2017年数学研习试题二

掌握数学知识 提高数学能力 欣赏数学魅力 享受数学乐趣 J MX BANQUANSUOYOU 2017 年数学研习试题二 1在ABC 中，AB10，AC 2 ，BC 边上的高 AD6，则另一边 BC 等于( )10 A10 B8 C6 或 10 D8 或 10 2如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 边的中点，BEAC，垂足为点 F，连接 DF，分析 下列四个结论：AEFCAB； CF2AF； DFDC；tanCAD 其2 中正确的结论有( )A.4 个 B3 个 C2 个 D1 个 图10图 FEDB CA 图14图 EOB ACD 3如图，在 RtABC 中，B90 ，AB4，BC AB，点 D 在 BC 上，以 AC 为对角线 的所有平行四边形 ADCE 中，DE 的最小值是_ 4如图，折叠矩形 ABCD 的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知折痕 AE5 cm， 且 tanEFC ，那么矩形 ABCD 的周长 _cm5 34 5如图，OAC 和BAD 都是等腰直角三角形，ACO=ADB=90，反比例函数 y= 在 第一象限的图象经过点 B，则 OAC 与BAD 的面积之差 SOACSBAD 为（ ） A36 B12 C6 D3 6 如图 1，ABC 是等腰直角三角形，BAC 90，ABAC ，四边形 ADEF 是正方形， 点 B、C 分别在边 AD、AF 上，此时 BDCF，BDCF 成立 (1)当ABC 绕点 A 逆时针旋转 （0 90）时，如图 2，BDCF 成立吗？若成 立，请证明；若不成立，请说明理由 (2)当ABC 绕点 A 逆时针旋转 45时，如图 3，延长 DB 交 CF 于点 H. 求证：BDCF； 当 AB2 ，AD 3 时，求线段 DH 的长2 掌握数学知识 提高数学能力 欣赏数学魅力 享受数学乐趣 J MX BANQUANSUOYOU 7 如图，以 RtABC 的直角边 AB 为直径作O，交斜边 AC 于点 D，点 E 为 OB 的中点， 连接 CE 并延长交O 于点 F，点 F 恰好落在 的中点，连接 AF 并延长与 CB 的延长线 相交于点 G，连接 OF（1）求证：OF= BG； （2）若 AB=4，求 DC 的长 8如图，已知抛物线 m：y=ax 26ax+c（a0）的顶点 A 在 x 轴上，并过点 B（0，1） ，直 线 n：y= x+ 与 x 轴交于点 D，与抛物线 m 的对称轴 l 交于点 F，过 B 点的直线 BE 与 直线 n 相交于点 E（7，7） （1）求抛物线 m 的解析式； （2）P 是 l 上的一个动点，若以 B，E，P 为顶点的三角形的周长最小，求点 P 的坐标； （3）抛物线 m 上是否存在一动点 Q，使以线段 FQ 为直径的圆恰好经过点 D？若存在， 求点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 掌握数学知识 提高数学能力 欣赏数学魅力 享受数学乐趣 J MX BANQUANSUOYOU 2017 年数学研习试题二 1C.【解析】在图中，由勾股定理，得 BD 8; CD 2;AB2 AD2 102 62 AC2 AD2 BCBDCD8210. 在图中，由勾股定理，得 BD 8; CD 2;AB2 AD2 102 62 AC2 AD2 BCBDCD826.故选择 C. 2如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 边的中点，BEAC，垂足为点 F，连接 DF，分析 下列四个结论：AEFCAB； CF2AF； DFDC；tanCAD 其2 中正确的结论有( ) A.4 个 B3 个 C2 个 D1 个 掌握数学知识 提高数学能力 欣赏数学魅力 享受数学乐趣 J MX BANQUANSUOYOU 图10图 FEDB CA 图10图 GHFEDA CB 【答案】B. 【解析】矩形 ABCD 中，ADBC. AEF CAB.正确； AEF CAB， ，CF 2AF正确； AFCF AEBC 12 过点 D 作 DHAC 于点 H.易证ABF CDH (AAS).AFCH. EFDH, 1.AF FH .FHCH. AFFH AEED DH 垂直平分 CF.DFDC. 正确； 设 EF1，则 BF2.ABFEAF. .AF . AFEF BFAF EFBF 12 2 tanABF .CADABF，tan CADtan ABF .错误. AFBF 3如图，在 RtABC 中，B90 ，AB4，BC AB，点 D 在 BC 上，以 AC 为对角线 的所有平行四边形 ADCE 中，DE 的最小值是_ 图14图 EO B ACD 图14图 EOC ABD 【答案】4. 【解析】根据“垂线段最短” ，可知：当 ODBC 时，OD 最短，DE 的值最小. 当 ODBC 时，ODAB. 1.OD 是ABC 的中位线.OD AB2.DE 的最小 CDBD COOA 12 值2OD4. 