2016届歌风中学(江苏如皋办学)高三数学复习活动单专题 解析几何：第三讲 直线、圆的位置关系2016

歌风中学（如皋办学）高三数学复习活动单 专题 解析几何：第三讲 直线、圆的位置关系 活动一：基础检测 1(2010江西)直线 ykx3 与圆( x3) 2(y2) 24 相交于 M，N 两点，若 MN2 ，则 k 的取值范围是 _3 2圆 x2y 24x 0 在点 P(1， )处的切线方程为_3 3圆 C1：x 2 y22x2y 20 与圆 C2：x 2y 24x2y10 的公切线有_ 条 4过点(0,1)的直线与 x2y 24 相交于 A、B 两点，则 AB 的最小值为_ 5若 P(2， 1)为圆 C：( x1) 2y 225 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程是 _. 6、 （2015 届江苏南通市直中学高三 9 月调研）已知圆 ，直2:420xy 线 过点 P（3， 1） ，则当直线 被圆 C 截得的弦长最短时，直线 的方程为 l l l 7、 （苏州市 2015 届高三 2 月调研测试）已知圆 ，直线(1)()M 为直线 上一点，若圆 上存在两点 ，使得 ，则点:0,xyA,BC6A A 的横坐标的取值范围是 活动二：探究点一 直线与圆的位置关系 例 1 已知圆 C：x 2y 22x4y30. (1)若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等，求此切线的方程； (2)从圆 C 外一点 P(x1，y 1)向该圆引一条切线，切点为 M，O 为坐标原点，且有 PMPO ，求使得 PM 取得最小值时点 P 的坐标 变式迁移 1 从圆 C：(x1) 2( y1) 21 外一点 P(2,3)向该圆引切线，求切线的方程 及过两切点的直线方程 探究点二 圆的弦长、中点弦问题 例 2 已知点 P(0,5)及圆 C：x 2y 24x12y240. (1)若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 ，求 l 的方程；3 (2)求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程 2 变式迁移 2 已知圆 C：x 2y 26x8y210 和直线 kxy4k30. (1)证明：不论 k 取何值，直线和圆总有两个不同交点； (2)求当 k 取什么值时，直线被圆截得的弦最短，并求这条最短弦的长 探究点三 圆与圆的位置关系 例 3 已知圆 C1：x 2y 22 mx4y m 250，圆 C2：x 2 y22x2mym 2 30，m 为何值时， (1)圆 C1 与圆 C2 相外切；(2) 圆 C1 与圆 C2 内含 变式迁移 3 已知A：x 2y 22x2y20，B：x 2y 22ax2bya 210.当 a，b 变化时，若B 始终平分A 的周长，求： (1)B 的圆心 B 的轨迹方程； (2)B 的半径最小时圆的方程 探究点四 综合应用 例 4 (2011扬州调研)已知圆 C：x 2y 29，点 A(5,0)，直线 l：x 2y0. (1)求与圆 C 相切，且与直线 l 垂直的直线方程； (2)在直线 OA 上 (O 为坐标原点)，存在定点 B(不同于点 A)，满足：对于圆 C 上任一点 P， 都有 为一常数，试求所有满足条件的点 B 的坐标 PBPA 变式迁移 4 已知M：x 2( y2) 21，Q 是 x 轴上的动点， QA，QB 分别切M 于 A，B 两点 (1)若|AB| ，求|MQ|、Q 点的坐标以及直线 MQ 的方程； 423 (2)求证：直线 AB 恒过定点 3 活动三：自主检测 一、填空题(每小题 6 分，共 48 分) 1直线 l：y 1k(x1)和圆 x2y 22y0 的位置关系是_ 2直线 x ym0 与圆 x2y 22x20 相切，则实数 m_.3 3 （南京市、盐城市 2015 届高三第一次模拟）在平面直角坐标系 中，设直线xOy 与圆 交于 两点， 为坐标原点，若圆上一点 满足y2()r,ABC ，则 54OCAB 4若圆(x3) 2(y 5) 2r 2 上有且仅有两个点到直线 4x3y20 的距离为 1，则半 径 r 的取值范围是_ 5若圆 x2y 24 与圆 x2y 22ay60(a0)的公共弦的长为 2 ，则 a_.3 6已知点 A 是圆 C：x 2y 2ax4y50 上任意一点，A 点关于直线 x2y 10 的对称点也在圆 C 上，则实数 a_. 