高中数学论文：浅谈高三课堂关于引导学生“悟”数学的设计与实践

1悟道：碧从天上来，红从日边生浅谈高三课堂关于引导学生“悟”数学的设计与实践【摘要】对于学生的数学学习体验，我们知道最重要地是“悟” ，对于教师的数学课堂教学设计，其实也是一个“悟” 当我们将教学作为一门艺术来追求时，自然也就心悉这“悟”之道需要从“点滴”做起，明理：思维能力的形成与提升，悟，亦是一种状态；悟，也是一种境界特别是在如何培养学生良好思维品质上，就更加讲究对“悟之道”的认识本文从自己多年教学的体验（特别是高三教学）中，回味、反思、自问谈一点这“悟之道”之说，愿与同仁们共赏！【关键词】质疑催悟 教育悟道 悟道之说 一、问题的提出：疑则生思，思生悟则悟生变“悟：了解，领会，觉醒悟道：领会道理或哲理 ”这就是词海关于“悟或悟道”的解读，有“恍然大悟”之说，也有“执迷不悟”之论那么，从数学学科的角度，笔者对“悟或悟道”的解读：初识一物，当需了解；识得要领，理应变通；立于圈外，觉悟彻醒这就是“悟”之意，也是“悟道”的心路历程高三数学课堂教学的设计，就要着力推崇这“悟道”之说且看如下教学片断例题：已知数列 满足： ， ，求通项 na112nnana问题抛出后，教师没有马上分析、解答，只说：求通项，即求 的表达式，那么，条件能让我们做点什么呢？当时，学生提出了如下三个质疑：条件改造为 ，不是等差数列，即不能用公式求，可112nn令 ，可得： ， ， ，3,20a123a234a又 ，可求得： ， ， ，有点象等比数列，但1a2438由 可得： ， ， ，1nn 1 21nn它们相加得： ，这样的话？2n师：的质疑都对，也提供了具体求解，这叫什么方法，有何特点请大家再思量一下生 1：这种方法主要适用于 常数时，令 ，将所得)(21fann n,32n1 个式子相加，转化为等比数列求和叫“累加求法” 生 2：其实，我们的等差数列求和公式就是这样推来的也可用于 型！11an师：说得好， 常数时，肯定不是等差数列，但可经转化为等差数列，)(1nfan问题求解，若将“ ”改成“ ”你能转化吗？若再改成“12 112nna”呢？21na显然，施教者不是将方法直接“输入”给学生，而是让学生将问题立足于处理数列问题的“大背景”意义下，去“悟”方法、 “悟”策略，去悟问题中一步一步如何“化归”！于是，课堂便有了灵性，学生便有了灵气；教师课堂教学艺术的机智和特质，在这充满“灵感”的课堂，也得以自由的发挥！“只有用创造的态度去对待工作的人，才能在完整的意义上懂得工作的意义和欢乐 ”（教育家叶澜教授语）本文即从课堂教学出发，谈谈如何引导学生在提升数学思维能力的“大背景”下去“悟”数学，不当之处，愿与同行商高中数学论文2榷二、师者，悟之有道，学生悟在过程中 数学教师“悟”数学，当然“悟之有道” 主要体现在“知识的科学探究、学情的合理开发、教学的艺术把握”上；学生的“悟”数学，则表现于课堂教学过程之中，形成于思维活动的质疑、反思、活跃与停滞点，让学生的思维与教师的机智，迸发出生命的火花！21 悟道立于问题而成于思维质疑点【案例 1】函数是高中数学中最为重要的知识主线，在相关的核心知识、方法历炼中，学生的思维活动，也是处处“光彩照人” 作为第一轮复习函数与方程时，笔者曾用“题 1”引入课题，从学生那欣赏数学的目光里可知：情境熟悉，方法明确学生“自然”快速进入运用“函数与方程”思想的思维通道，可“下手”一会又疑惑了：题 1（2011 年辽宁）已知函数 有零点，则实数 的取值范围是 axef2)( a解法 1：零点 设函数 和axe2y函数交点，如右图所示（一气呵成） 可面对图形，结合问题他们犹豫了， “喜悦”转化成了质疑：“它们一定在点 处相切吗？若不是，)1,0(那它们会在哪里相切？”面对学生质疑，我点拔：原问题 两曲线相切及相交从图像看，关键是找“切点”位置！