 2 C （一 ， 1 2， + ）D（一 1， 2） 【考点】 补集及其运算 【分析】 解不等式求出集合 A，根据补集的定义写出 【解答】 解：集合 U=R， A=x|（ x+l） （ x 2） 0=x| 1 x 2， 则 x|x 1 或 x 2=（ ， 1 2， + ） 故选： C 2命题 “若 a b，则 a+c b+c”的逆命题是（ ） A若 a b，则 a+c b+c B若 a+c b+c，则 a b C若 a+c b+c，则 a b D若 a b，则 a+c b+c 【考点】 四种命题 【分析 】 根据命题 “若 p，则 q”的逆命题是 “若 q，则 p”，写出即可 【解答】 解：命题 “若 a b，则 a+c b+c”的逆命题是 “若 a+c b+c，则 a b” 故选： C 3双曲线 的离心率为（ ） A 4 B C D 【考点】 双曲线的标准方程 【分析】 通过双曲线方程求出 a， b， c 的值然后求出离心率即可 【解答】 解：因为双曲线 ，所以 a= ， b=2，所以 c=3， 所以双曲线的离心率为： e= = 故选 B 4已知 为锐角，且 ，则 +） =（ ） A一 B C D 【考点】 三角函数的化简求值 【分析】 根据 为锐角，且 ，可得 ，利用诱导公式化简 +）= 【解答】 解： 为锐角， ， ， 那么 +） = 故选 A 5执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为 0，那么输入的 x 为（ ） A B 1 或 1 C l D l 【考点】 程序框图 【分析】 根据题意，模拟程序框图的运行过程，根据输出的结果为 0，得出输入的 x 【解答】 解：根据题意 ，模拟程序框图的运行过程， x 0， y= =0， x= 1， x 0， y=3x+2=0，无解， 故选： C 6已知 x 与 y 之间的一组数据： x 1 2 3 4 y m y 关于 x 的线性回归方程为 = m 的值为（ ） A l B 考点】 线性回归方程 【分析】 根据回归直线经过样本数据中心点，求出 y 的平均数，进而可求出 【解答】 解： = = =4， m+6， 解得 m= 故选： D 7已知定义在 R 上的奇函数 f（ x）满足 f（ x+3） =f（ x），且当 x 0， ）时，f（ x） =一 f（ ） =（ ） A B C D 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 根据函数奇偶性和条件求出函数是周期为 3 的周期函数，利用函数周期性和奇偶性的关系进行转化即可得到结论 【解答】 解： 奇函数 f（ x）满足 f（ x+3） =f（ x）， 函数 f（ x）是周期为 3 的函数， 当 x 0， ）时， f（ x） = f（ ） =f（ 6） =f（ ） = f（ ） = ， 故选： B 8如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的所有棱中，最长的棱的长度为（ ） A B C 5 D 3 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知：该几何体为四棱锥 P 中 底面 面是边长为 3 的正方形，高 可得最长的棱长为 【解答】 解：由三视图可知：该几何体为四棱锥 P 其中 底面 面是边长为 3 的正方形，高 连接 最长的棱长为 = = 故选： B 9将函数 f（ x） =象上所有点向右平移 个单位长度，得到函数 g （ x）的图象，则 g（ x）图象的一个对称中心是（ ） A（ ， 0） B（ ， 0） C（ ， 0） D（ ， 0） 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 利用函数 y=x+）的图象变换规律求得 g（ x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得 g（ x）图象的一个对称中心 【解答】 解：将函数 f（ x） =（ =22x+ ）图象上所有点向右平移 个单位长度， 得到函数 g （ x） =2图象，令 2x=得 x= ， k Z， 令 k=1，可得 g（ x）图象的一个对称中心为（ ， 0）， 故选： D 10在直三棱柱 ，平面 与棱 别交于点 E， F， G， H，且直线 平面 有下列三个命题： 四边形 平行四边形； 平面 平面 平面 平面 中正确的命题有（ ） A B C D 【 考点】 棱柱的结构特征 【分析】 在 中，由 H 四边形 平行四边形；在 中，平面 与平面 行或相交；在 中， 平面 而平面 平面 【解答】 解：如图， 在直三棱柱 ， 平面 与棱 别交于点 E， F， G， H，且直线 平面 H 四边形 平行四边形，故 正确； 一定平行， 平面 与平面 行或相交，故 错误； H 平面 平面 面 ， 平面 平面 正确 故选： C 11已知 A， B 是圆 O： x2+ 上的两个动点， | |=2， = ，若M 是线段 中点，则 的值为（ ） A 3 B 2 C 2 D 3 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由 A， B 是圆 O： x2+ 上的两个动点， | |=2，得到 与 的夹角为 ，再根据向量的几何意义和向量的数量积公式计算即可 【解答】 解： A， B 是圆 O： x2+ 上的两个动点， | |=2， 与 的夹角为 ， =| | |2 2 =2， M 是线段 中点， = （ + ）， = ， = （ + ） （ ） = （ 5| |2+3 2| |2） = （ 20+6 8） =3， 故选： A 12已知曲线 y2= y 