3月2市河埠中学七年级(下)数学竞赛试卷

2010-2011 学年湖北省荆州市河埠中学七年级（下） 数学竞赛试卷 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的.） 1 （5 分）文具店的老板均以 60 元的价格卖了两个计算器，其中一个赚了 20%，另一个亏了 20%，则该老板（ ） A 赚了 5 元 B 亏了 25 元 C 赚了 25 元 D 亏了 5 元 2 （5 分）若 m0，n0， m+n0，则 m，n， m，n 这四个数的大小关系是（ ） A mnn m B m n nm C mm n n D m n nm 3 （5 分）一停车场上有 24 辆车，其中一辆汽车有 4 个轮子，一辆摩托车有 3 个轮子，且停车场只有汽车和摩托 车，这些车共有 86 个轮子，那么摩托车应为（ ） A 14 辆 B 12 辆 C 16 辆 D 10 辆 4 （5 分）如图是一个 44 的正方形网格，图中所标示的 7 个角的角度之和等于（ ） A 585 B 540 C 270 D 315 5 （5 分）若 表示一个整数，则整数 x 可取值共有（ ） A 3 个 B 4 个 C 5 个 D 6 个 6 （5 分）2 55，3 44，5 33，6 22 这四个数中最小的数是（ ） A 255 B 344 C 533 D 622 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 7 （5 分）有一列数，按照下列规律排列： 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，6，6，6，6，6，7，这列数的第 200 个数是 _ 8 （5 分）有一条高在三角形外的等腰三角形的一个外角等于 140，则这个等腰三角形的顶角为 _ 9 （5 分）有一个正方体，在它的各个面上分别标上字母 A、B、C、D、E、F，甲、乙、丙三位同学从不同方向 去观察其正方体，观察结果如图所示问：F 的对面是 _ 10 （5 分）用三种边长相等的正多边形铺地面，已选了正方形和正五边形两种，还应选正 _ 边形 11 （5 分）将五边形剪去一个角后所得的多边形的内角和为 _ 12 （5 分）设 a，b，c 为有理数，则由 构成的各种数值是 _ 三、解答题（本大题共 4 小题，每小题 15 分，共 60 分）要求：写出推算过程 13 （15 分）对于有理数 x，y 定义新运算 x*y=ax+by+c其中 a，b，c 是常数，等式右边是通常的加法与乘法运 算已知 1*2=9， （ 3）*3=6，0*1=2，求（2）*5 的值 14 （15 分）岳飞是我国古代宋朝的民族英雄，曾任通泰镇抚史、兼泰州知州、据说在泰州抗击金兵期间，有一次 曾向将领们讲了如下一个布阵图，如图 4 是一座城池，在城池的四周设了八个哨所，一共由 24 个卫士把守，按直 线算，每边都有 11 个人，后来由于军情发生变化，连续四次给哨所增添兵力，每次增加 4 人，但要求在增加人员 后，仍然保持每边 11 个人把守请问，兵力应如何调整？ 15 （15 分）小明和哥哥在环形跑道上练习长跑他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔 25 秒钟相遇一 次现在，他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过 25 分钟哥哥追上了小明，并且比小明多跑了 20 圈，求： （1）哥哥速度是小明速度的多少倍？ （2）哥哥追上小明时，小明跑了多少圈？ 16 （15 分）如图，ABC 中：AB=AC ，A=36 请用不同的五种方法将它分成四个相互独立的等腰三角形如 图 1（对所作的三角形的特殊内角、点或线进行必要的说明） 2010-2011 学年湖北省荆州市河埠中学七年级（下） 数学竞赛试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的.） 1 （5 分）文具店的老板均以 60 元的价格卖了两个计算器，其中一个赚了 20%，另一个亏了 20%，则该老板（ ） A 赚了 5 元 B 亏了 25 元 C 赚了 25 元 D 亏了 5 元 考点： 一元一次方程的应用725152 专题： 销售问题 分析： 可分别设两种计算器的进价，根据赔赚可列出方程求得，再比较两计算器的进价和与售价和之间的差，即 可得老板的赔赚情况 解答： 解：设赚了 20%的进价为 x 元，亏了 20%的一个进价为 y 元，根据题意可得： x（1+20%）=60， y（120%）=60 ， 解得：x=50（元） ，y=75 （元） 则两个计算器的进价和=50+75=125 元，两个计算器的售价和=60+60=120 元， 即老板在这次交易中亏了 5 元 故选 D 点评： 本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量 关系列出方程 2 （5 分）若 m0，n0， m+n0，则 m，n， m，n 这四个数的大小关系是（ ） A mnn m B m n nm C mm n n D m n nm 考点： 有理数大小比较725152 分析： 根据题意，m0，n0，则 nm ，m+n0，则 mn n，以此可做出选择 解答： 解： m0，n 0， n m m+n0， mn ， mn n， mn nm 故选 B 点评： 本题考查有理数的大小比较，根据题目中的已知关系，比较出 