2017年辽宁省抚顺市高考数学一模试卷（文科）含答案解析

2017 年辽宁 省 抚顺市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1若集合 A=x|x（ x 3） 0， x N， B= 1， 0， 1，则集合 A B 为（ ） A 1， 0 B 1 C 0， 1 D 1， 0， 1， 2， 3 2已知 i 是虚数单位，若复数 z=3 4i，则计算 的结果为（ ） A 4 3i B 4 3i C 4+3i D 4+3i 3已知向量 =（ 1， 0）， =（ 0， 1），则下列向量中与向量 2 + 垂直的是（ ） A + B C 2 D 2 4在等差数列 ，若 a3+，则其前 13 项的和 值是（ ） A 32 B 39 C 46 D 78 5直线 y+ a=0（ a 0）与圆 x2+ 的位置关系是（ ） A相交 B相切 C相离 D相切或相离 6已知 x=y=z= ，则下列结论正确的是（ ） A x y z B z x y C z y x D y z x 7已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A + B 4+ C +2 D 4+2 8已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ） A 49 B 50 C 99 D 100 9已知点 P 时抛物线 4x 上的动点，设点 P 到此抛物线的准线的距离为 直线 x+y 4=0 的距离为 d1+最小值是（ ） A 2 B C D 10四棱锥 P 底面 正方形， 底面 ， ，则此四棱锥的外接球的体积为（ ） A 36 B 16 C D 11函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， 0 ）的部分图象如图所示，则 f（ ）的值是（ ） A 1 B 1 C D 12已知函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，其导函数为 f（ x），若对任意实数x 都有 x） 2 x），则不等式 x） （ 3x 1） 2f（ 1 3x）的解集是（ ） A（ ， + ） B（ 0， ） C（ ， ） D（ ， ） （ ， + ） 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13从 3 男 1 女 4 名学生中，随机抽取 2 名学生组成小组代表班级参加学校的比赛 活动，则该小组中有女生的概率为 14若实数 x、 y 满足约束条件 ，则 z=4x+y 的最大值为 15已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的右焦点为 F，焦距为 8，左顶点为A，在 y 轴上有一点 B（ 0， b），满足 =2a，则该双曲线的离心率的值为 16已知数列 等比数列，其公比为 2，设 bn=数列 前 10 项的和为 25，那么 a1+a2+ +值为 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17 三个内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c， 已知 a b， c= ，且 （ ）求 C； （ ）若 面积为 ，求 a 与 b 的值 18某学校为了了解本校高一学生每周课外阅读时间（单位：小时）的情况，按10%的比例对该校高一 600 名学生进行抽样统计，将样本数据分为 5 组：第一组0， 2），第二组 2， 4），第三组 4， 6），第四组 6， 8），第五组 8， 10），并将所得数据绘制成如图所示的频率分布直方图： （ ）求图中的 x 的值； （ ）估计该校高一学生每周课外阅读的平均时间； （ ）为了进一步提高本校高一 学生对课外阅读的兴趣，学校准备选拔 2 名学生参加全市阅读知识竞赛，现决定先在第三组、第四组、第五组中用分层抽样的放法，共随机抽取 6 名学生，再从这 6 名学生中随机抽取 2 名学生代表学校参加全市竞赛，在此条件下，求第三组中恰有一名学生被抽取的概率 19如图，直四棱柱 底面 直角梯形，其中 D， ， （ ）证明： 平面 （ ）求多面体 体积 20已知椭圆 C； + =1（ a b c）的左、右焦点分 别为 c， 0）、 c， 0），过原点 O 的直线（与 x 轴不重合）与椭圆 C 相交于 D、 Q 两点，且|4， P 为椭圆 C 上的动点， 面积的最大值为 （ 1）求椭圆 C 的离心率； （ 2）若过左焦点 任意直线与椭圆 C 相交于 S、 T 两点，求 的取值范围 