在“相切”的背景下，如何重新认识这两个函数，已知什么？谁在变？点拔的话音刚落，一学生带着质疑说：不这样行吗解法 2： ，即有唯一极值点，易知为极小值点，2ln02)(xexf af)(lmin当最低点落在 轴下方，则函数就一定有零点 ll a面对“解法 2”，我先让大家“悟一悟”：该想法怎么想到的？你会想到吗？稍后我让这位学生来说其真实地思考过程生 1：刚开始我也是按“解法 1”，但，不过“相切”让我试了试“求导数” ，发现结果与参数无关，且仅有“唯一”极值点，呵呵，原函数的图象“象”抛物线，只有当开口向上，存在最小值时，本题才有意义让最低点“动起来” ，一下搞定！师：不错啊，学会用“悟”的目光看待所面临的数学问题情境，一“动”引出新天地啊生 2：（一脸不服状）在“解法 1”中，我们仍可以做的解法 3：零点 ，设 和axe2xeya2又切线的斜率为 2，由切点条件知： ，)(f即： ，切点为 ，lny ,ln而切点在切线上，结合题意函数 的图像必在上方，x则有： ，al 2l【悟道 1】有“悟”才会欣赏“有点象” 、试一试，我发现、 “动起来”等思维“闪光点” ，展示了学生以“欣赏数学”的眼光和积极地学习心态，勾画出一条清晰而优美地思维“曲线”！对于“数学思想与方法”的教学，师先垂范基于“悟” ，在课堂实施设计中，真实地“从学生认知水平”出发，在对学生的思维活动“引领”中，要做到心中“有底”与“精心”准备，让学生习得“悟”之法和养成“悟”之习性悟，生于问题而“成”于思维质疑处！学会甑别“师曾说吾仍疑惑”之源由， “悟”能解惑而促进课堂生成！22 悟道生于观察而成于思维反思点3【案例 2】 （“案例 1”之课结尾 10 分钟）题 2（2012 年浙江理科 9）设 ， （ ）0ab（A）若 ，则 （B）若 ，则ba32 ba32a（C）若 ，则 （D）若 ，则（注：将“2”换成“ ”，即文科试题第 10 题）e选此题为本课时教学“压轴”问题，曾“悟”：此题特点是什么，解答此题可以获得什么启示？立于学生视角，会“悟”到什么？待我也真切地“ 悟了一番”后明白“设计意图”：发现，合理地发现问题蕴藏的“函数单调性”？再发现，具有 “灵性”地观察发现利用条件形式“构造”出单调性所需要的特征关系？我们知道：任何 “发现” ，都不可替代的！于是，我只轻轻地对学生说：不用动笔，不用做，认真看，细想想，只问自己发现了什么？若感觉“不对劲”的话，想想是什么，以此“调节 ”你的思考方向！（学生们早已跃跃欲试了，话音刚落）生 3：我看到了一个函数“ ”，问题可转化为“函数值关系，问自变量大小” ，不xy2过？生 4：我们也看到了这一点，但用这个函数去“试” ，那“不对劲”的地方是“ 、 ”a2b3有点“多余”的样子，另外，函数值也不是“大小关系”（又犹豫了）生 5：我们也遇到了同样的问题，我们想换一个函数： 或 ，但题xy2xy目中是“ ”真？最后引进啥，还没定案b3（注：此前课中有一“即景”练习题：已知函数 ，试比较 与 的大小，xfln)(e12ln曾让学生“悟过”不谐调对 ，分母“缺少” ，如何调节！？）2ln2师：你们的发现、思考，已进入命题要求“范围” ，作好关键一步“选择与调整” 生 6：应该选择函数： ，这样选项前半部分可调整为：xy，即 ，接下去0)2()(bab ba众生：研究函数 的单调性，选择（A ） x师：真选（A）？请说说你的想法（ “生 6”的同桌）生 7：因问题转化为：已知 在 R 上递增，又 ，问自变量大xf2)()(ff小不过，让我感觉“有意思”地是：从 “分一个 ”出来，恰好构成“b3”，而又完整了“函数单调性”运用模式，这题目出得真好！妙会)(21xff“利用”它，让等式“化归”不等式，让问题“更和谐” ，真的“不用”动笔也能做，老师一开始说的那句话，说得真好！【悟道 2】 “悟”即发现， “悟”需反思， “悟”应提炼！