m，n， m，n 这四个数的大小关系 3 （5 分）一停车场上有 24 辆车，其中一辆汽车有 4 个轮子，一辆摩托车有 3 个轮子，且停车场只有汽车和摩托 车，这些车共有 86 个轮子，那么摩托车应为（ ） A 14 辆 B 12 辆 C 16 辆 D 10 辆 考点： 二元一次方程组的应用725152 分析： 根据题意可知，本题中的等量关系是“停车场上有 24 辆车 ”和“这些车共有 86 个轮子” ，列方程组求解即 可 解答： 解：设摩托车应为 x 辆，汽车 y 辆， 则 ， 解得 ， 所以摩托车应为 10 辆 故选 D 点评： 解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解利用 二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出 2 个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示 出来是解题的关键 4 （5 分）如图是一个 44 的正方形网格，图中所标示的 7 个角的角度之和等于（ ） A 585 B 540 C 270 D 315 考点： 全等三角形的性质725152 专题： 常规题型；创新题型 分析： 该题考查学生的观察能力，由此图可以看出左边第一个角和下面第一个角之和为 180 解答： 解：仔细观察图形，我们可以发现： AB=AZ，BC=ZV，B= Z， ABCAZV， 1+7=180， 同理可得： 2+6=180， 3+5=180， 4=45， 所以说图示的 7 个角的度数和为1+ 7+2+6+3+5+4=180+180+180+45=585 点评： 本题考查了全等三角形对应角相等的性质，求证全等三角形，找出对应角是解决本题的关键 5 （5 分）若 表示一个整数，则整数 x 可取值共有（ ） A 3 个 B 4 个 C 5 个 D 6 个 考点： 分式的值725152 分析： 由 x 是整数， 也表示一个整数，可知 x+1 为 4 的约数，即 x+1=1，2，4，从而得出结果 解答： 解： x 是整数， 也表示一个整数， x+1 为 4 的约数， 即 x+1=1，2 ，4， x=2，0，3， 1， 5，3 则整数 x 可取值共有 6 个 故选 D 点评： 能够根据已知条件分析出 x+1 为 4 的约数，是解决本题的关键 6 （5 分）2 55，3 44，5 33，6 22 这四个数中最小的数是（ ） A 255 B 344 C 533 D 622 考点： 有理数的乘方；有理数大小比较725152 分析： 先找出四个数的规律，它们化为相等的指数幂，即 255=（2 5） 11，3 44=（3 4） 11，5 33=（5 3） 11，6 22=（6 2） 11，然后比较出 256 23 45 3，最后得出答案即可 解答： 解：2 55=（2 5） 11，3 44=（3 4） 11，5 33=（5 3） 11，6 22=（6 2） 11， 25=22222=32， 34=3333=81， 53=555=125， 62=66=36， 25 623 45 3， 这四个数中 255 是最小的数 故选 A 点评： 本题考查了有理数的乘方，解题的关键是把四个数化为相同的指数幂，再比较大小 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 7 （5 分）有一列数，按照下列规律排列： 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，6，6，6，6，6，7，这列数的第 200 个数是 20 考点： 规律型：数字的变化类725152 专题： 规律型 分析： 从这组数可以得出规律，当数为 n 时，则共有 n 个 n，所以第 200 个数为 n，则 1+2+3+n12001+2+3+n，可以求出 n 解答： 解：根据规律，设第 200 个数为 n，则 1+2+3+n12001+2+3+ +n， 200 ， n=20 故答案为：20 点评： 通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力 8 （5 分）有一条高在三角形外的等腰三角形的一个外角等于 140，则这个等腰三角形的顶角为 100 考点： 等腰三角形的性质；三角形的角平分线、中线和高725152 专题： 计算题 分析： 先分情况讨论：若顶角的外角等于 140；若底角的外角等于 140，再结合等腰三角形的性质、三角 形内角和定理分别求各角，再根据有一条高在三角形外，可判断此三角形是钝角三角形，从而易求顶角 解答： 解：若顶角的外角等于 140，那么顶角等于 40，两个底角都等于 70； 若底角的外角等于 140，那么底角等于 40，顶角等于 100 此等腰三角形的有一条高在三角形外， 此等腰三角形是钝角三角形， 故排除，那么顶角等于 100 故答案是 100 点评： 本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，解题的关键是分情况讨论，再依据要求求值 9 （5 分）有一个正方体，在它的各个面上分别标上字母 A、B、C、D、E、F，甲、乙、丙三位同学从不同方向 去观察其正方体，观察结果如图所示问：F 的对面是 C 考点： 专题：正方体相对两个面上的文字725152 专题： 几何图形问题 分析： 从第 2 个图形和最后 1 个图形看，和 C 相邻的有 A、B、D、E，那么和 