7设直线 3x4y 50 与圆 C1：x 2y 24 交于 A，B 两点，若圆 C2 的圆心在线段 AB 上，且圆 C2 与圆 C1 相切，切点在圆 C1 的劣弧 上，则圆 C2 的半径的最大值是AB _ 8(2010全国改编)已知圆 O 的半径为 1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B 为两 切点，那么 的最小值为_PA PB 二、解答题(共 42 分) 9已知圆 C：(x3) 2(y 4) 24，直线 l1 过定点 A(1,0) (1)若 l1 与圆相切，求 l1 的方程； (2)若 l1 与圆相交于 P，Q 两点，线段 PQ 的中点为 M，又 l1 与 l2：x2y20 的交点为 N，判断 AMAN 是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由 10、 （泰州市 2015 届高三第二次模拟考试）如图，某市有一条东西走向的公路 ，现欲经l 过公路 上的 处铺设一条南北走向的公路 在施工过程中发现在 处的正北 百米的lOmO1 处有一汉代古迹为了保护古迹，该市决定以 为圆心， 百米为半径设立一个圆形保AA1 护区为了连通公路 、 ，欲再新建一条公路 ，点 、 分别在公路 、 上，且l PQlm 要求 与圆 相切PQ （1）当 距 处 百米时，求 的长；O2 （2）当公路 长最短时，求 的长 Q l m P Q OA 4 11、 （通州高级中学等五校 2015 届高三 12 月第一次联考）已知 的三个顶点 ，ABC(1,0)A ， ，其外接圆为圆 (1,0)B(3,2)CH （）求圆 的方程；H （）若直线 过点 ，且被圆 截得的弦长为 2，求直线 的方程；l l （）对于线段 上的任意一点 ，若在以 为圆心的圆上都存在不同的两点 ，BPC,MN 使得点 是线段 的中点，求圆 的半径 的取值范围MNr 12、已知圆 O 的方程为 且与圆 O 相切。） ，过 点直 线 03(,12Alyx （1）求直线 的方程；1l （2）设圆 O 与 x 轴交与 P,Q 两点，M 是圆 O 上异于 P,Q 的任意一点，过点 A 且与 x 轴垂直 的直线为 ，直线 PM 交直线 于点 ，直线 QM 交直线 于点 。求证：以 为2l2lP2lQP 直径的圆 C 总过定点，并求出定点坐标。 5 第三讲 直线、圆的位置关系答案 基础检测 1. 2.x y20 3.2 4.2 34，0 3 3 5xy30 6、 2 7、1,5 例 1 解题导引 (1) 过点 P 作圆的切线有三种类型： 当 P 在圆外时，有 2 条切线； 当 P 在圆上时，有 1 条切线； 当 P 在圆内时，不存在 (2)利用待定系数法设圆的切线方程时，一定要注意直线方程的存在性，有时要进行恰当 分类 (3)切线长的求法： 过圆 C 外一点 P 作圆 C 的切线，切点为 M，半径为 R， 则 PM .PC2 R2 解 (1)将圆 C 配方得( x1) 2( y2) 22. 当直 线在两坐 标轴上的截距为零时，设直线方程为 ykx， 由 ，解得 k2 ，得 y(2 )x. |k 2|1 k2 2 6 6 当直 线在两坐 标轴上的截距不为零时， 设直线方程为 xy a0， 由 ， | 1 2 a|2 2 得|a 1|2，即 a1，或 a3. 直 线方程 为 xy 10，或 xy30. 综上，圆的切线方程为 y(2 )x，或 y(2 )x，6 6 或 xy10，或 xy 30. (2)由 POPM， 得 x y (x 11) 2(y 12) 22，21 21 整理得 2x14y 130. 