2017年内蒙古包头市高考数学一模试卷（文科）含答案

2017 年内蒙古包头市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 1（ 2+i） =（ ） A 5 B 3+4i C 3 D 5+4i 2已知集合 A= 3， 2， 1， B=x Z| 2 x 1，则 A B=（ ） A 1 B 2， 1 C 3， 2， 1， 0 D 3， 2， 1， 0，1 3设向量 =（ ， 1）， =（ 2， 1），则 | |2=（ ） A B C 2 D 4圆 E 经过三点 A（ 0， 1）， B（ 2， 0）， C（ 0， 1），且圆心在 x 轴的正半轴上，则圆 E 的标准方程为（ ） A（ x ） 2+ B（ x+ ） 2+ C（ x ） 2+ D（ x ） 2+ 5若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ，其中 ， ，则质点落在以 直径的半圆内的概率是（ ） A B C D 6某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积是 12，则它的表面积是（ ） A 18+16 B 20+16 C 22+16 D 24+16 7若将函数 y=2图象向右平移 个单位长度，则平移后函数的一个零点是（ ） A（ ， 0） B（ ， 0） C（ ， 0） D（ ， 0） 8如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的 “更相减损术 ”，执行该程序框图，若输入的 a， b 分别为 17， 14，则输出的 a=（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 9已知函数 f（ x） =x3+ 的图象在点（ 1， f（ 1）处的切线过点（ 2， 7），则 a=（ ） A 1 B 1 C 2 D 3 10函数 f（ x） =6+x） 最小值是（ ） A 7 B 6 C 5 D 4 11设抛物线 C： x 的焦点为 F，倾斜角为钝角的直线 l 过 F 且与 C 交于 A，B 两点，若 | ，则 l 的斜率为（ ） A 1 B C D 12若函数 f（ x） =（ x 1）（ x+2）（ x2+ax+b）是偶函数，则 f（ x）的最小值为（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） . 13 内角 A， B， C 的对边 分别为 a， b， c，已知 a=B= 14若 x， y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最大值为 15已知直线 a， b，平面 ，满足 a ，且 b ，有下列四个命题： 对任意直线 c，有 c a； 存在直线 c，使 c b 且 c a； 对满足 a的任意平面 ，有 ； 存在平面 ，使 b 其中正确的命题有 （填写所有正确命题的编号） 16已知函数 f（ x）是定义在 R 上的可导函数，其导函数为 f（ x），若对任意实数 x 有 f（ x） f（ x），且 y=f（ x） 1 的图 象过原点，则不等式 1的解集为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答写出文字说明、证明过程或演算过程 17（ 12 分）已知数列 前 n 项和为 3n（ n N+） （ 1）求 值； （ 2）设 bn=，证明数列 等比数列，并求通项公式 18（ 12 分）如图是某企业 2010 年至 2016 年污水净化量（单位：吨）的折线图 注：年份代码 1 7 分别对应年份 2010 2016 （ 1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 和 t 的关系，请用相 关系数加以说明； （ 2）建立 y 关于 t 的回归方程，预测 2017 年该企业污水净化量； （ 3）请用数据说明回归方程预报的效果 附注：参考数据： =54， （ ）（ ） =21， （ ）2= 参考公式：相关系数 r= ，回归方程 = + t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 = ， = 反映回归效果的公式为 ，其中 接近于 1，表示回归的效果越好 19（ 12 分）如图，三棱柱 ，侧面 菱形， （ 1）证明： （ 2）若 0， 0， C=2，求三棱锥 体积 20（ 12 分）已知函数 f（ x） =ax+a 0， a 1） （ ）当 a 1 时，求证：函数 f（ x）在（ 0， + ）上单调递增； （ ）若函数 y=|f（ x） t| 1 有三个零点，求 t 的值 21（ 12 分）已知椭圆 C： + 与 x 轴、 y 轴的正半轴分别相交于 A、 M、 N 