0， t 0）在点 M（ ， 2）处的切线与曲线 C2：y=ex+l 1 也相切，则 t 的值为（ ） A 4 4e C D 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求出 y= 的导数，求出斜率，由点斜 式方程可得切线的方程，设切点为（ m， n），求出 y= 1 的导数，可得切线的斜率，得到 t 的方程，解方程可得 【解答】 解：曲线 y2=y 0， t 0），即有 y= ， y= ， 在点 M（ ， 2）处的切线斜率为 = ， 可得切线方程为 y 2= （ x ），即 y= x+1， 设切点为（ m， n），则曲线 y= 1， y=， = ， m= 1， n=m 1， n= 1， 可得（ 1） 1=e 1， 即有（ 1） = ，可得 = 即有 t=4 故选： A 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13复数 z= （ i 为虚数单位）的虚部为 1 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出 【解答】 解： z= =i+1 的虚部为 1 故答案为： 1 14我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（组暅原理）： “幂势既同，则积不容异 ” “势 ”即是高， “幂 ”是面积意思是：如果两等高的几何体在同高处裁得两几何体的裁面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所 示，在平面直角坐标系中，图 1 是一个形状不规则的封闭图形，图 2 是一个矩形，且当实数 t 取 0， 4上的任意值时，直线 y=t 被图 1 和图 2 所截得的线段始终相等，则图 1 的面积为 8 【考点】 函数模型的选择与应用 【分析】 根据祖暅原理，可得图 1 的面积 =矩形的面积，即可得出结论 【解答】 解：根据祖暅原理，可得图 1 的面积为 4 2=8 故答案为 8 15若实数 x， y 满足约束条件 ，则 3x y 的最大值为 6 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出可行域，变形目标函数，平移直线 y=2x 可得结论 【解答】 解 ：作出约束条件 ，所对应的可行域如图， 变形目标函数可得 y=3x z，平移直线 y=3x 可知当直线经过点 A（ 2， 0）时， 直线的截距最小， z 取最大值，代值计算可得 z=3x y 的最大值为 6， 故答案为： 6 16已知 ， ， ， 面积为 ，若线段 延长线上存在点 D，使 ，则 【考点】 正弦定理 【分析】 由已知利用三角形面积公式可求 ，从而可求 ，在 ，由余弦定理可得 而可求 B，在 ，由正弦定理可得 值 【解答】 解： ， ， 面积为 = C ， ，或 ， 若 ， 得： + ，与三角形内角和定理矛盾， ， 在 ， 由 余 弦 定 理 可 得 ：= = ， B= ， 在 ，由正弦定理可得： = = 故答案为： 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17某省 2016 年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制各等级划分标准为： 85 分及以上，记为 A 等；分数在 70， 85）内，记为 B 等；分数在 60， 70）内，记为 C 等； 60 分以下，记为 D 等同时认定 A，B， C 为合格， D 为不合格已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在 50，100内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取 50 名学生的原始成绩作为样本进行统计按照 50， 60）， 60， 70）， 70， 80）， 80， 90）， 90， 100的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图 1 所示，乙校 的样本中等级为 C， D 的所有数据的茎叶图如图 2 所示 （ I）求图中 x 的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率； （ ）在乙校的样本中，从成绩等级为 C， D 的学生中随机抽取两名学生进行调研，求抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为 D 的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图 【分析】 （ ）由频率分布直方图中小矩形面积之和为 1，能求出 x=而得到甲学校的合格率，由此能求出结果 （ ）由题意，将乙校样本中成绩等级为 C， D 的 6 名学生记为 4， 此利用列举法能求出随机抽取 2 名学生，抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为 D 的概率 【解答】 解：（ ）由题意知 10x+10+10+10+10=1， 解得 x= 甲学校的合格率为 1 10 而乙学校的合格率为： 1 = 故甲乙两校的合格率相同 （ ）由题意，将乙校样本中成绩等级为 C， D 的 6 名学生记为 4， 则随机抽取 2 名学生的基本事件有： 共 15 个， 其中 “抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为 D”包含的基本事件有 9 