21已知函数 f（ x） = （ 1）若 a=4，求函数 f（ x）的单调区间； （ 2）若函数 f（ x）在区间（ 0， 1内单调递增，求实数 a 的取值范围； （ 3）若 R+，且 证：（ 3（ 考生注意：请考生在第 22、 23 两题中任选一题作答 选修 4标系与参数方程 22在平面直角坐标系 ，曲线 参数方程为 （ 为参数），将曲线 所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标缩短为原来的 ，得到曲线 以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 4+ ） + =0 （ 1）求曲线 极坐标方程及直线 l 与曲线 点的极坐标； （ 2）设点 P 为曲线 的任意一点，求点 P 到直线 l 的距离的最大值 选修 4等式选讲 23已知函数 f（ x） =|a x|（ a R） （ ）当 a= 时，求使不等式 f（ 2x ） 2f（ x+2） +2 成立的 x 的集合 A； （ ）设 A，证明 f（ x） +f（ 2017 年辽宁 省 抚顺市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1若集合 A=x|x（ x 3） 0， x N， B= 1， 0， 1，则集合 A B 为（ ） A 1， 0 B 1 C 0， 1 D 1， 0， 1， 2， 3 【考点】 交集及其运算 【分析】 确定出 A，求出 A 与 B 的交集即可 【解答】 解：集合 A=x|x（ x 3） 0， x N=0 x 3， x N=0， 1， 2，3 B= 1， 0， 1， 则集合 A B=0， 1 故选： C 2已知 i 是虚数单位，若复数 z=3 4i，则计算 的结果为（ ） A 4 3i B 4 3i C 4+3i D 4+3i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出 【解答】 解：复数 z=3 4i，则 = = =4 3i， 故选： B 3已知向量 =（ 1， 0）， =（ 0， 1），则下列向量中与向量 2 + 垂直的是（ ） A + B C 2 D 2 【考点】 平面向量的坐标运算 【分析】 根据坐标运算求出 2 + 和 2 的坐标，计算即可 【解答】 解： =（ 1， 0）， =（ 0， 1）， 则 2 + =（ 2， 1）， 而 2 =（ 1， 2）， 故（ 2 + ）（ 2 ） =0， 故选： D 4在等差数列 ，若 a3+，则其前 13 项的和 值是（ ） A 32 B 39 C 46 D 78 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 由等差数列前 n 项和公式及通项公式得 ，由此能求出结果 【解答】 解： 等差数列 ， a3+， 其前 13 项的和： = 故选： B 5直线 y+ a=0（ a 0）与圆 x2+ 的位置关系是（ ） A相交 B相切 C相离 D相切或相离 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 求出直线恒过的定点，判断定点与圆的位置关系 【解答】 解：直线 y+ a=0（ a 0）恒过定点（ ， 0），而（ ， 0）满足 2+02 9，所以直线与圆相交 故选： A 6已知 x=y=z= ，则下列结论正确的是（ ） A x y z B z x y C z y x D y z x 【考点】 对数值大小的比较 【分析】 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出 【解答】 解： x= ， 1 y= ， z= 1， x y z 故选： A 7已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A + B 4+ C +2 D 4+2 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知：该几何体由三棱柱与一个半圆柱组成的几何体 【解答】 解：由三视图可知：该几何体由三棱柱与一个半圆柱组成的几何体 该几何体的体积 = + 12 2=4+ 故选： B 8已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ） A 49 B 50 C 99 D 100 【考点】 程序框图 【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量 i 的值，并输出不满足条件退出循环条件时的a 的值，模拟程序的运行，由题意利用裂项 