为椭圆 C 上相异的两点，其中点 M 在第一象限，且直线 直线 斜率互为相反数 （ 1）证明：直线 斜率 为定值； （ 2）求 积的取值范围 选修 4标系与参数方程选讲 22（ 10 分）在直角坐标系 ，圆 C 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （ 1）求圆 C 的极坐标方程； （ 2）直线 l 的极坐标方程为 =0，其中 0 满足 ， l 与 C 交于 A， B 两点，求 |值 选修 4等式选讲 23已知函数 f（ x） =|x|+|x |， A 为不等式 f（ x） x+ 的解集 （ 1）求 A； （ 2）当 a A 时，试比较 |1 a） |与 |1+a） |的大小 2017 年内蒙古包头市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 1（ 2 i）（ 2+i） =（ ） A 5 B 3+4i C 3 D 5+4i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】 解：（ 2 i）（ 2+i） = 4+2i+2i 3+4i 故选： B 【点评】 本题考查复数代数形式的乘 除运算，是基础的计算题 2已知集合 A= 3， 2， 1， B=x Z| 2 x 1，则 A B=（ ） A 1 B 2， 1 C 3， 2， 1， 0 D 3， 2， 1， 0，1 【考点】 并集及其运算 【分析】 先分别求出集合 A， B，由此利用并集定义能求出 A B 【解答】 解： 集合 A= 3， 2， 1， B=x Z| 2 x 1= 2， 1， 0， 1， A B= 3， 2， 1， 0， 1 故选： D 【点评】 本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题 ，注意并集定义的合理运用 3设向量 =（ ， 1）， =（ 2， 1），则 | |2=（ ） A B C 2 D 【考点】 平面向量的坐标运算 【分析】 利用向量坐标运算性质、模的计算公式即可得出 【解答】 解： = | |2= 故选： A 【点评】 本题考查了向量坐标运算性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 4圆 E 经过三点 A（ 0， 1）， B（ 2， 0）， C（ 0， 1），且圆心在 x 轴的正半轴上，则圆 E 的标准方程为（ ） A（ x ） 2+ B（ x+ ） 2+ C（ x ） 2+ D（ x ） 2+ 【考点】 圆的标准方程 【分析】 根据题意，设圆 E 的圆心坐标为（ a， 0）（ a 0），半径为 r；利用待定系数法分析可得 ，解可得 a、 r 的值，代入圆的标准方程即可得答案 【解答】 解：根据题意，设圆 E 的圆心坐标为（ a， 0）（ a 0），半径为 r； 则有 ， 解可得 a= ， ； 则要求圆的方程为：（ x ） 2+； 故选： C 【点评】 本题考查圆的标准方程，要用待定系数法进行分析，关键是求出圆心的坐标以及半径 5若将 一个质点随机投入如图所示的长方形 ，其中 ， ，则质点落在以 直径的半圆内的概率是（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论 【解答】 解： ， ， 长方体的 面积 S=1 2=2， 圆的半径 r=1，半圆的面积 S= ， 则由几何槪型的概率公式可得质点落在以 ， 故选： C 【点评】 本题主要考查几何槪型的概率的计算，求出对应的图形的面积 是解决本题的关键，比较基础 6某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积是 12，则它的表面积是（ ） A 18+16 B 20+16 C 22+16 D 24+16 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据三视图可得几何体是圆柱去掉 个圆柱，圆柱的底面半径为： r；高为： 2r，代入体积，求出 r，即可求解表面积 【解答】 解：由题意可知：几何体是圆柱去掉 个圆柱，圆柱的底面半径为： r；高为： 2r 几何体的体积为： ， r=2 几何体的表面积为： =18+16 故选 A 【点评 】 本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量 7若将函数 y=2图象向右平移 个单位长度，则平移后函数的一个零点是（ ） A（ ， 0） B（ ， 0） C（ ， 0） D（ ， 0） 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 由条件根据诱导公式、 y=x+）的图象变换规律，可得结论 【解答】 解：函数 y=2图象向右平移 个单位长度，可得 2x ）=22x ） 令 2x = （ k Z） 解得： x= （ k Z）， 函数的对称点为（ ， 0） 当 k=1 时，可得一个零点是（ ， 0） 故选： A 【点评】 本题主要考查函数 y=x+）的图象变换规律，比较基础 8如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的 “更相减损术 ”，执行该程序框图，若输入的 a， b 分别为 17， 14，则输出的 a=（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 【考点】 程序框图 【分析】 根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量 a 的值，模拟程序的运行过程，可得答案 【解 答】 解：根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算 17， 14 的最大公约数， 由 17， 14 的最大公约数为 1， 故选： D 【点评】 本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答 9已知函数 f（ x） =x3+ 的图象在点（ 1， f（ 1）处的切线过点（ 2， 7），则 a=（ ） A 1 B 1 C 2 D 3 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可 【解答】 解：函数 f（ x） =x3+ 的导数为： f（ x） =3x2+a， f（ 1） =3+a，而 f（ 1） =a+2， 切线方程为： y a 2=（ 3+a）（ x 1），因为切线方程经过（ 2， 7）， 所以 7 a 2=（ 3+a）（ 2 1）， 解得 a=1 故选 B 【点评】 本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力 10函数 f（ x） =6+x） 最小值是（ ） A 7 B 6 C 5 D 4 【考点】 三角函数的化简求值 【分析】 利用诱导公式和二倍角公式化简，转化为二次函数问题求解最小值即可 【解答】 解：函数 f（ x） =6+x） 化简可得： f（ x） =61=2（ ） 2 1 当 1 时，函数 f（ x）取得最小值为 5 故选： C 【点评】 本题考查了诱导公式和二倍角公式化简能力和转化思想求解最小值问题属于基础题 11设抛物线 C： x 的焦点为 F，倾斜角为钝角的直线 l 过 F 且与 C 交于 A，B 两点，若 | ，则 l 的斜率为（ ） A 1 B C D 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 由题意设出直线 方程，联立直线和抛物线方程 ，利用韦达定理，结合弦长公式得答案 【解答】 解：由 x，得 F（ 1， 0）， 设 在直线方程为 y=k（ x 1）， 联立 x，得 2） x+ 设 A（ B（ 则 x1+ ， | ， 2+ +2= ， 倾斜角为钝角， k= ， 故选 D 【点评】 本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查了学生的计算能力，是中档题 12若函数 f（ x） =（ x 1）（ x+2）（ x2+ax+b）是偶函数，则 f（ x）的最小值为（ ） A B C D 【考点】 函数的最值及其几何意义 【分析】 根据题意，由于函数 f（ x）为偶函数，则可得 f（ x） =f（ x），即（x 1）（ x+2）（ ax+b） =（ x 1）（ x+2）（ x2+ax+b），分析可得 a、 可得函数 f（ x）的解析式，对其求导，分析可得当 x= 时， f（ x）取得最小值；计算即可的答案 【解答】 解：根据题意，函数 f（ x） =（ x 1）（ x+2）（ x2+ax+b）是偶函数， 则有 f（ x） =f（ x）， 即（ x 1）（ x+2）（ ax+b） =（ x 1）（ x+2）（ x2+ax+b） 分析可得： 2（ 1 a+b） =0， 4（ 4+2a+b） =0， 解可得： a= 1， b= 2， 则 f（ x） =（ x 1）（ x+2）（ x 2） =5， f（ x） =410x=x（ 410）， 令 f（ x） =0，可得当 x= 时， f（ x）取得最小值； 又由函数为偶函数， 则 f（ x） ） 4 5（ ） 2+4= ； 故选： C 【点评】 本题考查函数的最值计算，关键是利用函数的奇偶性求出 a、 b 的值，确定函数的解析式 二、填空题：本大题共 4 小 题，每小题 5 分，共 20 分） . 