2017年山东省烟台市高考数学一模试卷（文科）含答案解析

2017 年山东省烟台市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求 1复数 的实部与虚部分别为（ ） A 7， 3 B 7， 3i C 7， 3 D 7， 3i 2设集合 A=x|9 0， B=x|2x N，则 A B 的元素的个数为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 3设 a 0， b R，则 “a b”是 “|a| b”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条 件 4如图所示的程序框图，若输出的结果为 21，则判断框中应填入（ ） A k 2？ B k 3？ C k 4？ D k 5？ 5某十字路口的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续的时间为 60 秒，小明放学回家途经该路口遇到红灯，则小明至少要等 15 秒才能出现绿灯的概率为（ ） A B C D 6设 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，且 f（ x） = ，则 g（ f（ 8） =（ ） A 1 B 2 C 1 D 2 7若直线 ax+y=0 截圆 x2+2x 6y+6=0 所得的弦长为 ，则实数 a=（ ） A 2 B C D 8函数 y=图象向左平移 （ 0）个单位后关于直线 对称，则 的最小值为（ ） A B C D 9函数 f（ x） =cx+d 的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ） A a 0， b 0， c 0， d 0 B a 0， b 0， c 0， d 0 C a 0， b 0， c 0， d 0 D a 0， b 0， c 0， d 0 10过双曲线 的左焦点 F（ c， 0）（ c 0）作圆的切线，切点为 E，延长 双曲线右支于点 P若 ，则双曲线的渐近线方程为（ ） A B C D 二、填空题：本大题共有 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分 11用 0， 1， 2， ， 299 给 300 名高三学生编号，并用系统抽样的方法从中抽取 15 名学生的数学成绩进行质量分析，若第一组抽取的学生的编号为 8，则第四组抽取的学生编号为 12已知向量 =（ 1， 3），向量 满足 | |= ，若 = 5，则 与 的夹角大小为 13如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为 14实数 x， y 满足 恒成立，则实数 m 的取值范围是 15若定义域为 R 的函数 y=f（ x），其图象是连续不断的，且存在常数 （ R），使得 f（ x+） +f（ x） =0 对任意实数 x 都成立，则称 f（ x）是一个 “伴随函数 ”给出下列四个关于 “伴随函数 ”的命题： f（ x） =0 是常数函数中唯一一个 “伴随函数 ”； f（ x） =x+1 是 “伴随函数 ”； f（ x） =2x 是 “伴随函数 ”； 当 0 时， “伴随函数 ”f（ x）在（ 0， ）内至少有一个零点所有真命题的序号为 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 75 分 16（ 12 分）已知函数 （ 1）求 f（ x）单调递减区间； （ 2）已知 a， b， c 分别为 角， A， B， C 的对边，是 f（ x）在（ 0， ）上的最大值，求 面积 17（ 12 分）如图，已知四边形 为平行四边形，点 E 在平面的射影恰好为点 A，以 直径的圆经过点 A， C， 中点为 F，中点为 P，且 B= （ ）求证：平面 平面 ）求几何体 体积 18（ 12 分）某单位为了解甲、乙两部门对本单位职工的服务情况，随机访问50 名职工已知 50 名职工 对甲、乙两部门的评分都在区间 50， 100内，根据50 名职工对甲部门的评分绘制的频率分布直方图，以及根据 50 名职工对乙部门评分中落在 50， 60）， 60， 70）内的所有数据绘制的茎叶图，如图所示 （ 1）求频率分布直方图中 x 的值； （ 2）若得分在 70 分及以上为满意，试比较甲、乙两部门服务情况的满意度； （ 3）在乙部门得分为 50， 60）， 60， 70）的样本数据中，任意抽取两个样本数据，求至少有一个样本数据落在 50， 60）内的概率 19（ 12 分）已知数列 前 n 项和为 是曲线 f（ x）=x 上的点数列 等比数列，且满足 b1=b2= （ 1）求数列 通项公式； （ 2）记 ，求数列 前 n 项和 20（ 13 分）已知椭圆 的右焦点 F 与抛物线 x 的焦点重合，椭圆 C 上的点到 F 的最大距离为 3 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）过椭圆 