《概率论》数学2章课后习题详解

概率论第 4章习题参考解答 1. 若每次射击中靶的概率为 求射击 10炮 , 命中 3炮的概率 , 至少命中 3炮的概率 , 最可能命中几炮 . 解 : 设 为射击 10 炮命中的炮数 , 则 B(10, 命中 3炮的概率为 73310 少命中 3炮的概率 , 为 1减去命中不到 3炮的概率 , 为 201010 13 np+p=10 因此最可能命中 7炮 . 2. 在一定条件 下生产某种产品的废品率为 求生产 10 件产品中废品数不超过 2个的概率 . 解 : 设 为 10件产品中的废品数 , 则 B(10, 则废品数不超过 2个的概率为 201010 . 某车间有 20部同型号机床 , 每部机床开动的概率为 若假定各机床是否开动彼此独立 , 每部机床开动时所消耗的电能为 15个单位 , 求这个车间消耗电能不少于 270个单位的概率 . 解 : 设每时刻机床开动的数目为 , 则 B(20, 假设这个车间消耗的电能 为 个单位 , 则 =15 , 因此 8152702701527020182020 4. 从一批废品率为 重复抽取 20个进行检查 , 求这 20个产品中废品率不大于 解 : 设这 20个产品中的废品数为 , 则 B(20, 假设这 20个产品中的废品率为 , 则 = /20. 因此 302020 15.0 =. 生产某种产品的废品率为 抽取 20件产品 , 初步检查已发现有 2件废品 , 问这 20件中 , 废品不少于 3件的概率 . 解 : 设 为这 20件产品中的废品数 , 则 B(20, 又通过检查已经知道 定不少于 2件的条件 , 则要求的是条件概率 2 232|3 32 , 因此 223 因此 121212232|31920182220102022022022022036. 抛掷 4 颗骰子 , 为出现 1 点的骰子数目 , 求 的概率分布 , 分布函数 , 以及出现 1点的骰子数目的最可能值 . 解 : 因掷一次骰子出现一点的概率为 1/6, 则 B(4,1/6), 因此有 4140656100)(),4,3,2,1,0(65614444者算出具体的值如下所示： 0 1 2 3 4 P , 或者 np+p=(4/6)+1/6=5/6小于 1且不为整数 , 因此最可能值为 5/6=0. 7. 事件 进行 19次独立试验 , 求 (1)出现次数的平均值和标准差 ; (2)最可能出现的次 数 . 解 : 设 19次试验中事件 , 则 B(19, 因此 (1) 的数学期望为 9差为 D=19准差为 D (2)因 np+p=为整数 , 因此最可能值为 5和 6. 8. 已知随机变量 服从二项分布 , 12, 8, 求 p和 n. 解 : 由 2 (1) 和 8 (2) 由 (1)得 n=12/p, 代入到 (2)得 12(18, 解出 p=(1212=1/3=回到 (1)式得 n=12/p=123=36 9. 某柜台上有 4 个售货员 , 并预备了两个台秤 , 若每个售货员在一小时内平均有 15 分钟时间使用台秤 , 求一天 10小时内 , 平均有多少时间台秤不够用 . 解 : 每个时刻构成一 n=4 的贝努里试验 , 且 p=15/60=因此 , 设 为每个时刻要用秤的售货员数 , 则 B(4, 当 2时 , 台秤不够用 . 因此每时刻台秤不够用的概率为 4334 ( 此 10个小时内平均有 10= 10. 已知试验的成功率为 p, 进行 4重贝努里试验 , 计算在没有全部失败的情况下 , 试验成功不止一次的概率 . 解 : 设 为 4 次试验中的成功数 , 则 B(4,p), 事件 没有全部失败 即事件 0, 而事件 试验成功不止一次 即事件 1, 因此要求的是条件概率 P 1| 0, 又因事件 1被事件 0包含 , 因此这两个事件的交仍然是 1, 因此 43414101101010|1其中 q=11. 服从参数为 2, 已知 P( 1)=5/9, 那么成功率为 重贝努里试验中至少有一次成功的概率是多少 ? 解 : 因 B(2,p), 则必有 9/5)1(1)0(1)1( 2 , 解得 3/13/213/219/49/51)1( 2则假设 为成功率为 1/3的 4重贝努里试验的成功次数 , B(4,1/3), 则 (1)0(1)1( 44 12. 一批产品 20个中有 5个废品 , 任意抽取 4个 , 求废品数不多于 2个的概率 解 : 设 为抽取 4个中的废品数 , 则 服从超几何分布 , 且有 20 42041552 3. 如果产品是大批的 , 从中抽取的数目不大时 , 则废品数的分布可以近似用二项分布公式计算 . 