13 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 a=B= 【考点】 正弦定理 【分析】 利用正弦定理和三角形内角和定理消去 A，和差公式打开可得 B 的大小 【解答】 解：由 a=及正弦定理： 可得： 0 B ， B= 故 答案为 【点评】 本题考了正弦定理和三角形内角和定理以及两角和与差的计算属于基础题 14若 x， y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最大值为 8 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论 【解答】 解：先作出不等式 对应的区域， z=2x+y 的最大值，由图形可知直线 z=2x+y 过 A 时，目标函数取得最大值， 由 ，解得 ，即 A（ 1， 6）， z=2x+y=2 1+6=8 故答案为： 8 【点评】 本题主要考查线性规划的应用，求出目标函数和条件 对应直线的交点坐标是解决本题的关键 15已知直线 a， b，平面 ，满足 a ，且 b ，有下列四个命题： 对任意直线 c，有 c a； 存在直线 c，使 c b 且 c a； 对满足 a的任意平面 ，有 ； 存在平面 ，使 b 其中正确的命题有 （填写所有正确命题的编号） 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 对 4 个命题分别进行判断，即可得出结论 【解答】 解： 对任意直线 c， a ， 有 c a，正确； c b， c ，可得存在直线 c，使 c b 且 c a，正确； 对满足 a的任意平面 ，根据平面与平面垂直的判定，有 ，正确； 存在平面 ， =l， b l，可使 b ，正确 故答案为 【点评】 本题考查空间线面、面面位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 16已知函数 f（ x）是定义在 R 上的可导函数，其导函数为 f（ x），若对任意实数 x 有 f（ x） f（ x），且 y=f（ x） 1 的图象过原点，则不等式 1的解集为 （ 0， + ） 【考点】 导数的运算 【分析】 构造函数 g（ x） = ，研究 g（ x）的单调性，结合原函数 的性质和函数值，即可求解 【解答】 解：设 g（ x） = （ x R）， 则 g（ x） = ， f（ x） f（ x）， f（ x） f（ x） 0 g（ x） 0， y=g（ x）在定义域上单调递减 f（ x） g（ x） 1 y=f（ x） 1 的图象过原点， f（ 0） =1 又 g（ 0） = =1 g（ x） g（ 0） x 0 故答案为（ 0， + ） 【点评】 本题考查函数单调性，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分解答写出文字说明、证明过 程或演算过程 17（ 12 分）（ 2017包头一模）已知数列 前 n 项和为 3n（ n N+） （ 1）求 值； （ 2）设 bn=，证明数列 等比数列，并求通项公式 【考点】 等比数列的通项公式；数列的求和 【分析】 （ 1）由 3n（ n N+）能求出 值 （ 2）由 3 n，求出 =2，从而能证明数列 以 6 为首项， 2为公比的等比数列，由此能求出通项公式 【解答】 解：（ 1） 数列 前 n 项和为 3n（ n N+） n=1 时，由 1=23 1，解得 ， n=2 时，由 3 2，得 ， n=3 时，由 3 3，得 1 （ 2） 3 n， =2 3 （ n+1）， 两式相减，得 =2， * 把 bn= 及 =+3，代入 *式， 得 =2 n N*），且 ， 数列 以 6 为首项， 2 为公比的等比数列， 2n 1， 【 点评】 本题考查数列中前 3 项的求法，考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用 18（ 12 分）（ 2017包头一模）如图是某企业 2010 年至 2016 年污水净化量（单位：吨）的折线图 注：年份代码 1 7 分别对应年份 2010 2016 （ 1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 和 t 的关系，请用相关系数加以说明； （ 2）建立 y 关于 t 的回归方程，预测 2017 年该企业污水净化量； （ 3）请用数据说明回归方程预报的效果 附注：参考数据： =54， （ ）（ ） =21， （ ）2= 参考公式：相关系数 r= ，回归方程 = + t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 = ， = 反映回归效果的公式为 ，其中 接近于 1，表示回归的效果越好 【考点】 线性回归方程 【分析】 （ 1）由折线图看出， y 与 t 之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案； （ 