2017年北京市怀柔区高考数学零模试卷（文科）含答案解析

2017 年北京市怀柔区高考数学零模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 32 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 1已知集合 A=1， 2， 3， B=1， 3，则 A B=（ ） A 2 B 1， 3 C 1， 2 D 1， 2， 3 2圆 x2+4x+6y=0 的圆心坐标是（ ） A（ 2， 3） B（ 2， 3） C（ 2， 3） D（ 2， 3） 3设变量 x， y 满足线性约束条件 ，则 z=x+2y 的最小值为（ ） A 2 B 1 C 2 D 1 4执行如图的程序框图，若输入的 a， b 的值分别为 0 和 9，则输出的 i 的值为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 5下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A y= y= C y= y=设 ， 为向量，则 | |=| | |是 “ ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 12 B 18 C 24 D 30 8某商场门 口安装了 3 个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能是红、黄、绿中的一种颜色，且这 3 个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这 3 个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，且相邻两个闪烁的时间间隔均为 3 秒如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（ ） A 36 秒 B 33 秒 C 30 秒 D 15 秒 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） . 9设 i 为虚数单位，则 i（ i+1） = 10从一堆苹果中任取 10 只，称得它们的质量如下（单位：克） 125 120 122 105 130 114 116 95 120 134 则样本数据落在 的频率为 11 ，（ ） 2 三个数中最大的数是 12若双曲线 =1（ b 0）的渐近线方程式为 y= ，则 b 等于 13在 ， a= ， b=1， A= ，则 14有三张卡片，分别写有 1 和 2， 1 和 3， 2 和 3甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说： “我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看 了丙的卡片后说： “我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说： “我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答写出文字说明、证明过程或演算过程 15（ 13 分）已知函数 f（ x） =（ 2+1 （ ）求 f（ ）的值； （ ）求函数 f（ x）的最小正周期及单调递增区间 16（ 13 分）已知等差数列 ， ， a2+1 （ ）求数列 通项公式 （ ）若 +n，求数列 前 10 项和 17（ 13 分）如图，在四棱锥 P ， 底面 面 正方形， 于点 O， E 为 中点 （ ）求证： 平面 （ ）求证： 18（ 13 分）某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人） 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 8 5 未参加演讲社团 2 30 （ ）从该班随机选 1 名同学，求该同学至少参加一个社团的概率； （ ）在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中，有 5 名男同学 3， 3 名女同学 从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，求 选中且 被选中的概率 19（ 14 分）已知函数 f（ x） =ax+a R） （ ）若 a=2，求曲线 y=f（ x）在 x=1 处的切线方程； （ ）求 f（ x）的单调区间； （ ）若对任意 x （ 0， + ），都有 f（ x） 2 成立，求实数 a 的取值范围 20（ 14 分）已知椭圆 E 过点 A（ 2， 3），对称轴为坐标轴，焦点 心率 e= ， 平分线所在直线为 l （ ）求椭圆 E 的方程 ； （ ）设 l 与 x 轴的交点为 Q，求点 Q 的坐标及直线 l 的方程； （ ）在椭圆 E 上是否存在关于直线 l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由 2017 年北京市怀柔区高考数学零模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 32 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 1已知集合 A=1， 2， 3， B=1， 3，则 A B=（ ） A 2 B 1， 3 C 1， 2 D 1， 2， 3 【考点】 交集及其运算 【分析】 利用交集定义直 接求解 【解答】 解： 集合 A=1， 2， 3， B=1， 3， A B=1， 3 故选： B 【点评】 