高中教学论文：《导数及其应用》内容分析与教学设想

.1.新课标导数及其应用的内容分析与教学设想摘要 本文先分析新课标对导数及其应用在教材处理上的一些变化，接着谈了一下对教学的一些设想。关健字 新课标、导数普通高中数学课程标准（实验） （以下简称为标准 ）将导数及其应用这部分内容安排在选修系列 11 的第三章和选修系列 22 的第一章。虽然是选修内容，但对绝大部分高中学生来说，它依然是必要的基础性的。在选修系列 22 中增加了定积分与微积分基本定理的内容，对运算的要求也略有提高，原因主要是理科对数学的实际要求更高。这部分内容在高中教材中几进几出，除了高考导向的影响外，主要是定位不明确。鉴于它的教育价值， 标准给出了明确的定位，同以前相比有较大的不同。1 标准对导数及其应用的处理与原大纲的几点变化1.1 突出导数概念的本质原大纲把导数作为一种特殊的极限来讲，过于形式及抽象的概念给学生造成学习的困难。 标准则非常强调对其本质的认识，提高了对导数几何意义以及用导数处理实际问题的要求。教材让学生从随处可见的平均变化率开始，巧妙地通过瞬时变化率引入导数的概念。这样引入还能让学生更深刻地理解变量数学的本质，对函数这一核心概念的深入理解是很有帮助的。1.2 淡化计算标准明确指出“要避免过量的形式化的运算练习” 。选修系列 1 不要求对复合函数求导，就是系列 2 也仅限于求 形的导数。这一点与大baxf纲相比，是比较明显的。1.3 强化通过图象认识概念、理解导数的应用和研究价值简单的统计：以图象为主体设计和解释的“思考” 、 “探究” 、 “观察”有 8处；以图象为主体设计的例题有 3 道；以图象为主体设计的练习有 9 道，而教材在这一章中用的函数图象有 36 处之多。在旧教材中就少得多，仅有 5 处。通过图象理解导数概念是直观和易理解的，可以把学生从抽象的极限定义中解放出来；用图象解释导数的应用也是很方便的，也能让学生体验到导数研究函数的特殊价值。1.4 突出导数的实际应用运用导数处理问题， 标准有较高的要求。事实上从导数概念的引入，到导数的应用举例教材都用到了大量的实例。这些实例恰好是体现导数价值的最好素材，主要体现在以下几方面：1.4.1 用导数处理切线问题.2.有三种类型： 给切点，求切线； 给斜率，求切线； 给出切线有有关性质，求切线。这是用图象理解导数定义所带来的必然产物。1.4.2 用导数研究函数包括用导数研究函数的单调性、极值和最值，方法较以前的简便且具有一般性。1.4.3 用导数处理生活中的优化问题这其实是函数应用的引申。对建立的目标函数，用初等方法不好处理或难于处理时，用导数就变得简单易懂。1.5 关注算法思想的渗透、与信息技术的整合“算法”是高中课程中新增加的内容， 标准明确指出：渗透算法思想是导数学习一个重要方面，此外与信息技术的结合也是标准的一个基本理念，教材用到的函数图象如果能用信息技术进行动态演示将更能体现它们的作用。为此教材还特意安排了一个阅读材料：牛顿法-用导数方法求方程的近似解 。可以作为一个实习作业，在教师的指导下来完成。2 对教学的几点设想原大纲对导数运算要求较多，虽然也强调应用，但还是较片面的。而标准则是要突出导数的应用价值、科学价值、文化价值。这就要求在教学过程中有所体现，使得学生的学习是在教师引导下的探究和再创造的过程。2.1 对导数概念教学的设想标准没有对极限的要求，教材也没有在任何地方提过极限的概念，学习导数只能是在理解其本质的基础之上来记住极限的运算符号。我的设计：导数的定义1） 用实例计算平均变化率某运动物体的位移与时间函数关系为 。请分别计算时间段21fx内的平均速度；0,.5,2提出问题：你能求物体从时间 到 的平均速度吗？（两人一组，进行讨论） ；1x2容易总结出从时间 到 的平均速度为： 。12 21fxfv2） 合作讨论 的几何意义21fxf.3.请同学们还是两人一组，用图象探论 的几何意义。21fxf其实 就是对应割线的斜率（与两点斜率公式对比） 。21fxfv3） 动手实验，探索规律提出问题：刚才讨论的前提是 不变的情况。现在我们来研究变化的情12,x况：不妨固定 让 动，当 时， 有什么意义？请1x221021fxf同学们继续根据图象来探索。教师用预先做好的课件进行演示（如下图） 。 （说明：点 P 不动，点 Q 在曲线上运动，割线会随着动，对应的数据也在变化，可以从表中观察到。 ）在演示过程中学生们可以对照自己的预测，并进一步分析 的意义。21fxf由图分析可知：当点 P 不动即 不变，而 时，1x210x的物理意义就是物体在时刻 的瞬时速度，几何意义就是曲线在21fxf1点 P 处切线的斜率。4） 引出导数的概念点 P 处的瞬时速度其实就是函数在 P 点处的导数。下面给出导数的定义：.4.定义 一般地，函数 在 处的瞬时变化率是yfx000limlimx xfffx我们称它为函数 在 处的导数（其中 ） ，记为yf0 0000lixfxff注 对于极限运算符号直接让学生记忆，通过观看上述动画来理解其含义。2.2 对挖掘图象在导数教学中的特殊价值的设想函数图象对导数的教学具有特殊的意义，教材在这部分所使用的图象比起专门讲初等函数还要多，举几个例来说明。1、 （人教版 P86A 第 1 题）国家环保总局对长期超标准排放污染物，污染严重而又未进行治理的单位，规定出一定期限，强令在此期限内完成排污治理。右图是国家环保总局在规定的排污达标日期前，对甲乙两家企业连续检测的结果（W 表示排污量） ，哪个企业治理得比较好？为什么？ 注 这个练习安排在平均变化率后，给导数的引入打下铺垫。2、 （人教版 P101 练习第 2 题）函数 的图象如下，试画出导函数yfx图象的大致形状。yfx3、 （人教版 P104 练习第 1 题）下图是导函数 的图象，试找出函数yfx的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点。yfx（题 2 图） （题 3 图）.5.注 这两题对帮助学生理解用导数研究函数的基本方法和技巧非常有效，对极值的阐释简洁而入木三分。2.3 对以导数为素材开展研究性学习的设想课题：画三次函数 的简图3fx1）简单分析函数性质：这是个奇函数，显然图象经过原点。2）求出极值点及对应的极值：两个极值点为