个， 抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为 D 的概率 p= 18在等比数列 ，已知 ， 等差数列 （ I）求数列 通项公式； （ ）求数列 |4|的前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ I）设等比数列 公比为 q， 得 =8得 q又 a1， 等差数列，可得 2（ ） =a1+然解得 用等比数列的通项公式即可得出 （ n=1 时， 4= 2 0，可得 当 n 2 时， 4 0数列 |4|的前 n 项和 +（ 4） +（ 4） + +（ 4），再利用等比数列的求和公式即可得出 【解答】 解：（ I）设等比数列 公比为 q， =80，解得 q=2 又 ， 等差数列， 2（ ） =a1+ 2（ 2） =1+22），解得 n （ n=1 时， 4= 2 0， 当 n 2 时， 4 0 数列 |4|的前 n 项和 +（ 4） +（ 4） + +（ 4） =2+22+23+ +2n 4（ n 1） = 4（ n 1） =2n+1 4n+2 19如图 l，在正方形 ，点 E， F 分别是 中点， 于点 H，点 G， R 分别在线段 ，且 = 将 别沿 起，使点 A， B， C 重合于点 P，如图 2 所示， （ I）求证： 平面 （ ）若正方形 边长为 4，求三棱锥 P 内切球的半径 【考点】 球的体积和表面积；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ ）推导出 平面 此能证明 平面 （ ） 设 三 棱 锥 P 内 切 球 半 径 为 r ， 由 三 棱 锥 的 体 积V= ，能求出棱锥 P 内切球的半径 【解答】 证明：（ ）在正方形 ， A、 B、 C 均为直角， 在三棱锥 P ， 条线段两两垂直， 平面 = ，即 ， 在 ， 平面 解：（ ）正方形 长为 4， 由题意 F=2， ， ， ， S ， S ， =6， 设三棱锥 P 内切球半径为 r， 则三棱锥的体积： = ， 解得 r= ， 三棱锥 P 内切球的半径为 20已知椭圆 的右焦点为 F，设直线 l： x=5 与 x 轴的 交点为 E，过点 F 且斜率为 k 的直线 椭圆交于 A， B 两点， M 为线段 中点 （ I）若直线 倾斜角为 ， |值； （ ）设直线 直线 l 于点 N，证明：直线 l 【考点】 直线与椭圆的位置关系 【分析】 （ I）设直线 l 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得 |值； （ ）设直线 方程为 y=k（ x 1），代入椭圆方程，由 A， M， N 三点共线，求得 N 点坐标， k（ 1），代入，利用韦达定理即可求得 y0=直线 l 【解答】 解：（ I）由题意可知：椭圆 ， a= ， b=2， c=1，则 F（ 1，0）， E（ 5， 0）， M（ 3， 0）， 由直线 倾斜角为 ，则 k=1，直线 l 的方程 y=x 1，设 A（ B（ x2， 则 ，整理得： 910x 15=0， 则 x1+， ， 则丨 = = ， |值 ； （ ）设直线 方程为 y=k（ x 1），设 A（ B（ 则 ，整理得：（ 4+51020=0， 则 x1+， ， 设 N（ 5， ，由 A， M， N 三点共线， 有 = ，则 ， 由 k（ 1） = ， = =0， 直线 x 轴， l 21已知函数 f（ x） = l k） x+k， k R （ I）当 k=l 时，求函数 f（ x）的单调区间； （ ）当 x 1 时，求使不等式 f（ x） 0 恒成立的最大整数 k 的值 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）当 k=1 时， f（ x） =， f（ x） =，由此利用导数性质能求出 f（ x）的单调区间 （ ）由 f（ x） 0 恒成立，得 1 k） x+k 0，推导出 k 恒成立，设 g（ x） = ，则 g（ x） = ，令 （ x） = x 2，则 ，由此利用导数秘技能求出 k 的最大整数值 【解答】 解：（ ）当 k=1 时， f（ x） =， f（ x） =， 由 f（ x） 0，得 x ；由 f（ x） 0，得 0 x ， f（ x）的单调递增区间为（ ， + ），单调减区间为（ 0， ） （ ）由 f（ x） 0 恒成立，得 1 k） x+k 0， （ x 1） k x， x 1， k 恒成立， 设 g（ x） = ，则 g（ x） = ， 令 （ x） = x 2，则 ， x 0， （ x） 0， （ x）在（ 1， + ）上单调递增， 而 （ 3） =1 0， （ 4） =2 0， 存在 （ 3， 4），使 （ =0，即 2= 当 x （ + ）时， g（ x） 0，此时函数 g（ x）单调递减， 当 x （ + ）时， g（ 0，此时函数 g（ x）单调递增， g（ x）在 x=有极小值（也是最小值）， = =（ 3， 4）， 又由 k g（ x）恒成立 ，即 k g（ x） k 的最大整数值为 3 请考生在第（ 22）、（ 23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4标系与参数方程 22在平面直角坐标系 ，倾斜角为 （ ）的直线 l 的参数方程为（ t 为参数）以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程是 4 （ I）写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （ ）已知点 P（ 1， 0）若点 M 的极坐标为（ 1，