本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用 2圆 x2+4x+6y=0 的圆心坐标是（ ） A（ 2， 3） B（ 2， 3） C（ 2， 3） D（ 2， 3） 【考点】 圆的一般方程 【分析】 将已知圆化成标准方程并对照圆标准方程的基本概念，即可得到所求圆心坐标 【解答】 解：将圆 x2+4x+6y=0 化成标准方程， 得（ x 2） 2+（ y+3） 2=13 圆表示以 C（ 2， 3）为圆心，半径 r= 的圆 故选： D 【点评】 本题给出圆的一般方程，求圆心的坐标着重考查了圆的标准方程与一般方程的知识，属于基础题 3设变量 x， y 满足线性约束条件 ，则 z=x+2y 的最小值为（ ） A 2 B 1 C 2 D 1 【考点】 简单线性规划 【分析】 先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数 2x+y 的最小值 【解答】 解：由约束条件 得如图所示的三角形区域， 令 z=0 得 x+2y=0， 显然当平行直线 x+2y=0 过点 A（ 0， 1）时， z 取得最小值为 2； 故选： A 【点评】 在解决线性规划的小题时，我们常用 “角点法 ”，其步骤为： 由约束条件画出可行域 求出可行域各个角点的坐标 将坐标逐一代入目标函数 验证，求出最优解 4执行如图的程序框图，若输入的 a， b 的值分别为 0 和 9，则输出的 i 的值为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 程序框图 【分析】 根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 i 的值，模拟程序的运行过程，可得答案 【解答】 解： 输入的 a， b 的值分别为 0 和 9， i=1 第一次执行循环体后： a=1， b=8，不满足条件 a b，故 i=2； 第二次执行循环体后： a=3， b=6，不满足条件 a b，故 i=3； 第三次执行循环体后： a=6， b=3，满足条件 a b， 故输出的 i 值为： 3， 故选 C 【点评】 本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答 5下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A y= y= C y= y=考点】 函数的零点；函数奇偶性的判断 【 分析】 利用函数奇偶性的判断一件零点的定义分别分析解答 【解答】 解：对于 A， y=义域为（ 0， + ），所以是非奇非偶的函数； 对于 B，是偶函数，但是不存在零点； 对于 C， x） = 奇函数； 对于 D， x） =偶函数并且有无数个零点； 故选： D 【点评】 本题考查了函数奇偶性的判断以及函数零点的判断；判断函数的奇偶性首先要判断函数的定义域，在定义域关于原点对称的前提下判断 f（ x）与 f（ x）的关系 6设 ， 为向量，则 | |=| | |是 “ ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断；向量的模；平行向量与共线向量 【分析】 利用向量的数量积公式得到 = ，根据此公式再看与 之间能否互相推出，利用充要条件的有关定义得到结论 【解答】 解： = ， 若 a， b 为零向量，显然成立； 若 1 则 与 的夹角为零角或平角，即 ，故充分性成立 而 ，则 与 的夹角为为零角或平角，有 因此 是 的充分必要条件 故选 C 【点评】 本题考 查平行向量与共线向量，以及充要条件，属基础题 7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 12 B 18 C 24 D 30 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断三棱柱的高及消去的三棱锥的高，判断三棱锥与三棱柱的底面三角形的形状及相关几何量的数据，把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算 【解答】 解：由三视图知：几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图： 三棱柱的高为 5，消去的三棱锥的高为 3， 三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为 3 和 4 的直角三角形， 几何体的体积 V= 3 4 5 3 4 3=30 6=24 故选： C 【点评】 本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键 8某商场门口安装了 3 个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能是红、黄、绿中的一种颜色，且这 3 个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这 3 个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，且相邻两个闪烁的时间间隔均为 3 秒如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（ ） A 36 秒 B 33 秒 C 30 秒 D 15 秒 【考点】 排列、组合的实际应用 【分析】 根据题意，由排列数公式计算可得闪烁共有 个不同的顺序，即 6个不同的闪烁，由此计算可得闪烁一共需要的时间和间隔一共需要时间，将其相加即可得答案 【解答】 解：根据题意，要求 3 个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，则共有 个不同的顺序，即 6 个不同的闪烁； 每个闪烁为 3 秒，则闪烁一共需要 6 3=18 秒， 相邻两个闪烁的时间间隔均为 3 秒，则间隔一共需要 3 （ 6 1） =15 秒， 则实现所有不同的闪烁，那么需要的时间为 18+15=33 秒； 故选： B 【点评】 本题考查的是排列、组合的应用，要求把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） . 