4如图，折叠矩形 ABCD 的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知折痕 掌握数学知识 提高数学能力 欣赏数学魅力 享受数学乐趣 J MX BANQUANSUOYOU AE5 cm， 且 tanEFC ，那么矩形 ABCD 的周长_cm5 34 【知识点】折叠（轴对称）轴对称的性质、特殊平行四边形矩形的性质、锐角 三角函数三角函数的求法、勾股定理 【答案】36. 【解析】AFE 和ADE 关于 AE 对称，AFE D 90，AF AD，EFDE. tanEFC ， 可设 EC3x，CF 4x，那么 EF 5x， ECCF 34 DEEF5x. DCDECE 3x5x8x.ABDC8x. EFCAFB90, BAFAFB90, EFCBAF.tan BAFtanEFC ， .AB8x,BF6x .BCBFCF10x. 34 BFAB 34 AD10x. 在 RtADE 中，由勾股定理，得 AD2DE 2AE 2.(10x)2(5 x)2(5 )2.解得 x1.5 AB8x8,AD10x10. 矩形 ABCD 的周长82 10236. 5 如图，OAC 和BAD 都是等腰直角三角形，ACO=ADB=90，反比例函数 y= 在第一象限的图象经过点 B，则 OAC 与BAD 的面积之差 SOACSBAD 为（ ） A36 B12 C6 D 3 解：设OAC 和BAD 的直角边长分别为 a、b， 则点 B 的坐标为（a+b，a b） 掌握数学知识 提高数学能力 欣赏数学魅力 享受数学乐趣 J MX BANQUANSUOYOU 点 B 在反比例函数 y= 的第一象限图象上， （ a+b） （ab）= a2b2=6 SOACSBAD= a2 b2= （a 2b2）= 6=3 故选 D 6 如图 1，ABC 是等腰直角三角形，BAC 90，ABAC，四边形 ADEF 是正方形， 点 B、C 分别在边 AD、AF 上，此时 BDCF，BDCF 成立 (1)当ABC 绕点 A 逆时针旋转 （0 90）时，如图 2，BDCF 成立吗？若成 立，请证明；若不成立，请说明理由 (2)当ABC 绕点 A 逆时针旋转 45时，如图 3，延长 DB 交 CF 于点 H. 求证： BDCF； 当 AB2，AD3 时，求线段 DH 的长2 【解答】(l)解：BD CF 成立 证明：ACAB，CAF BAD; AFAD ,ABDACF,BDCF . (2)证明：由(1)得，ABDACF， HFNADN， 在HFN 与ADN 中，HFNAND，HNFAND,NHFNAD90, HDHF,即 BDCF. 解：如图，连接 DF，延长 AB，与 DF 交于点 M. 在MAD 中，MAD MDA45，BMD90. 在 RtBMD 与 RtFHD 中， MDB HDF,BMDFHD. AB2，AD3 ，四边形 ADEF 是正方形，MAMD 3.2 MB321,DB . . .DH .12 32 10 MDHD BDFD 3HD 7如图，以 RtABC 的直角边 AB 为直径作O，交斜边 AC 于点 D，点 E 为 OB 的中点， 连接 CE 并延长交O 于点 F，点 F 恰好落在 的中点，连接 AF 并延长与 CB 的延长线 相交于点 G，连接 OF（1）求证：OF= BG； （2）若 AB=4，求 DC 的长 掌握数学知识 提高数学能力 欣赏数学魅力 享受数学乐趣 J MX BANQUANSUOYOU 【解答】（1）证明：以 RtABC 的直角边 AB 为直径作O，点 F 恰好落在 的中点， = ， AOF=BOF， ABC=ABG=90， AOF=ABG，FOBG， AO=BO， FO 是ABG 的中 位线，FO= BG； （2）解：在FOE 和CBE 中， ，FOE CBE（ASA）， BC=FO= AB=2，AC= =2 ， 连接 DB， AB 为O 直径，ADB=90，ADB=ABC，BCD=ACB，BCD ACB， = ， = ，解得：DC= 8如图，已知抛物线 m：y=ax 26ax+c（a0）的顶点 A 在 x 轴上，并过点 B（0，1） ，直 线 n：y= x+ 与 x 轴交于点 D，与抛物线 m 的对称轴 l 交于点 F，过 B 点的直线 BE 与 直线 n 相交于点 E（7，7） （ 1）求抛物线 m 的解析式； （2）P 是 l 上的一个动点，若以 B，E，P 为顶点的三角形的周长最小，求点 P 的坐标； （3）抛物线 m 上是否存在一动点 Q，使以线段 FQ 为直径的圆恰好经过点 D？若存在， 求点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】解：（1）抛物线 y=ax26ax+c（a0）的顶点 A 在 x 轴上 配方得 y=a（x3） 29a+1，则有9a+1=0，解得 a= A 点坐标为（3，0） ，抛物线 m 的解析式为 y= x2 x+1； （2）点 B 关于对称轴直线 x=3 的对称点 B为（6，1） 连接 EB交 l 于点 P，如图所示 设直线 EB的解析式为 y=kx+b，把（7，7） （6，1）代入得 掌握数学知识 提高数学能力 欣赏数学魅力 享受数学乐趣 J MX BANQUANSUOYOU 解得 ，则函数解析式为 y= x+ 把 x=3 代入解得 y= ，点 P 坐标为（3， ） ； （3）y= x+ 与 x 轴交于点 D，点 D 坐标为（7，0） ， y= x+ 与抛物线 m