即点 P 在直线 l：2x4y30 上 当 PM 取最小值时，即 OP 取得最小值，直线 OPl， 直 线 OP 的方程为 2xy0. 解方程组Error!得点 P 的坐标为 .( 310，35) 变式迁移 1 解 设圆切线方程为 y3k(x2)， 即 kxy32k 0， 1 ， |k 2 2k|k2 1 k ，另一条斜率不存在，方程为 x2. 34 切 线方程 为 x2 和 3x4y 60. 6 圆心 C 为(1,1)，k PC 2， 3 12 1 过 两切点的直线斜率为 ，又 x2 与圆交于(2,1) ， 12 过 切点的直 线为 x2y 4 0. 例 2 解题导引 (1) 有关圆的弦长的求法： 已知直线的斜率为 k，直线与圆 C 相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，点 C 到 l 的距离为 d， 圆的半径为 r. 方法一 代数法：弦长 AB |x2x 1|1 k2 ；1 k2 x1 x22 4x1x2 方法二 几何法：弦长 AB2 .r2 d2 (2)有关弦的中点问题： 圆心与弦的中点连线和已知直线垂直，利用 这条性质可确定某些等量关系 解 (1) 如图所示，AB 4 ，取 AB 的中点 D，连结 CD，则 CDAB，连结 AC、BC，3 则 AD2 ，AC4，3 在 RtACD 中，可得 CD2. 当直线 l 的斜率存在时，设所求直线的斜率为 k，则直线的方程为 y5kx ， 即 kxy50. 由点 C 到直线 AB 的距离公式，得 2， | 2k 6 5|k2 12 解得 k . 34 当 k 时，直线 l 的方程为 3x4y 200. 34 又直线 l 的斜率不存在时，也满足题意， 此时方程为 x0. 所求直线的方程为 3x4y 200 或 x0. (2)设过 P 点的圆 C 的弦的中点为 D(x，y)， 则 CDPD，即 0，CD PD (x2，y6)(x，y5)0， 化简得所求轨迹方程为 x2y 22x 11y300. 变式迁移 2 (1)证明 由 kxy4k30， 得(x4)ky30. 直 线 kxy4k30 过定点 P(4,3) 由 x2y 26x 8y210， 即(x3) 2(y 4)24， 又(43) 2(3 4) 224. 直 线和 圆总有两个不同的交点 (2)解 k PC 1. 3 44 3 7 可以证明与 PC 垂直的直线被 圆所截得的弦 AB 最短，因此过 P 点斜率为 1 的直线即为 所求，其方程为 y3x4，即 xy10.PC ， |3 4 1|2 2 AB2 2 .AC2 PC2 2 例 3 解题导引 圆和圆的位置关系，从交点个数也就是方程组解的个数来判断，有时 得不到确切的结论，通常还是从 圆心距 d 与两圆半径和、差的关系入手 解 对于圆 C1 与圆 C2 的方程，经配方后 C1：(xm) 2( y2) 29； C2：(x1) 2( ym) 24. (1)如果 C1 与 C2 外切， 则有 32.m 12 2 m2 (m1) 2(m2) 225. m23m100，解得 m5 或 m2. (2)如果 C1 与 C2 内含， 则有 32.m 12 m 22 (m1) 2(m2) 21，m23m20， 得2m 1， 当 m 5 或 m2 时，圆 C1 与圆 C2 外切； 当2m 1 时，圆 C1 与圆 C2 内含 变式迁移 3 解 (1)两圆方程相减得公共弦方程 2(a1)x2(b1)ya 210. 依题意，公共弦应为A 的直径， 将(1，1) 代入 得 a22a2b50. 设圆 B 的圆心为(x，y )，Error!， 其 轨迹方程 为 x22x 2y 50. (2)B 方程可化为( xa) 2(yb) 21b 2. 由得 b (a1) 242，b 24，b 215. 12 当 a1，b2 时，B 半径最小， B 方程为(x1) 2( y2) 25. 例 4 解 (1)设所求直线方程为 y2xb，即 2xy b0. 