9设 i 为虚数单位，则 i（ i+1） = 1+i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则即可得出 【解答】 解： i（ i+1） = 1+i， 故答案为： 1+i 【点评】 本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 10从一堆苹果中任取 10 只，称得它们 的质量如下（单位：克） 125 120 122 105 130 114 116 95 120 134 则样本数据落在 的频率为 【考点】 频率分布表 【分析】 从所给的十个数字中找出落在所要求的范围中的数字，共有 4 个，利用这个频数除以样本容量，得到要求的频率 【解答】 解： 在 125 120 122 105 130 114 116 95 120 134 十个数据中， 样本数据落在 的有 116， 120， 120， 122 共有 4 个， 样本数据落在 的频率为 = 故答案是 【点评】 本题考查频率分布表，频数、频率和样本容量三者之间的关系是知二求一，这种问题会出现在选择和填空中，有的省份也会以大题的形式出现，把它融于统计问题中 11 ，（ ） 2 三个数中最大的数是 2 【考点】 对数值大小的比较 【分析】 0，（ ） （ 0， 1）， 2 1，即可得出 【解答】 解： 0，（ ） （ 0， 1）， 2 1， 则三个数中最大的数是 2 ， 故答案为： 2 【点评】 本题查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 12若双曲线 =1（ b 0）的渐近线方程式为 y= ，则 b 等于 1 【考点】 双曲线的简单性质；函数解析式的求解及常用方法 【分析】 根据双曲线的性质求得渐近线方程的表达式求得 b 【解答】 解：由双曲线方程可得渐近线方程为 y= ，又双曲线的渐近线方程式为 y= ， ，解得 b=1 故答案为 1 【点评】 本小题考查双曲线的几何性质、待定系数法，属基础题 13在 ， a= ， b=1， A= ，则 【考点】 正弦定理 【分析】 由已知利用正弦定理可求 用大边对大角可求 B 为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求 值 【解答】 解： a= ， b=1， A= ， 由正弦定理可得： = = ， b a， B 为锐角， = 故答案为： 【点评】 本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题 14有三张卡片，分别写有 1 和 2， 1 和 3， 2 和 3甲， 乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说： “我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说： “我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说： “我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是 1 和 3 【考点】 进行简单的合情推理 【分析】 可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着 1 和 2，或 1 和 3，分别讨论这两种情况，根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判断出甲卡片上的数字是多少 【解答】 解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着 1 和 2，或 1 和 3； （ 1）若丙的卡片上写着 1 和 2，根据乙的说法知， 乙的卡片上写着 2 和 3； 根据甲的说法知，甲的卡片上写着 1 和 3； （ 2）若丙的卡片上写着 1 和 3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着 2 和 3； 又甲说， “我与乙的卡片上相同的数字不是 2”； 甲的卡片上写的数字不是 1 和 2，这与已知矛盾； 甲的卡片上的数字是 1 和 3 故答案为： 1 和 3 【点评】 考查进行简单的合情推理的能力，以及分类讨论得到解题思想，做这类题注意找出解题的突破口 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答写出文字说明、证明过程或演算过程 15（ 13 分）（ 2017怀柔区模拟）已知函数 f（ x） =（ 2+1 （ ）求 f（ ）的值； （ ）求函数 f（ x）的最小正周期及单调递增区间 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 （ ）直接将 x= 代入计算即可 （ ）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为 y=x+）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间； 【解答】 解：函数 f（ x） =（ 2+1 那么： f（ ） =（ 2+ 1 =（ ） 2+=1； （ ）由函数 f（ x） =（ 2+1 化简可得： f（ x） =2 2x+ ）， 函数 