法解不等式，即可得解 【解答】 解：模拟程序的运行， 可得： i= + + =（ 1 ） +（ ） + +（ ） =1 解得： a 99， 即当 a=99+1=100 时，不满足条件 i 出循环，输出 a 的值为 100 故选： D 9已知点 P 时抛物线 4x 上的动点，设点 P 到此抛物线的准线的距离为 直线 x+y 4=0 的距离为 d1+最小值是（ ） A 2 B C D 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 点 P 到准线的距离等于点 P 到焦点 F 的距离， 过焦点 F 作直线 x+y 4=0的垂线，此时 d1+小，根据抛物线方程求得 F，进而利用点到直线的距离公式求得 d1+最小值 【解答】 解：点 P 到准线的距离等于点 P 到焦点 F 的距离， 过焦点 F 作直线 x+y 4=0 的垂线，此时 d1+小， F（ 1， 0），则 d1+= 故选： D 10四棱锥 P 底面 正方形， 底面 ， ，则此四棱锥的外接球的体积为（ ） A 36 B 16 C D 【考点】 球内接多面体 【分析】 把四棱锥 P 成一个长方体，可知：此长方体的对角线为四棱锥 P 外接球的直径 2R利用勾股定理得出 R，即可得出此四棱锥的外接球的体积 【解答】 解：把四棱锥 P 成一个长方体，可知：此长方体的对角线为四棱锥 P 外接球的直径 2R （ 2R） 2=22+22+12=9， R= ， 此四棱锥的外接球的体积为 = 故选： C 11函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， 0 ）的部分图象如图所示，则 f（ ）的值是（ ） A 1 B 1 C D 【考 点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式 【分析】 由函数图象可求周期 T，利用周期公式可求 ，由函数图象过点（ ，0），结合范围 0 ，可得 ，由函数图象过点（ 0， 1）可得 A 的值，从而可求函数的解析式为 f（ x） =23x+ ），由已知利用诱导公式化简求值即可得解 【解答】 解：由题意可得：周期 T=2（ ） = ，解得 =3， f（ x） =3x+）， 由函数图象过点（ ， 0）可得 0=3 +）， 3 +=k Z，可得： =， k Z， 0 ，可得 = ， 函数的解析式为 f（ x） =3x+ ）， 由函数图象过点（ 0， 1）可得： 1=解得： A=2， 函数的解析式为 f（ x） =23x+ ）， f（ ） =23 + ） =2 1 故选： B 12已知函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，其导函数为 f（ x），若对任意实数x 都有 x） 2 x），则不等式 x） （ 3x 1） 2f（ 1 3x）的解集是（ ） A（ ， + ） B（ 0， ） C（ ， ） D（ ， ） （ ， + ） 【考点】 导数的运算 【分析】 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，可得： f（ x） = f（ x）对任意正实数 x 满足 x） 2f（ x），可得： x） +2f（ x） 0，设 g（ x） =x），可得 g（ x） 0可得函数 g（ x）在（ 0， + ）上单调递增即可得出 【解答】 解： f（ x）是定义在 R 上的奇函数， f（ x） = f（ x） 对任意正实数 x 满足 x） 2f（ x）， x） +2f（ x） 0， 设 g（ x） =x）， g（ x） =2x） + x） 0 函数 g（ x）在（ 0， + ）上单调递增 又 g（ 0） =0， g（ x） = x） = g（ x）， 函数 g（ x）是 R 上的奇函数， g（ x）是 R 上的增函数 不等式 x） （ 3x 1） 2f（ 1 3x） g（ x） g（ 1 3x）， x 1 3x， 解得 x 不等式 x） （ 3x 1） 2f（ 1 3x）的解集为：（ ， ） 故选： C 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13从 3 男 1 女 4 名学生中，随机抽取 2 名学生组成小组代表班级参加学校的比赛活动，则该小组中有女 生的概率为 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【分析】 所选 2 人中至少有 1 名女生的对立事件是所选两人中没有女生，由此能求出所选 2 人中至少有 1 名女生的概率 【解答】 解：所选 2 人中至少有 1 