高等工程数学(2)--线性变换(win7)-1

1/212/21定义定义 设 V1， V2为线性空间，若 V1 V2的映射 T满足：对任意的 ，有 则称 T 为 V1 V2的 线性变换 .3/21例例 1 在线性空间 Pn(t)中定义变换则 T 是 Pn(t) 的线性变换 .？Pn-1(t)给定 ， 则有由矩阵的运算法则可知A 是 的线性变换 .例例 24/21也线性相关 . 若 线性相关，则问是否也线性无关？若 线性无关，问5/21设 是 Vn的一个基 是 Vm的一个基T 是 Vn Vm 的线性变换称 A 为 T 在基偶 , 下的 矩阵 .T = T1,T2, Tn A像的坐标6/21例例 3 设 的线性变换 T 定义为：试求 T在基 下的矩阵 .注：若 T 是 V 到自身的变换，则基偶可取为 ,此时称 T在基偶下的矩阵为 T在基下的矩阵 .7/21设 是 Vn的一个基 是 Vm的一个基对 Vn Vm 的任一线性变换 T，存在矩阵 A，使得T = A对任意的 Vn，设 在基 Vn下的坐标为 x，则有 T =T( x ) = (T )x = Ax即像 T 在基 Vm下的坐标为 Ax.可见：线性变换的特性完全由基偶矩阵刻画，故可见：线性变换的特性完全由基偶矩阵刻画，故对线性变换的研究可转为对基偶矩阵的研究对线性变换的研究可转为对基偶矩阵的研究 .8/21则有 null T dim(T) = dim(A) = n rankArankT dim(T) = dim(A) = rankA称 nullT 为 T 的 零度 ， rankA 为 T 的 秩 ，且有类似地定义(T) = Vn | T = O (T) = Vm | =T， Vn 称 (T) 为 T 的 零空间 (核 )称 (T) 为 T 的 值空间 (值域 )9/21设 , 是 Vn 的两个基， , 是 Vm的两个基 .在基偶 , 下有 T= A问 矩阵 A与 B有什么关系？在基偶 , 下有 T = B10/21设 , 是 Vn 的两个基， , 是 Vm的两个基 .在基偶 , 下有 T= A在基偶 , 下有 T = B设基变换渡矩阵分别为 P， Q ，即线性变换在不同基偶下的矩阵是相互线性变换在不同基偶下的矩阵是相互 等价等价 的的 .=P， = Q11/21设 T 是 Vn 到自身的线性变换， , 是 Vn 的两个基 .在基 下有 T= A问 矩阵 A与 B有什么关系？在基偶 下有 T = B12/21设 T 是 Vn 到自身的线性变换， , 是 Vn 的两个基 .在基 下有 T= A在基偶 下有 T = B设基变换渡矩阵 P ，即 =P线性空间到自身的线性变换在不同基下的矩阵是线性空间到自身的线性变换在不同基下的矩阵是 相似相似 的的13/21即即 与与 等价等价VnV m线性变换 T即即 与与 相似相似Vn到自身线性变换 T从现在开始主要研究从现在开始主要研究 的线性变换。的线性变换。14/21设 T 是 Vn 到自身的线性变换 .则 T 在基 =P 下的矩阵为问题问题 怎样 求基 ，使得 T 在 下的矩阵有较简单的形式？分析分析 ： 任取 V 的一个基 ，且 T = A. 若将方阵 A 相似化简为 B ，即考虑两种简单形式的矩阵： 分块对角阵 对角矩阵？15/21定义定义 设 T 是 Vn 上的线性变换， W是 Vn的子空间，若对任意的 W 有 T W ，则称 W是 T 的 不变子空间 .记 T 的核与值域分别为则 (T) ， (T) 均是 T 的不变子空间 .例例 4(T) = Vn | T = O (T) = Vm | =T， Vn 16/21设 W = span 1， 2， ， r ， 则有例例 5W是 T 的不变子空间 Ti W ( i = 1,2, r)均是 T 的不变子空间 .(其中 Ai 是 i 阶方阵 )设 = 是 Vn 的基，则 T 在 下的矩阵是分块对角阵的充要条件是定理定理17/21推论推论 设 = 是 Vn 的基，则 T 在 下的矩阵是对角阵的充要条件是存在数 使得18/21若存在基 = ，使得线性变换 T在 下的矩阵 A是对角阵则称 T 可对角化 .定义定义19/21定义定义 设 T 是 Vn 上的线性变换，若存在数 及 使得则称 是 T 的 特征值 ， 是相应的 特征向量 .定理定理 设 T 是 Vn上的线性变换，则T 可对角化A有 n 个线性无关的特征向量20/21问 怎样求 T的特征值与特征向量？是 T 的特征值 是 A 的特征值 = x 是 T 的特征向量 x是 A 的特征向量问 是否与基 的选取有关？21/21例例 6 设 ，