f（ x）的最小正周期 T= ， 由 2x+ （ k Z）是单调递增， 解得： x ， 函数的单调递增区间为 ， （ k Z） 【点评】 本题主要考查对三角函数的化简能力，函数性质和同角三角函数关系式的计算属于中档题 16（ 13 分）（ 2017怀柔区模拟）已知 等差数列 ， ， a2+1 （ ）求数列 通项公式 （ ）若 +n，求数列 前 10 项和 【考点】 数列的求和；等差数列的通项公式 【分析】 （ ）由已知等式求出公差，然后求通项公式； （ ）由（ ）化简得到数列 通项公式，利用分组求和得到所求 【解答】 解：（ ）等差数列 ， ， a2+1=a1+ 所以 ，所以公差为 1，所以 an=n+2； （ ）所以 +n=2n+n， 所以数列 的前 10 项和 （ 1+2+ +10 ） + （ 2+22+23+ +210 ）= =55 2+211=53+211 【点评】 本题考查了等差数列的通项公式以及对数列分组求和；属于常规题 17（ 13 分）（ 2017怀柔区模拟）如图，在四棱锥 P ， 底面面 正方形， 于点 O， E 为 中点 （ ）求证： 平面 （ ）求证： 【考点】 直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）通过三角形中位线的性质可得 而根据线面平行的判定定理 可以证明出 平面 （ 2）先分别证明出 而根据线面垂直的判定定理证明出平面 可得出结论 【解答】 证明：（ 1）因为 底面 正方形， 于点 O， 所以 O 为 中点 又 E 为 中点， 所以 因为 面 面 所以 平面 （ 2） 底面 正方形， 底面 面 又 ， 所以 平面 所以 【点评】 本题主要考查了线面平行，线面垂直的判定定理的应用考查了学生对线面平行，线面垂直判定定理的记忆 18（ 13 分）（ 2015山东）某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人） 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 8 5 未参加演讲社团 2 30 （ ）从该班随机选 1 名同学，求该同学至少参加一个社团的概率； （ ）在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中，有 5 名男同学 3， 3 名女同学 从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，求 选中且 被选中的概率 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【分析】 （ ）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数， “至少参加一个社团 ”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可； （ ）先求基本事件总数，即从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出 “选中，而 被选中 ”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可 【解答】 解：（ ）设 “至少参加一 个社团 ”为事件 A； 从 45 名同学中任选一名有 45 种选法， 基本事件数为 45； 通过列表可知事件 A 的基本事件数为 8+2+5=15； 这是一个古典概型， P（ A） = ； （ ）从 5 名男同学中任选一个有 5 种选法，从 3 名女同学中任选一名有 3 种选法； 从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人的选法有 5 3=15，即基本事件总数为 15； 设 “选中，而 被选中 ”为事件 B，显然事件 B 包含的基本事件数为 2； 这是一个古典概型， 【点评】 考查古典概型的概念，以及古典概型的概率的求法，分步计数原理的应用 19（ 14 分）（ 2017怀柔区模拟）已知函数 f（ x） =ax+a R） （ ）若 a=2，求曲线 y=f（ x）在 x=1 处的切线方程； （ ）求 f（ x）的单调区间； （ ）若对任意 x （ 0， + ），都有 f（ x） 2 成立，求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）求出函数的导数，可得 x=1 处切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程； （ ）求出 f（ x）的导数，讨论当 a 0 时，当 a 0 时，由导数大于 0，可得增区间；导数小于 0，可得减区间，注意 定义域； （ ）由题意可得 ax+2，即为 a 的最小值，令 g（ x） = ，求出导数和单调区间，可得极小值也为最小值，即可得到 a 的范围 【解答】 解：（ ）若 a=2，则 f（ x） =2x+导数为 f（ x） =2+ ， 可得曲线 y=f（ x）在 x=1 处的切线斜率为 3， 切点为（ 1， 2），可得曲线 y=f（ x）在 x=1 处的切线方程为 y 2=3（ x 1）， 即为 3x y 1=0； （ ）函数 f（ x） =ax+导数为 f（ x） =a+ = ， x 0 当 a 0 时， f（ x） 0， f（ x）在（ 0， + ）递增； 当 a 0 时，由 f（ x） 0，可得 x ；由 f（ x） 0，可得 0 x 综上可得，当 a 0 时， f（ x）有增区间（ 0， + ）； 当 a 0 时， f（ x）的增区间为（ 0， ），减区间为（ ， + ）； （ ）若对任意 x （ 0， + ），都有 f（ x） 2 成立， 即有 ax+2，即为 a 的最小值， 令 g（ x） = ， g（ x） = ， 当