名女生的对立事件是所选两人中没有女生， 所选 2 人中至少有 1 名女生的概率为 p=1 =1 = ， 故答案为： 14若实数 x、 y 满足约束条件 ，则 z=4x+y 的最大值为 14 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图： 联立 ，解得 A（ 3， 2）， 化 z=4x+y 为 y= 4x+z，由图可知，当直线 y= 4x+z 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大， z 有最小值为 14 故答案为： 14 15已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的右焦点为 F，焦距为 8，左顶点为A，在 y 轴上有一点 B（ 0， b），满足 =2a，则该双曲线的离心率的值为 2 【考点】 双曲线的简单性质 【分析 】 利用向量的数量积公式，可得 4a+a，即 16 a，可得 a 的值，由此可求双曲线的离心率 【解答】 解：由题意， A（ a， 0）， F（ 4， 0）， B（ 0， b）， =（ a， b）， =（ 4， b） =2a， （ a， b） （ 4， b） =2a， 4a+a， a， 16 a， a=2， e= = =2， 故答案为： 2 16已知数列 等比数列，其公比为 2，设 bn=数列 前 10 项的和为 25，那么 a1+a2+ +值为 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 根据等差数列和等比数列的求和公式计算即可 【解答】 解：设首项为 a， 则 an=a2n 1， bn=n 1 1=1=， 数列 以 首项，以 1 为公差的等差数列， 10=25， a= 数列 首项为 ， a1+a2+ += ， 故答案为： 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17 三个内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，已知 a b， c= ，且 （ ）求 C； （ ）若 面积为 ，求 a 与 b 的值 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ ）根据正弦定理和三角恒等变换，化简等式得出 A+B 的值，从而求出 C 的值； （ ）根据三角形的面积公式和余弦定理，列出关于 a、 b 的方程组，求出 a、 【解答】 解：（ ） ， = 整理得 即 22A ） =22B ）； 又 a b， （ 2A ） +（ 2B ） =， 解得 A+B= ， C=（ A+B） = ； （ ） 面积为： ， 解得 ； 由余弦定理，得 c2=a2+2a2+2 6a2+6=7， a2+3 ； 由 联立，解方程组得： a=2， b=3 或 a=3， b=2 18某学校为了了解本校高一学生每周课外阅读时间（单位：小时）的情况，按10%的比例对该校高一 600 名学生进行抽样统计，将样本数据分为 5 组：第一组0， 2），第二组 2， 4），第三组 4， 6），第四组 6， 8），第五组 8， 10），并将所得数据绘制成如图所示的频率分布直方图： （ ）求图中的 x 的值； （ ）估计该校高一学生每周课外阅读的平均时间； （ ）为了进一步提高本校高一学生对课外阅读的兴趣，学校准备选拔 2 名学生参加全市阅读知识竞赛，现决定先在第三组、第四组、第五组中用分层抽 样的放法，共随机抽取 6 名学生，再从这 6 名学生中随机抽取 2 名学生代表学校参加全市竞赛，在此条件下，求第三组中恰有一名学生被抽取的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图 【分析】 （ ）由频率分布直方图中小矩形面积之和为 1，能求出 x 的值 （ ）由频率分布直方图的性质能估计该校高一学生每周课外阅读的平均时间 （ ）由题意知从第三组、第四组、第五组中依次分别抽取 3 名学生， 2 名学生和 1 名学生，设第三组抽到的三名学生是 四组抽取的学生是 2，第五组抽到的学生 是 用列举法能求出第三组中恰有一名学生被抽取的概率 【解答】 解：（ ）由题设可知，（ x+=1， 解得 x= （ ）估计该校高一学生每周课外阅读的平均时间为： =1 时） （ ）由题意知从第三组、第四组、第五组中依次分别抽取 3 名学生， 2 名学生和 1 名学生， 设第三组抽到的三名学生是 四组抽取的学生是 五组抽到的学生是 则一切可能的结果组 成的基本事件空间为： =（ （ （ （ （ （ （ 1）， （ （ （ （ （ （ （ （ ，共由 15 个基本事件组成， 设 “第三组中恰有一名学生被抽取 ”为事件 A， 则 A 中有 9 个基本事件， 第三组中恰有一名学生被抽取的概率 P（ A） = 19如图，直四棱柱 底面 直角梯形，其中 D， ， （ ）证明： 平面 （ ）求多面体 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ ）连接 已知可得 由 平面 此可得 平面 平面 1 内，通过解直角三角形可得 平面 1，进一步得到 1由线面垂直的判定可得 平面 （ ）多面体 看作是有公共底面 两个三棱锥构成的组合体，求出 面积 S，由（ ）知， 面 后由棱锥体积公式求得多面体 体积 【解答】 （ ）证明：连接 正方形， 又 平面 面 因此， 平面 又在平面 1 内， 0，即 又 平面 1， 面 因此， 平面 又 1， 平面 （ ）解：多面体 看作是有公共底面 两个三棱锥构成的组合体， 在 ， ，在 ， ， 在 ， ， 等腰三角形，且面积 S= ， 由（ ）知， 面 多面体 体积 V= 20已知椭圆 C； + =1（ a b c）的左、右焦点分别为 c， 0）、 c， 0），过原点 O 的直线（与 x 轴不重合）与椭圆 C 相交于 D、 Q 两点，且|4， P 为椭圆 C 上的动点， 面积的最大值为 （ 1）求椭圆 C 的离心率； （ 2）若过左焦点 任意直线与椭圆 C 相交于 S、 T 两点，求 的取值范围 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）由题意可得 a，再由， 面积的最大值为 得到 ，结合隐含条件求得 b， c 的值，则椭圆离心率可求 ； （ 2）由（ 1）求出椭圆方程，当直线 斜率不存在时，求出 S， T 的坐标，可得 的值；当直线 斜率存在时，设直线 方程为 y=m（ x+1），将直线 方程 y=m（ x+1）代入椭圆方程，化为关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系结合向量数量积的坐标运算求得 的取值范围 【解答】 解：（ 1）由题意可知， 2a=4， a=2 又 ，且 b2+，解得 b= ， c=1 椭圆的离心率 e= ； （ 2）由（ 1）得椭圆 C 的方程为 当直线 斜率不存在时，有 S（ 1， ）、 T（ 1， ）， 此 时 当直线 斜率存在时，设直线 方程为 y=m（ x+1）， 再设点 S（ T（ 将直线 方程 y=m（ x+1）代入椭圆方程消去 y 并整理得： （ 4） 12=0 得 ， 从而 = = = = 4， ） 综上所述， 的取值范围为 4， 21已知函数 f（ x） = （ 1）若 a=4，求函数 f（ x）的单调区间； （ 2）若函数 f（ x）在区间（ 0， 1内单调递增，求实数 a 的取值范围； （ 3）若 R+， 且 证：（ 3（ 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （ 2）问题转化为 3a +x+4 恒成立，根据函数的单调性求出 a 的范围即可； （ 3）问题转化为 = 成立即可，令 t= （ 0， 1），故只要 0 即可，根据函数的单调性证明即可 【解答】 解：（ 1） f（ x）的定义域是（ 0， + ）， f（ x） = = ， a=4 时， f（ x） = ， 由 f（ x） 0，解得： 0 x 4 2 或 x 4+2 ， 由 f（ x） 0，解得： 4 2 x 4+2 ， 故 f（ x）在（ 0， 4 2 ）递增，在（ 4 2 ， 4+2 ）递减，在（ 4+2 ， + ）递增； （ 2）由（ 1）得： f（ x） = ， 若函数 f（ x）在区间（ 0， 1递增， 则有 4 3a） x+4 0 在（ 0， 1内恒成立， 即 3a +x+4 恒成立， 又函数 y= +x+4 在 x=1 时取得最小值 9，故 a 3； （ 3）证明：当 x1=，不等式显然成立， 当 ， R+， 要原 不等式成立， 只要 = 成立即可， 令 t= （ 0， 1）， 故只要 0 即可， 由（ 2）可知函数 f（ x）在（ 0， 1递增， 故 f（ x） f（ 1） =0， 故 0 成立， 故原不等式成立 考生注意：请考生在第 22、 23 两题中任选一题作答 选修 4标系与参数方程 22在平面直角坐标系 ，曲线 参数方程为 （ 为参数），将曲线 所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标缩短为原来的 ，得到曲线 以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标