有题目——多自由度振动-拉格朗日方程

多自由度系统振动 姓 名 : 何江波 学 院 : 机械工程学院 邮 箱： 445875183 * 教学内容 拉格朗日方程 多自由系统的无阻尼自由振动 2 拉格朗日方程 3 m1 m2 k3k1 k2F1(t) F2(t) m3 k4 k5 k6 F3(t) x 对于如图所示的三质 量系统，有 6个弹簧， 三个外界激励，求系 统的动力学方程。 图示机构在铅垂面内运动，均质杆 AB 用光滑铰链与滑块连接。求系统动力 学方程。 AB 2L 拉格朗日方程 4 单自由度系统受迫振动的动力方程： m k c x 0m 对于多自由度系统，能否从能量入手 建立动力方程？ 动能： T， 势能： V 拉格朗日方程 5 1736年 1月 25日生于意大利西北部的都灵 , 1813年 4月 10日卒于巴黎。 19岁就在都灵的皇家炮兵学校当 数学教授。 他用纯分析的方法发展了欧拉所开创的 变分法， 为变分法奠定了理论基础。 他的论著使 他成为当时欧洲公认的第一流数学家。 1766他应邀去柏林，居住达 20年之久 .在此期间，他完成了 分析力学 (1788 出版 )一书， 这是牛顿之后的一部重要的经典力学著作。 书中运用变分原理和分 析的方法，建立起完整和谐的力学体系，使力学分析化了。他在序言中宣称：力 学已经成为分析的一个分支。 拉格朗日方程 先看一个例子：图示双摆，质量 m1， m2在平面摆动。 因此，只有两个坐标独立。 广义坐标： L1 L2 x y m1 m2 可以取四个直角坐标 来描述系统的运动。 但这四个直角坐标不独立，有： 能完备的描述系统运动的一组独立的坐标叫广义坐标。 本例中，可选 作为广义坐标； 也可选 作为广义坐标。 6 拉格朗日方程 7 拉格朗日方程（ Lagrange 方程 ） : 应用 Lagrange方程建立系统动力学方程的基本步骤： 1、确定系统的广义坐标； 2、用广义速度和广义坐标给出系统的动能和势 能； 3、给出系统的拉格朗日函数； 4、确定系统的广义力； 5、拉格朗日 函数、广义力带入 Lagrange方程 广义坐标 : ；拉格朗日函数 : L T-V； 动能 : ； 势能 (包括重力势能和弹性势能 ): ； 广义力： 拉格朗日方程 8 单自由度系统受迫振动的动力方程： k c x m 应用 Lagrange方程建立系统动力学方程的基本步骤： 1、广义坐标 x 2、动能，势能： 3、拉格朗日函数： 4、系统的广义力： 5、拉格朗日函数、广义力带入 Lagrange方程： 拉格朗日方程 9 x图示机构在铅垂面内运动，均质杆 AB用光 滑铰链与滑块连接。求系统动力学方程。 AB 2L 1、选定广义坐标 x， 质量块速度为： 均质杆转动 速度为 ： 均质杆质心的速度为： 2、动能和势能分别为： 拉格朗日方程 10 4、广义力： 5、建立系统动力学方程： x 3、拉格朗日函数 拉格朗日方程 11 m1 m2 k3k1 k2F1(t) F2(t ) m3 k4 k5 k6 F3(t ) 对于如图所示的三质量系统，有 6个弹簧，三个外界激励，求 系统的动力学方程。 拉格朗日方程 12 m1 m2 k3k1 k2F1(t) F2(t ) m3 k4 k5 k6 F3(t ) 对于如图所示的三质量 系统，有 6个弹簧，三个 外界激励，求系统的动 力学方程。 1、选定广义坐标 x1， x2， x3 2、动能和势能分别为： 拉格朗日方程 13 5、建立动力学方程： 4、广义力： F1， F2， F3 3、拉格朗日函数 拉格朗日