C 相对的就是 F 解答： 解：根据三个图形的字母，可推断出来，A 对面是 E；C 对面是 F；B 对面是 D 则 F 的对面是 C 故答案为：C 点评： 本题主要考查学生的空间想象能力和推理能力，也可动手制作一个正方体，根据题意在各个面上标上字母， 再确定对面上的字母，可以培养动手操作能力和空间想象能力 10 （5 分）用三种边长相等的正多边形铺地面，已选了正方形和正五边形两种，还应选正 二十 边形 考点： 平面镶嵌（密铺） 725152 专题： 几何图形问题 分析： 正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为 360因此用 360正方形 和正五边形内角度数和，即可求出应选的正多边形的内角度数，从而得出应选的正多边形 解答： 解： 正方形和正五边形内角分别为 90、108， 又 36090108=162， 还应选正二十边形 故答案为：二十 点评： 本题考查了平面镶嵌（密铺） 几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一 起恰好组成一个周角解决此类题，可以记住几个常用正多边形的内角 11 （5 分）将五边形剪去一个角后所得的多边形的内角和为 360或者 720或者 540 考点： 多边形内角与外角725152 分析： 一个五边形剪去一个角后，分三种情况：边数可能减少 1，边数可能增加 1， 边数可能不变；然 后分别求出每一种情况下的多边形的内角和 解答： 解：一个五边形剪去一个角后，分三种情况：边数可能减少 1，边数可能增加 1， 边数可能不变； 四边形的内角和为：360； 六边形的内角和为：（62）180=720； 五边形的内角和为：（52）180=540； 故答案为 360或者 720或者 540 点评： 此题主要考查了多边形内角和公式，解题的关键是：根据题意，讨论出剪去一个角后的各种情况 12 （5 分）设 a，b，c 为有理数，则由 构成的各种数值是 4、4、0 考点： 绝对值725152 专题： 计算题；分类讨论 分析： 此题要分类讨论 a，b，c 与 0 的关系，然后根据绝对值的性质进行求解； 解答： 解： a，b，c 为有理数， 若 a0，b 0，c0， =1+1+1+1=4； 若 a，b，c 中有两个负数，则 abc0， =（ 12）+1=0， 若 a，b，c 中有一个负数，则 abc0， =（ 21）+（1）=0， 若 a，b，c 中有三个负数，则 abc0， =（ 3）+（1）=4， 故答案为：4， 0 点评： 此题主要考查绝对值的性质，当 a0 时，|a|=a ；当 a0 时，|a|=a，解题的关键是如何根据已知条件，去掉 绝对值，还考查了分类讨论的思想，此题是一道好题 三、解答题（本大题共 4 小题，每小题 15 分，共 60 分）要求：写出推算过程 13 （15 分）对于有理数 x，y 定义新运算 x*y=ax+by+c其中 a，b，c 是常数，等式右边是通常的加法与乘法运 算已知 1*2=9， （ 3）*3=6，0*1=2，求（2）*5 的值 考点： 解三元一次方程组725152 专题： 新定义 分析： 理解清楚题意，运用三元一次方程组的知识，先解出 a，b，c 的值再求出（2）*5 的值 解答： 解：由题意得： ， 解得： 故此新运算为 x*y=2x+5y3 （ 2） *5=2（2）+5 53=18 点评： 解答此题要先根据题意列出三元一次方程组，求出此行运算的公式，再把所求的式子代入公式即可 14 （15 分）岳飞是我国古代宋朝的民族英雄，曾任通泰镇抚史、兼泰州知州、据说在泰州抗击金兵期间，有一次 曾向将领们讲了如下一个布阵图，如图 4 是一座城池，在城池的四周设了八个哨所，一共由 24 个卫士把守，按直 线算，每边都有 11 个人，后来由于军情发生变化，连续四次给哨所增添兵力，每次增加 4 人，但要求在增加人员 后，仍然保持每边 11 个人把守请问，兵力应如何调整？ 考点： 二元一次不定方程的应用725152 专题： 方程思想 分析： 如果设角上有 x 人，边上有 y 人，有：2x+y=11，这是一条直线上的 4x+4y=24，这是所有哨所的显然 x=5，y=1现在要添加 4 人，要求添加后每条直线上仍有 11 人，则有：2x+y=11 ，4x+4y=28，解得 x=4，y=3因此第一次增加兵力后，应调整为：4 人，3 人，4 人；3 人，城池，3 人；4 人，3 人，4 人同理可得第二次：3 人，5 人，3 人；5 人，城池，5 人；3 人，5 人，3 人第三次：2 人，7 人，2 人； 7 人，城池，7 人；2 人，7 人，2 人第四次：1 人，9 人，1 人；9 人，城池，9 人；1 人，9 人，1 人 解答： 解：兵力调整如图所示： 点评： 本题考查了二元一次不定方程的应用，找到等量关系每边都有 11 个人，结合四条边卫士的总人数的变化 规律列出方程组求解即可 15 （15 分）小明和哥哥在环形跑道上练习长跑他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔 25 秒钟相遇一 次现在，他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过 25 分钟哥哥追上了小明，并且比小明多跑了 20 圈，求： （1）哥哥速度是小明速度的多少倍？ （2）哥哥追上小明时，小明跑了多少圈？ 考点： 分式方程的应用；一元一次方程的应用725152 专题： 行程问题 分析