《随机过程》第4章离散部分习题及参考答案

湖南大学本科课程 随机过程 第 4章习题及参考答案 主讲教师：何松华 教授 30 设 X(n)为均值为 0、方差为 2的离散白噪声，通过一个单位脉冲响应为 h(n)的线性时不变离散时间线性系统， Y(n)为其输出，试证： 2 ( ) ( ) ( 0 )E X n Y n h ， 2 2 20() 证： 根据离散白噪声性质， 22 0( ) ( ) ( ) ( )00m E X n m X n 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )mY n X n h n X n m h m 002200 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) n Y n E X n X n m h m E X n X n m h mR m h m m h m h 121 2 1 2221 1 2 20021 2 1 2 2 1 2 10 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m m n E X n m h m X n m h n m X n m h m h m m m h m h m (对于求和区间内的每个 m2=得21( ) 0) 12 2 21100( ) ( ) ( )m h m h n(求和变量置换 ) 31均值为 0、方差为 2的离散白噪声 X(n)通过单位脉冲响应分别为 h1(n)=n)以及h2(n)=n)的 级联 系统 (|a|0)有关，即系统的输出只与当前时刻以及过去时刻的输入有关，则有： 212 ( ) ( ) ( 1 ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) n V n E a X n a X n V n V n E V n V n ( ( 1)、 ( 2)与 V(n)无关 ) 换成另外一种写法， 根据12( ) ( ) ( 1 ) ( 2 )V n X n a X n a X n 得到 212 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 2 ) n V n E X n X n a X n a X n 即： 212( 0 ) (1 ) ( 2 )X X X VR a R a R (1) 差分方程两边分别乘 X( 取数学期望，并利用 V(n)与 X(不相关性 以及相关函数的偶函数特性 得到： 12(1 ) ( 0 ) (1 ) 0X X XR a R a R (2) 同理，差分方程两边分别乘 X( 取数学期望 12( 2 ) (1 ) ( 0 ) 0X X XR a R a R (3) (1)(2)(3)式联立，即得到二阶 型的 程 (三个方程可以求解三个未知数 2V,a1,212( 0 ) (1 ) ( 2 ) 1(1 ) ( 0 ) (1 ) 0( 2 ) (1 ) ( 0 ) 0X X X R R a (2)程 可以写成如下的等效形式 21212211 ( 0 )1 0 ( 1 ) 01 ( 2 ) 0a Ra a Ra a R 代入 a1,2V的具体数值，得到 1( 0 ) 1 1 0 . 5 0 . 5 1 . 2(1 ) 1 1 . 5 0 0 0 . 8( 2 ) 0 . 5 1 1 0 0 . 2 (3) 当 m2 时，差分方程两边分别乘 X( 取数学期望 ,可得： ( ) ( 1 ) 0 . 5 ( 2 ) 0X X XR m R m R m 上述差分方程的特征方程： 121 0 ， 两个根为 (共轭复根，模为 12，相角为4)， 根据差分方程理论， 则相关函数的通解为： 1( ) c o s ( ) s i n ( ) ( 2 )442m A m B m m p 代入 ( 3 ) ( 2 ) 0 . 5 ( 1 ) 0 . 2X X R 、 ( 4 ) ( 3 ) 0 . 5 ( 2 ) 0 . 3X X R ，求得： ， 于是 1( ) 1 . 2 c o s ( ) + 0 . 4 s i n ( ) ( 2 )442m m m m显然 )=)=)= 满足 上式；考虑到 相关函数的实、偶函数特性以及 ， 574( ) 0 ， 考虑到相关函数的偶函数特性，得到： |2 5 7 4( ) ( ) 0 . 9 ( - )9 1 7 1 m m m 方法 2：当 m1 时，则 X( V(n),V(关，差分方程两边同乘 X(取数学期望，得到 ( ) 0 . 9 ( 1 ) 0 ( 1 )m R m m 该差分方程的解为 ： 1( ) 0 . 9 ( 1 )m A m 其中 2)虑到 111 0 . 2 1 0 . 2 0 . 2 1 0 . 2() 1 0 . 9 1 0 . 9 0 . 