C 右焦点 F 的直线 l（与 x 轴不重合）与椭圆 C 交于 A、 B 两点，求 O 为坐标原点）面积 S 的最大值 21（ 14 分）已知函数 f（ x） =g（ x） = x2+2 （ 1）若曲线 f（ x） = x=1 处的切线与函数 g（ x） = x2+2 也相切，求实数 a 的值； （ 2）求函数 f（ x）在 上的最小值； （ 3）证明：对任意的 x （ 0， + ），都有 成立 2017 年山东省烟台市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求 1复数 的实部与虚部分别为（ ） A 7， 3 B 7， 3i C 7， 3 D 7， 3i 【考点】 复数的基本概念 【分析】 直接由复数代数形式的乘除运算化简复 数 z 得答案 【解答】 解： = ， z 的实部与虚部分别为 7， 3 故选： A 【点评】 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题 2设集合 A=x|9 0， B=x|2x N，则 A B 的元素的个数为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 【考点】 交集及其运算 【分析】 先分别求出集体合 A 和 B，由此能求出 A B 的元素的个数 【解答】 解： 集合 A=x|9 0=x| 3 x 3， B=x|2x N，所以集合 B 中 x 可取 0， 1， 2， A B=0， 1， 2， A B 的元素的个数为 6 个 故选： D 【点评】 本题考查交集中元素个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用 3设 a 0， b R，则 “a b”是 “|a| b”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 a 0， b R， |a| b，可得 a a b，即 a b反之不成立即可判断出结论 【解答】 解： a 0， b R， |a| b， a a b，即 a b 反之不成立，例如取 a= 6， b=2，满足 a 0， b R， “a b”，但是 |a| b， a 0， b R，则 “a b”是 “|a| b”的必要不充分条件 故选： B 【点评】 本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 4如图所示的程序框图，若输出的结果为 21，则判断框中应填入（ ） A k 2？ B k 3？ C k 4？ D k 5？ 【考点】 程序框图 【分析】 模拟程序的运行结果，分析不满足输出条件继续循环和满足输出条 件退出循环时，变量 k 值所要满足的要求，可得答案 【解答】 解：第一次循环的结果： S=1， k=2，不满足输出条件； 第二次循环的结果： S=6， k=3，不满足输出条件； 第三次循环的结果： S=12+9=21， k=4，输出 21，满足输出条件； 分析四个答案后，只有 B 满足上述要求； 故选： B 【点评】 本题考查的知识点是程序框图，其中模拟运行过程是处理此类问题常用的方法，但要注意过程中对变量值的管理，以免产生混乱 5某十字路口的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续的时间为 60 秒，小明放学回家途经该路口遇到红 灯，则小明至少要等 15 秒才能出现绿灯的概率为（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 求出一名行人前 30 秒来到该路口遇到红灯，即可求出至少需要等待 20秒才出现绿灯的概率 【解答】 解： 红灯持续时间为 60 秒，至少需要等待 15 秒才出现绿灯， 一名行人前 45 秒来到该路口遇到红灯， 至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 = 故选： C 【点评】 本题考查概率的计算，考查古典概型，考查学生的计算能力，比较基础 6设 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，且 f（ x） = ，则 g（ f（ 8） ） =（ ） A 1 B 2 C 1 D 2 【考点】 函数的值 【分析】 由已知得 g（ x） = 1 x）， f（ 8） =g（ 8） = 2，从而 g（ f（ 8） =g（ 2），由此能求出结果 【解答】 解： f（ x）是定义在 R 上的奇函数， 且 f（ x） = ， g（ x） = 1 x）， f（ 8） =g（ 8） = 2， g（ f（ 8） =g（ 2） = 1 故选： A 【点评】 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用 7若直线 ax+y=0 截圆 x2+2x 6y+6=0 所得的弦长为 ，则实数 a=（ ） A 2 B C D 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由圆心到直线的距离d= =1，求得 a 的值 【解答】 解：圆 x2+2x 6y+6=0，即 （ x 1） 2+（ y 3） 2=4， 故弦心距 d= =1 圆心到直线的距离 d= =1， a= ， 故选： D 【点评】 本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题 8函数 y=图象向左平移 （ 0）个单位后关于直线 对称，则 的最小值为（ ） A B C D 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 由条件根据诱导公式、 y=x+）的图象变换规律，可得结论 【解答】 解：函数 y=图象向左平移 个单位，可得 x+） =2x+2），图象此时关于直线 对称， 由 2x+2= ， k Z，即 2= ， 可得： = ，（ k Z） 0， 当 k=1 时，可得 最小值为 故选： B 【点评】 本题 主要考查函数 y=x+）的图象变换规律，比较基础 9函数 f（ x） =cx+d 的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ） A a 0， b 0， c 0， d 0 B a 0， b 0， c 0， d 0 C a 0， b 0， c 0， d 0 D a 0， b 0， c 0， d 0 【考点】 利用导数研究函数的单调性；函数的图象 【分析】 利用函数的图象经过的特殊点，判断 a， b， c， d 的范围即可 【解答】 解：由函数的图象可知 f（ 0） =d 0， 排除选项 A， B； 函数 f（ x） =cx+d 的导函数为： y=3bx+c， x （ ， （ ）函数是减函数， 可知 a 0，排除 D 故选： C 【点评】 本题考查函数的图象的判断，图象经过的特殊点，以及函数的导数的应用，是解题的关键 10过双曲线 的左焦点 F（ c， 0）（ c 0）作圆的切线，切点为 E，延长 双曲线右支于点 P若 ，则双曲线的渐近线方程为（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 判断出 E 为 中点，据双曲线的特点知原点 O 为两焦点的中点；利用中位线的性质， 求出 长度及判断出 直于 过勾股定理得到 a，c 的关系，再由 c2=a2+出 = ，问题得以解决 【解答】 解： ， = （ + ） E 为 中点，令右焦点为 F，则 O 为 中点， 则 2OE=a， E 为切点， 2a F+2a=3a 在 ， F2= 即 9a2+（ a2+ 3 = ， 渐近线方程为 y= x，即 x 2y=0， 故选： C 【点评】 本小题主要考查双曲线的简单性质、圆的方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，在圆锥曲线中，求离心率关键就是求三参数 a， b， c 的关系，属于中档题 二、填空题：本大题共有 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分 11用 0， 1， 2， ， 299 给 300 名高三学生编号，并用系统抽样的方法从中抽取 15 名学生的数学成绩进行质量分析，若第一组抽取的学生的编号为 8，则第四组抽取的学生编号为 68 【考点】 系统抽样方法 【分析】 根据已知计算出组距，可得答案 【解答】 解：因为是 从 300 名高三学生中抽取 15 个样本， 组距是 20， 第一组抽取的学生的编号为 8， 第四组抽取的学生编号为 8+60=68 故答案为： 68 【点评】 本题考查系统抽样的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意熟练掌握系统抽样的概念 12已知向量 =（ 1， 3），向量 满足 | |= ，若 = 5，则 与 的夹角大小为 120 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据平面向量数量积的定义，写出数量积公式，即可求出 与 的夹角大小 【解答】 解：向量 =（ 1， 3），向量 满足 | |= ， | |= = ， = 5， | | | | ， = ， = 5， ， = ， 与 的夹角大小为 120 故答案为： 120 【点评】 本题考查了平面向量数量积的定义与应用问题，是基础题目 13如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为 33 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由几何体的三视图得出该几何体是半球体与圆锥体的组合体， 结合图中数据求出组合体的表面积即可 【解答】 解：由几何体的三视图可得： 该几何体是半球体与 圆锥体的组合体， 且圆锥底面与半球圆面重合， 该组合体的表面积为： S=S 