2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程， 2017 年对应的 t 值为8，代入可预测 2017 年我国生活垃圾无害化处理量； （ 3）求出 得结论 【解答】 解：（ 1）由题意， =4， （ ）（ ） =21， r= = 故 y 与 t 之间存在较强的正相关关系； （ 2） =54， = = = ， = =54 =51， y 关于 t 的回归方程 = t+51， t=8， = =57，预测 2017 年该企业污水净化量约为 57 吨； （ 3） =1 企业污水净化量的差异有 由年份引起的，这说明回归方程预报的效果是良好的 【点评】 本题考查的知 识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心 19（ 12 分）（ 2017包头一模）如图，三棱柱 ，侧面 （ 1）证明： （ 2）若 0， 0， C=2，求三棱锥 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 （ 1）连接 点 O，连接 题意可得 O 为 中点结合 得 由线面垂直的判定定理可得 平面 一步得到 （ 2）由侧面 菱形，且 0，可得 等边三角形，求解直角三角形得到 证得 得 平面 后利用等积法求得三棱锥 体积 【解答】 （ 1）证明：连接 点 O，连接 侧面 菱形， O 为 中点 ， 平面 由于 面 （ 2）解： 侧面 菱形，且 0， 等边三角形，即 1C=2 在 ， 0， 等腰直角三角形，又 O 为 中点， C=1， 在 ， ， ， ， 立，则 又 平面 = 【点评】 本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题 20（ 12 分）（ 2017包头一模）已知函数 f（ x） =ax+a 0， a 1） （ ）当 a 1 时，求证：函数 f（ x）在（ 0， + ）上单调递增； （ ）若函数 y=|f（ x） t| 1 有三个零点，求 t 的值 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）先求原函数的导数得： f（ x） =x x+（ 1） 于 a 1，得到 f（ x） 0，从而函数 f（ x）在（ 0， + ）上单调递增 （ ）由已知条件得，当 a 0， a 1 时， f（ x） =0 有唯一解 x=0，又函数 y=|f（ x） t| 1 有三个零点，等价于方程 f（ x） =t 1 有三个根，从而 t 1=（ f（ x）f（ 0） =1，解得 t 即得 【解答】 解：（ ） f（ x） =x x+（ 1） 于 a 1，故当 x （ 0， + ）时， 0， 1 0，所以 f（ x） 0， 故函数 f（ x）在（ 0， + ）上单调递增 （ ）当 a 0， a 1 时，因为 f（ 0） =0，且 f（ x）在 R 上单调递增， 故 f（ x） =0 有唯一解 x=0（ 6 分） 所以 x， f（ x）， f（ x）的变化情况如表所示： 又函 数 y=|f（ x） t| 1 有三个零点，所以方程 f（ x） =t 1 有三个根， 而 t+1 t 1，所以 t 1=（ f（ x） f（ 0） =1，解得 t=2（ 10 分） 【点评】 本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、函数的零点等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题 21（ 12 分）（ 2017包头一模）已知椭圆 C： + 与 x 轴、 y 轴的正半轴分别相交于 A、 B 两点点 M、 N 为椭圆 C 上相异的两点，其中点 M 在第一象限，且直线 直线 斜率互为相反数 （ 1）证明：直线 斜率为定值； （ 2）求 积的取值范围 【考点】 直线与椭圆的位置关系 【分析】 （ 1）设直线 方程为 y=k（ x 1），直线 方程为 y= ，分别与椭圆 C 联立方程组，分别求出 M 点坐标、 N 点坐标，由此能求出直线斜率 （ 2）设直线 方程为 y= ，（ 1 b 1），记 A， B 到直线 距离分别为 出 dA+，联立方程组 ，得 =0，由此利用韦达定理、弦长公式能求出 S 取值范围 【解答】 证明：（ 1） 直线 直线 斜率互为相反数， 设直线 方程为 y=k（ x 1），直线 方程为 y= ， 联立方程组 ，解得 M 点坐标为 M（ ）， 联立方程组 ，解得 N 点坐标为 N（ ）， 直线 斜率 = 解：（ 2）设直线 方程为 y= ，（ 1 b 1）， 记 A， B 到直线 距离分别为 则 dA+ = ， 联立方程组 ，得 2=0， ， | | ， S | | dA+=2 ， 1 b 1， S （ 2， 2 【点评】 本题考查直线斜率为定值的证明，考查三角形面积的取值范