因为直线与圆相切， 所以 3，得 b3 . | b|22 12 5 所以所求直线方程为 y2x3 .5 (2)法一 假设存在这样的点 B(t,0) 当点 P 为圆 C 与 x 轴的左交点( 3,0)时， ； PBPA |t 3|2 当点 P 为圆 C 与 x 轴的右交点(3,0) 时， . PBPA |t 3|8 依题意， ，解得 t5( 舍去)或 t . |t 3|2 |t 3|8 95 下面证明点 B 对于圆 C 上任一点 P，都有 为一常数( 95，0) PBPA 设 P(x，y)，则 y29x 2， 所以 .从而 为常数 PB2PA2 (x 95)2 y2x 52 y2 x2 185x 9 x2 8125x2 10x 25 9 x2 18255x 1725x 17 925 PBPA 35 8 法二 假设存在这样的点 B(t,0)，使得 为常数 ，则 PB2 2PA2， PBPA 所以(x t)2y 2 2(x5) 2y 2，将 y29x 2 代入，得 x22xt t 29x 2 2(x210 x259x 2)， 即 2(52t)x 342t 290 对 x3,3恒成立， 所以Error!解得Error!或Error!(舍去) 故存在点 B 对于圆 C 上任一点 P，都有 为常数 . ( 95，0) PBPA 35 变式迁移 4 审题视点 第(1) 问利用平面几何的知识解决；第(2) 问设点 Q 的坐标，从而确 定点 A、B 的坐 标与 AB 的直线方程 (1)解 设直线 MQ 交 AB 于点 P，则|AP| ，又|AM |1，APMQ，AMAQ ，得 232 |MP| ， 12 89 13 又|MQ| ，|MQ|3. |MA|2|MP| 设 Q(x,0)，而点 M(0,2)，由 3，得 x ，则 Q 点的坐标为( ，0) 或x2 22 5 5 ( ，0) 5 从而直线 MQ 的方程为 2x y2 0 或 2x y2 0.5 5 5 5 (2)证明 设点 Q(q,0)，由几何性质，可知 A、B 两点在以 QM 为直径的圆上，此圆的方程 为 x(xq) y(y2)0，而线段 AB 是此圆与已知圆的公共弦，即为 qx2y30，所以 直线 AB 恒过定点 .( 0，32) 自主检测 1相交 2.3 或3 3 3、 4(4,6) 5.1 6.10 710 解析 圆 C1 的圆心 C1(0,0)到直线 3x4y50 的距离为 1，圆 C1 的半径 |0 0 5|32 42 为 2， 弧上的点到直 线 3x4y50 距离最大为 211，因此圆 C2 的半径最大为 1.AB 832 2 解析 设APB2，则APOBPO ， ( )2cos 2 cos 2PA PB PA 1tan2 (12sin 2) 2sin 232 3， 1 sin2sin2 1sin2 2 当且仅当 2sin 2，即 sin2 时取等号 1sin2 22 9解 (1) 若直线 l1 的斜率不存在，即直线是 x 1，符合题意 若直线 l1 斜率存在，设直线 l1 为 yk(x1)，即 kxy k0. 由题意知，圆心(3,4) 到已知直线 l1 的距离等于半径 2，即 2，解得 |3k 4 k|k2 1 9 k . 34 所求直线方程是 x1 或 3x4y30. (2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为 0，可设直线方程为 kxy k0. 由Error!得 N .( 2k 22k 1， 3k2k 1) 又直线 CM 与 l1 垂直，由Error! 得 M .( k2 4k 31 k2 ，4k2 2k1 k2) 所以 AMAN ( k2 4k 31 k2 1)2 (4k2 2k1 k2)2 (2k 22k 1 1)2 ( 3k2k 1)2 6 为定值，故 AMAN 是定值，且为 6. 2|2k 1|1 k2 1 k231 k2|2k 1| 10、解：以 为原点，直线 、 分别为 轴建立平面直角坐标系 Olm,xy 设 与圆 相切于点 ，连结 ，以 百米为单位长度，则圆PQABA1 的方程为 ，22(1)xy (1)由题意可设直线 的方程为 ，即 ，1xyq20xyq ，(2)q 与圆 相切， ，解得 ，PQA21q83q 故当 距 处 百米时， 的长为 百米 5 分OQ （2）设直线 的方程为 ，即 ， ，P1x