半球面 +S 圆锥侧面 =2 32+ 3 5=33 故答案为： 33 【点评】 本题考查了几何体三视图的应用问题，是基础题目 14实数 x， y 满足 恒成立，则实数 m 的取值范围是 （ ， 4 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，令 z=x 2y，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得最小值，则答案可求 【解答】 解：由约束条件作出可行域如图， 联立 ，解得 A（ 2， 3）， 令 z=x 2y，化为 y= ， 由图可知，当直线 y= 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大， z 有最小值为 4 满足 x 2y m 的实数 m 的取值范围为：（ ， 4 故答案为：（ ， 4 【点评】 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 15若定义域为 R 的函数 y=f（ x），其图象是连续不断的，且存在常数 （ R），使得 f（ x+） +f（ x） =0 对任意实数 x 都成立，则称 f（ x）是一个 “伴随函数 ”给出下列四个关于 “伴随函数 ”的命题： f（ x） =0 是常数函数中唯一一个 “伴随函数 ”； f（ x） =x+1 是 “伴随函数 ”； f（ x） =2x 是 “伴随函数 ”； 当 0 时， “伴随函数 ”f（ x）在（ 0， ）内至少有一个零点所有真命题的序号为 【考点】 抽象函数及其应用 【分析】 假设函数为 伴随函数，根据定义得出 f（ x+） +f（ x） =0 恒成立，从而得出 的方程，根据方程是否有解得出假设是否成立 【解答】 解：对于 ，假设常数函数 f（ x） =k 为 伴随函数 ”，则 k+k=0， （ 1+） k=0， 当 = 1 或 k=0 任意一个常数函 数都是 伴随函数 ，其中 = 1 故 错误； 对于 ，假设 f（ x） =x+1 是 “伴随函数 ”，则 x+1+（ x+1） =0 恒成立， 即（ 1+） x+2+1=0 恒成立， ，无解，故 f（ x） =x+1 不是 “伴随函数 ”， 故 错误； 对于 ，假设 f（ x） =2x 是 “伴随函数 ”，则 2x+2x=0 恒成立， 即（ 2+） 2x=0 恒成立， 2+=0， 做出 y=2x 和 y= x 的函数图象如图： 由图象可知方程 2+=0有解，即 f（ x） =x+1 是 “伴随函数 ”， 故 正确； 对于 ， f（ x）是 “伴随函数 ”， f（ x+） +f（ x） =0 恒成立， f（ ） +f（ 0） =0， f（ 0） f（ ） +0） =0，即 f（ 0） f（ ） = 2f（ 0） 0 若 f（ 0） 0，则 f（ 0） f（ ） 0， f（ x）在（ 0， ）上至少存在一个零点， 若 f（ 0） =0，则 f（ 0） f（ ） =0，则 f（ x）在（ 0， ）上可能存在零点，也可能不存在零点 故 错误 故答案为 【点评】 本题考查了新定义的理解，函数恒成立问题的研究，方程根的存在性判断，属于中档题 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 75 分 16（ 12 分）（ 2017烟台一模）已知函数 （ 1）求 f（ x）单调递减区间； （ 2）已知 a， b， c 分别为 角， A， B， C 的对边，是 f（ x）在（ 0， ）上的最大值，求 面积 【考点】 三角形中的几何计算；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 （ 1）由三角函数公式化简可得 f（ x） =2x ），解不等式 2 2x 2可可得单调减区间； （ 2）由题意可得 A= ，由余弦定理可得 b=2，代值计算可 【解答】 解：（ 1）化简可得 f（ x） = = （ 1 + = 2x ）， 由 2 2x 2可得 x ， f（ x）的单调减区间为 ， （ k Z）； （ 2）由（ 1）知 f（ x） =2x ）， 当 x （ 0， ）时， 2x ， 结合正弦函数的图象，当 2x = ，即 x= 时， f（ x）取得最大值， f（ A）是 f（ x）在（ 0， ）上的最大值， A= ， 在 ，由余弦定理可得 a2=b2+2 即 12=6 2 4b ， 解得 b=2， 面积 S= 2 42 【点评】 本题考查解三角形，涉及两角和与差的三角函数公式余弦定理以及三角形的面积，属中档题 17（ 12 分）（ 2017烟台一模）如图，已知四边形 为平行四边形，点 E 在平面 的射影恰好为点 A，以 直径的圆经过点 A， C，中点为 F， 中点为 P，且 B= （ ）求证：平面 平面 ）求几何体 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ ）由点 E 在平面 的射影恰为 A，可得 平面 一步得到平面 平面 以 