试将下例用两个公式计算 , 并比较其结果 . 产品的废品率为 从 1000 个产品中任意抽取 3个 , 求废品数为 1的概率 . 解 : 设任抽 3个中的废品数为 , 则 服从超几何分布 , 废品数为 000=100 31000290011001 如果用二项分布近似计算 , n=3, p=B(3, 213 似误差为 是非常准确的 . 14. 从一副朴克牌 (52张 )中发出 5张 , 求其中黑桃张数的概率分布 . 解 : 设 为发出的 5张中黑桃的张数 , 则 服从超几何分布 , 则 )5,4,3,2,1,0(5525 135213 则按上式计算出概率分布如下表所示 : 0 1 2 3 4 5 P 5. 从大批发芽率为 任取 10粒 , 求发芽粒数不小于 8粒的概率 . 解 : 设 为 10粒种子中发芽的粒数 , 则 服从超几何分布 , 但可以用二项分布近似 , 其中 p=n=10, 则 1081010 =6. 一批产品的废品率为 用普哇松分布公式求 800 件产品中废品为 2 件的概率 , 以及不超过 2件的概率 . 解 : 设 为 800件产品中的废品数 , 则 服从超几何分布 , 可以用二项分布近似 , 则 B(800, 而因为试验次数很大废品率则很小 , 可以用普阿松分布近似 , 参数为 =00 5 2 1 4 3 17. 某种产品表面上的疵点数服从普哇松分布 , 平均一件上有 疵点 , 若规定疵点数不超过 1个为一等品 , 价值 10元 , 疵点数大于 1不多于 4为二等品 , 价值 8元 , 4个以上为废品 , 求产品为废品的概率以及产品的平均价值 . 解 : 设 为产品表面上的疵点数 , 则 服从普哇松分布 , =设 为产品的价值 , 是 的函数 . 则产品为废品的概率为 0 0 1 14 ii 10ii 18ii 产品的平均价值为 10P=10+8P=8=10 ) 18. 一个合订本共 100 页 , 平均每页上有两个印刷错误 , 假定每页上印刷错误的数目服从普哇松分布 , 计算该合订本中各页的印刷错误都不超过 4个 的概率 . 解 : 设 为每页上的印刷错误数目 , 则 服从普哇松分布 , =2, 则 1页印刷错误都不超过 4个的概率为 402!24ii 100页上的印刷错误都不超过 4个的概率为 1004P 9. 某型号电子管的“寿命” 服从指数分布 , 如果它的平均寿命 1000小时 , 写出 的概率密度 , 并计算 P(1000600|500), 因此 9 0 0 0 6 0 05 0 0|6 0 0 22. 若 服从具有 2 证明 的概率密度为 00022)(2121 2 称此分为为具有 证 : 设 , 则因 的概率密度函数为 000221)(2122 的分布函数为 )0()()()()()( 22 对两边求导得 )0(22222)(2)( 2121222222 23. N(0,1), 求 P 0, P|3, P1)= P(|2). 解 : 因为 )1,0(210 N(212102|10|0 . 0 6 6 8 13()13100000若上题中已知 P|c=Pd=分别求 c和 d. 解 : 因为 )1,0(210 N, 则有 (222 10|10| 0 解得 (0 c, 查表得 ,c得 c=由 10(2 102 10 0 知 ,0210 10(1)2 10( 00 10(0 d, 查表得 d, 解得 7310 d 27. 若 N(,2), 对于 P+或 或 分别查表找出相应的 解 : 先求 P+ 因 )1,0( N , 因此 2 0 即 0 k, 查表得 k=理 , 由 97 0 k, 查表得 k= 99 0 k, 查表得 k=8. 某批产品长度按 N(50, 布 , 求产品长度在 长度小于 解 : 设 为产品长度 , 则 N(50, 且有 )1,0(0 N, 则 9 5 72 (2002 )000 29. iN(0,1)(i=1,2,3), 并且 1,2,3 相互独立 , 3131i i , 312)(i i , 求),c o v (,),c o v ( 1 E 解 : 此题要用到 , 两个独立的服从正态分布的随机变量相加后得到的随机变量仍然服从正态分布 . 因此 , 因为 3131,0 31 i , 则 )31,0( N 313131)()c 2131111 c o v(2)2()( 22222 因此 2323)()( 312312 i ii 且有 03131)(),c 2 与 而因为它们服从正态分布 , 因此也就是 与 则 与 2)( 则 与 中的加和中的每一项相互