教学生“悟”数学，在高三第一轮复习教学中，累见不鲜地是用“容量”标识着“高效” ，不仅人为地增加一轮复习难度，而且也给二轮复习追求“高效” ，增加了“隐形”难度学生缺失（或很少）经历“如何去想 、或怎样去悟 ”，这种在“思维策略性”上的缺失，直接导致了“能力提升”结局的或难或空！所以，高三一轮复习教学，需让学生能在“悟”中欣赏数学，教师应具有基于“写作状态”下的教学设计意识，追求教育教学的“理想化”！悟，生于观察、发现而“成”于“思维反思”理念中！师若“悟”在先， “悟”到位，生则“悟”出十二分精彩！423 悟道修于过程而成于思维活跃点【案例 3】以下是自己在高三第一轮于解析几何的直线部分和椭圆部分时，所选择的两个教学用题，设计意图：题 1 在“运算求解”中去发现、收集相关信息，提升“数形结合”思想基本技能，形成学科基本能力；题 2 于甄别常规问题差异中，感悟“一题多解”本质目的：在思维发散处，悟之快乐，活跃思维，领略数学思想方法的魅力题 1：已知点 A(0,2)，B(2,0)若点 C 在函数 的图像上，则使得ABC 的面积为 2xy的点 C 的个数为 （ ）（A）4 （B）3 （C）2 （D）1题 2：已知定点 A ，B ，若椭圆 （ ）与线段 AB 有公共点，)1,(),22ayx0求实数 的取值范围a教学片断实录 1（对题 1 而言）：生 1：根据问题特点，作图（如右图） ，显然点 O 符合，但除 O 点外，感觉应该还有，可不知怎么找？生 2：由要求可以“反算”求得ABC 的高 ，作 AB 的平行线，距离为 时，2h2直线与抛物线交点个数，就是本题结果，选择（A ） 师：两人感觉很好，只是配合上未能达到“英雄略见所同”（生 3 有点等不急的样子）生 3：AB 上方有两个点是没问题的，只是过 O 作的一条“平行线” ，能否有“两个交点” ，精确方法还有点把握不住能用导数方法吗？可我用两种方法得来，结果不同：法 1： 或 ；法 2：02xy121xy师：根据上述过程，大家思考一下，相应“各步” ，告诉我们在做什么？生 4：“法 1”在求的是经过原点且平行 AB 的直线与曲线 的交点坐标，而不太2懂？生 5：“法 2”应该是在求平行 AB 且与曲线 相切的切点坐标，与题意不符2xy生 6：其实，利用“等底等高” ，过作 AB 的平行线另一侧同样，看交点“个数”即可教学片断实录 2（对题 2 而言）：生 1：我认为写出 AB 的方程，与椭圆方程联立、消元后，用“判别式法”就好了生 2：我感觉没这么简单，至少这里是“与线段 AB 有公共点” ，它和“与直线 AB 有公共点”是有区别的生 3：我们也是这样想的，但这问题让我们想起了“线性规划”问题中，曾有的一个类似问题：求两定点在直线异侧时的参数范围问题生 4：我们也是这样求的，即 ，但对同侧也有相交的0)298)(12(2a可能，如图，同在椭圆外就有，同在椭圆内时，显然没有那么，与相反的： 行吗？或“同正或同负”中取谁？098)12(a师：很好，能把问题“悟”到这程度，佩服！正如你们所说，本题与“直线与椭圆有公共yoxBA5点”是有区别的， “判别式法”因“根”有了“范围”要求而明显失效，更让老师“意外”地是：问题转化到“线性规划”里，用数形结合思想来指导问题处理，悟得妙，很值得欣赏，用类比联想，将一个佰生问题转换成了熟悉的问题【悟道 3】能力，不能靠“输入” ，以学生思维的“悟”而为之， “形成基本能力，开发思维潜能” ，才是课堂教育的正道提高“空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理”等基本能力，必须关注问题的求解过程、思维的展示过程、悟道的心理过程悟，生于过程而“成”于思维活跃节点！ 