直径的圆经过 A， C， B，可得 正方形，再由线面垂直的性质可得 平面 而得到 合 E=得 ，从而得到 ，有 由线面垂直的判定可得 平面 平面 平面 （ ）解：连接 （ ）知， 平面 平面 到 平面 后利用等积法求几何体 【解答】 （ ）证明： 点 E 在平面 的射影恰为 A， 平面 又 面 平面 平面 又以 直径的圆经过 A， C， B， 正方形， 又平面 平面 B， 平面 面 又 E= ， 又 中点为 F， ， 又 面 面 ， 平面 又 面 平面 平面 （ ）解：连接 （ ）知， 平面 ， 平面 平面 = 几何体 体积为 4 【点评】 本题主要考查点、线、面的位置关系以及体积的求法，考查运算求解能力及空间想象能力，是中档题 18（ 12 分 ）（ 2017烟台一模）某单位为了解甲、乙两部门对本单位职工的服务情况，随机访问 50 名职工已知 50 名职工对甲、乙两部门的评分都在区间 50，100内，根据 50 名职工对甲部门的评分绘制的频率分布直方图，以及根据 50名职工对乙部门评分中落在 50， 60）， 60， 70）内的所有数据绘制的茎叶图，如图所示 （ 1）求频率分布直方图中 x 的值； （ 2）若得分在 70 分及以上为满意，试比较甲、乙两部门服务情况的满意度； （ 3）在乙部门得分为 50， 60）， 60， 70）的样本数据中，任意抽取两个样本数据，求至少有一个 样本数据落在 50， 60）内的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图 【分析】 （ 1）根据概率之和是 1，求出 x 的值即可； （ 2）分别求出甲、乙两部门服务情况的满意度，比较即可； （ 3）求出随机抽取两个样本数据的所有基本事件，再求出至少有 1 个样本数据罗在 50， 60）内的基本事件，求出满足条件的概率即可 【解答】 解：（ 1）由题意得：可知 10x+10+10+10+10=1， 解得： x= （ 2）甲部门服务情况的满意度为 ： 10+10+10= 乙部门服务情况的满意度为： 1 = 乙部门服务情况的满意度较高； （ 3）由题意，设乙部门得分为 50， 60）， 60， 70）的 6 个样本数据从小到大依次为： 则随机抽取两个样本数据的所有基本事件有： 共 15 个； 其中 “至少有 1 个样本数据落在 50， 60）内 ”包含： 9 个基本事件， 至少有 1 个样本数据罗在 50， 60）内的概率为 p= = 【点评】 本题考查了频率分别直方图，考查求概率问题，是一道中档题 19（ 12 分）（ 2017烟台一模）已知数列 前 n 项和为 点是曲线 f（ x） =x 上的点数列 等比数列，且满足b1=b2= （ 1）求数列 通项公式； （ 2）记 ，求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）由已知得到数列 前 n 项和，再由 n 2 时， n 1 求得数列通项公式，验证首项后得答案；再由 b1=b2=出数列 首项和公比，进一步得到数列 通项公式； （ 2）把数列 通项公式代入 ，利用数列的分组求和求得数列 前 n 项和 【解答】 解：（ 1）由已知， 当 n 2 时， =2n+1 当 n=1 时， 适合上式 n+1； 由于 b1=， b2=， 等比数列 公比为 3， ； （ 2） ， 当 n 为偶数时， （ 3+5） +（ 7+9） + （ 2n 1） +（ 2n+1） +（ 3+32+ +3n） ； 当 n 为奇数时， n 1 为偶数， 综上所述， 【点评】 本题考查数列递推式，考查了数列的分组求和，属中档题 20（ 13 分）（ 2017烟台一模）已知椭圆 的右焦点 x 的焦点重合，椭 圆 C 上的点到 F 的最大距离为 3 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）过椭圆 C 右焦点 F 的直线 l（与 x 轴不重合）与椭圆 C 交于 A、 B 两点，求 O 为坐标原点）面积 S 的最大值 【考点】 直线与椭圆的位置关系 【分析】 （ 1）由抛物线的焦点坐标，求得 c，由 a+c=3，则 a=2， b2=，即可求得椭圆的标准方程； （ 2）设直线 l 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式及函数的单调性即可求得 积 S 的最大值 【解答】 解：（ 1）由抛物线线上， x 焦点坐标为（ 1， 0），则 c=1， 由椭圆 C 上的点 到 F 的最大距离为 a+c=3，则 a=2， b2=， 椭圆的标准方程为： ； （ 2）（ 2）设 A（ B（ 直线 l 的方程为： x=， ，消 x，整理得：（ 3） 9=0， y1+ ， ， S 1 | 令 =t（ t 1）， S = = 则 f（ t） =t+ ，（ t 1）， f（ t） =1 = ， f（ t）在 1， + ）单调递增，当 t=1 时， f（ t）取最小值，最小值为 S （ t 1），的最大值为 ， S 最大值为 【点评】 本题主要考查抛物线的应