9 1 0 . 9Xz z z z z z z 根据逆 Z 变换关系及留数定理 111( ) ( ) R e s ( ) 2 XR m z G z d z z G 0 . 2 1 0 . 2( 2 ) R e s 0 . 9 1 0 . 9(单位圆内 只 有 1 个极点 z=( 0 . 9 0 . 2 ) ( 1 0 . 2 0 . 9 ) 5 7 40 . 9 0 . 91 0 . 9 0 . 9 1 9 0 21574 0 . 9 0 . 9190 A ， 574171A 考虑到 0 . 2 1 0 . 2 ( 0 . 9 0 . 2 ) (1 0 . 2 0 . 9 ) 5 7 4 5 7 4(1 ) R e s 0 . 90 . 9 1 0 . 9 1 0 . 9 0 . 9 1 9 0 1 7 1 10 . 2 1 0 . 2( 0 ) R e s 0 . 9 1 0 . 9X (单位圆内有 2 个极点 z=0.9,z=0) ( 0 . 9 0 . 2 ) ( 1 0 . 2 0 . 9 ) 1 0 0 . 2 1 0 . 2 0 5 7 4 21 0 . 9 0 . 9 0 . 9 0 0 . 9 1 0 . 9 0 1 7 1 9 综合 得到 |2 5 7 4( ) ( ) 0 . 9 ( - )9 1 7 1 m m m 方法 3：系统的传递函数为 111 0 . 2 0 . 7( ) 11 0 . 9 1 0 . 9 取 逆 Z 变换得到系统的单位脉冲响应为 1( ) ( ) 0 . 7 0 . 9 ( 1 )nh n n u n 根据离散时间随机过程 通过线性系统理论 1212121 2 1 200111 2 1 1 2 200( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 . 7 0 . 9 ( 1 ) ( ) 0 . 7 0 . 9 ( 1 ) m R m m m h m h mm m m m u m m u m 先考虑 m0 的情况 ， 脉 冲点21m m m的 出现条件：1111 1 1 1( ) ( ) 0 . 7 0 . 9 ( 1 ) ( ) 0 . 7 0 . 9 ( 1 ) m m mX m m u m m m u m m 11111 2110212 2 221( 0 ) ( ) 0 . 7 0 . 9 ( 1 ) 0 . 9 6 81 0 . 7 0 . 9 1 ( 0 . 7 / 0 . 9 )1 0 . 9 1 9m u m 对于 m0，有 1111111111112 ( 1 )122( ) 0 . 7 0 . 9 ( ) 0 . 7 0 . 9 ( 1 ) 0 . 7 0 . 9 0 . 7 0 . 9 0 . 7 0 . 90 . 9 5 7 40 . 7 0 . 9 ( 0 . 7 / 0 . 9 ) 0 . 9 0 . 91 0 . 9 1 7 1m m m m mR m m m u m m 考虑到 06 8 2 5 7 4( 0 ) 0 . 91 9 9 1 7 1 以及相关函数的偶函数特性，得到 |2 5 7 4( ) ( ) 0 . 9 ( - )9 1 7 1 m m m 方法 4： 根据推广的 程求解 ( ) 0 . 9 ( 1 ) ( ) 0 . 2 ( 1 )X n X n V n V n 根据 V(n)的 白色噪声特性、系统的因果特性以及输入输出的联合平稳特性，得到： 2 ( ) ( ) ( ) 0 . 2 ( 1 ) 0 . 9 ( 1 ) ( ) ( ) 1E X n V n E V n V n X n V n E V n 22 ( ) ( 1 ) ( ) 0 . 2 ( 1 ) 0 . 9 ( 1 ) ( 1 ) 0 . 2 ( 1 ) 0 . 9 ( 1 ) ( 1 ) 0 . 2 ( ) 0 . 9 ( ) ( ) 0 . 2 0 . 9 0 . 7E X n V n E V n V n X n V n E X n V n E X n V n 差分方程两边分别同乘 X(n)或 X( 取数学期望 并利用上述相关特性 ，得到一阶情况下的推广的 程为： ( 0 ) 0 . 9 ( 1 ) ( ) ( ) 0 . 2 ( ) ( 1 ) 1 0 . 2 0 . 7 0 . 8 6 E X n V n E X n V n ( 1 ) 0 . 9 ( 0 ) ( 1 ) ( ) 0 . 2 ( 1 ) ( 1 ) 0 0 . 2 1 0 . 2 E X n V n E X n V n 以上两式联立求得： 68(0)19、 574(1)190。 对于 m1，差分方程两边同乘 X(取数学期望得到 ( ) 0 . 9 ( 1 ) ( ) ( ) 0 . 2 ( ) ( 1 ) 0 0 . 2 0 0m R m E X n m V n E X n m V n (