24 悟道爱于探究而成于思维停滞点【案例 4】题 1：（08 全（理 10） ）若直线 通过点 M（ ， ） ，则 1byaxcosin（ ）（A） （ B） （C） （D）2ba2212ba这是“老问题” ，但很经典，它所蕴藏的思维“因素”极为丰富，是培养学生发散思维的典型问题，曾多次用过09 高三“直接”介绍了 5 种解法，感觉“白说”效果全无！10高二又用，学生先做，虽也给出解法 1，2，但用时太多，大部分学生灵感差，思维停滞！这次高三再用时，我先向学生以基本问题的形式， “间接”地介绍了问题的原始背景，即如下思考：思考：一次方程 与二次方程 组成的方程组有解的条件是：byax2yx，你如何得知？12在你所用的代数方法或几何方法中，两者如何沟通？本题隐含了什么问题，命题人的原意是什么？想考察什么？这思考探究，无疑集“参与、引领、反思”多种角色为一体，激励着学生的思维介入、发生与发展，其思维“活跃度”的激活，正是我们追求“有效教学”的源泉！于是，学生很快给出了“法 1，2” ，不等点评，又有学生给出了后面解法法 1：（通法：“ ”判定法，生之理由，题意如此告之）Rd ，点 M 坐标适合方程 ，即在圆上，cossin12yx由题意可知：圆心到直线 的距离： ，选择1byax|2Rbad（D）法 2：（变化 1：三角知识切入，生之理由，化简中无意发现， ）点 M 在直线上，则 ，abacossin 1|)sin(2ba法 3：（变化 2：向量知识切入，生之理由，发现认识： 即 的平方，212而根式中见到两个平方，多想想距离或模， ）令向量 ， ，则 ，且)1,(bam)sin,(conm|n6又由向量运算知： ，|nm1|2ba法 4：（变化 3：柯西不等式切入，生之理由，B 模块刚好在讲“不等式” ，碰运气，太妙！） ，选择（D）)1(2ba 1)sinco()s(sin22ba法 5：（变化 3：不等式放缩切入，生之理由， “1”代换，我喜欢“不等式”的放缩，哈哈！） )cossin(cosincosincosin1 2222222 babababa 1)i(ii22 ab（注：本届高三，关于B 选修模块，进入高三时，就文理各抽选部分较好学生组成一个小班，自愿可流动，每周单独集中加上两节课，上述“法 4、5”系本班的该班学生 ）【悟道 4】 “一题多解”在高三数学课堂，恐已“司空见惯” 然而怎样让其在培养学生思维品质上“货真价实” ，本题的“三用”此题，其成功得益于“悟，生于探究而“成”于思维停滞处” 教学无效，要“悟”其根源，学习无道，要“悟”其源本，坚信：参与，是悟道之根本，探究，是悟道之风向标， “悟”道是灵活思维之本源！ 三、悟道，为师需换位于学生，学生需勤于数学思想感悟成败高三课堂设计与思考，关键在于深度理解新课程提倡的课程理念，在面对数学问题时，多从学生角度去分析、思考，去“悟”数学的本质，引导学生多从数学思想方法的角度，去“悟”数学问题的解决策略为此，再看如下问题，在学生解题受阻，思维停滞时，学生最需要的是什么？学生还能做什么？【案例 5】一次综合测试后讲评，笔者以学生的“半成品”为切入口，在解题搁浅处，去“悟”思维停滞的原因，去“悟”再探究的思维方向问题：已知函数 （ 的常数，是自然对数的底数）设函数际xef1ln)(782.，求证：)(xg)(eg解法 1：由已知可得 ，xxfln)(则 ，令 ， （因不会解此方程搁浅）xexl)1(3 0)(g解法 2：由不等式条件知 ，原不等式可化为 ，0 xex)1(ln12设函数 ，则xexxh)1(ln1)(2 xhl2)(令 ，（因不会解此方程搁浅）0【评析 1】函数不等式的证明或不等式恒成立问题，常规思路即：适度引入函数，化归相应函数的最值问题，再用导数法求最值处理高三学生自然很快能进入，却因同样问题，7使解题陷入困境，根源所在：引入函数“不简单” ，导致后继过程趋于复杂，如何“化简”函数解题搁浅，不是因为“方法或原理” ；思维停滞，不是因为“不知做什么”？