示范教案43简单线性规划的应用

或 中鸿智业信息技术有限公司4.3 简单线性规划的应用整体设计教学分析本节内容在教材中有着重要的地位与作用.线性规划是利用数学为工具,来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定条件下,如何精打细算巧安排,用最少的资源,取得最大的经济效益.它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支,并能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题.中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分,但这部分内容体现了数学的工具性、应用性,同时也渗透了化归、数形结合的数学思想,为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法数学建模法.通过这部分内容的学习,可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用,培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力.把实际问题转化为线性规划问题,并给出解答是本节的重点也是难点.对许多学生来说,解数学应用题的最常见的困难是不会将实际问题转化成数学问题,即不会建模.所以把实际问题转化为线性规划问题作为本节的难点.对学生而言,解决应用问题的障碍主要有三类:不能正确理解题意,弄不清各元素之间的关系;不能分清问题的主次关系,因而抓不住问题的本质,无法建立数学模型;孤立地考虑单个的问题情境,不能多方联想,形成正迁移.针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素,将本节设计为计算机辅助教学,充分利用现代化教学工具,从而将实际问题鲜活直观地展现在学生面前,以利于理解.实际教学中注意的问题是:用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知条件,找出约束条件和目标函数是关键.可先将题目中的量分类、列出表格,理清头绪,然后列出不等式组(方程组) 寻求约束条件,并就题目所述找到目标函数.另外若实际问题要求的最优解是整数解 ,而我们利用图解法得到的解为非整数解,则应作适当调整,其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据,在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点,不要在用图解法所得到的近似解附近寻找.如果可行域中的整点数目很少,采用逐个试验法也是很有效的办法.教学上可适当采用多媒体和投影仪等辅助教学,以增加课堂容量,增强直观性,进而提高课堂效率.三维目标1.通过本节学习,进一步了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行域及最优解等基本概念,了解线性规划的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题.2.通过本节学习,培养学生观察、联想以及作图能力,渗透化归、数形结合的数学思想,提高学生建模能力和解决实际问题的能力.3.结合教学内容,培养学生学习数学的兴趣和应用数学的意识,激励学生勇于创新.重点难点教学重点:线性规划在实际生活中的应用 ,培养学生应用数学的意识.教学难点:把实际问题转化为数学问题 ,即数学建模是本节的教学难点.课时安排1 课时教学过程导入新课思路 1.(直接导入)上节课我们探究了用线性规划解决求函数最值问题 ,这节课我们进一步探究有关线性规划的有关问题,看看用线性规划能解决哪些实际问题.教师出示多媒体课件,提出问题,由此引入新课.思路 2.(复习导入)生产实际中有许多问题都可归结为线性规划问题 ,其中有两类重要实际问题:一是给定数量的人力、物力资源 ,问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大,收到的效益最大;二是给定一项任务,问怎样统筹安排能使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小. 或 中鸿智业信息技术有限公司推进新课新知探究提出问题回忆我们从前解决实际问题的方法、步骤,在线性条件约束下,如何求目标函数的最值、最优解?前两节我们解决了可行域中整点问题,训练了求可行域中最优解问题,请思考最优解的个数有可能为无数个吗?活动:教师与学生一起回忆上节课利用线性规划求函数的最值、最优解的方法.在确定最优解时,首先要赋予因变量的几何意义,然后利用图形的直观来确定最优解;在确定最优解时,用直线的斜率来定位.关于可行域中的整点求法,是以与线性目标函数的直线的距离为依据,在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点.如果可行域中的整点数目很少,采用逐个试验法也是很有效的办法.下面我们来探究最优解问题以及线性规划在实际生活中的应用,体会利用线性规划的方法解决实际问题的过程.讨论结果:略.应用示例例 1 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐.甲种原料每 10 g 含 5 单位蛋白质和10 单位铁质,售价 3 元;乙种原料每 10 g 含 7 单位蛋白质和 4 单位铁质,售价 2 元.若病人每餐至少需要 35 单位蛋白质和 40 单位铁质.试问:应如何使用甲、乙原料,才能既满足营养,又使费用最省?活动:本例中各种数据较多 ,这也是线性规划模型的特点,教师引导学生用表格的形式将各种数据分类,则问题就变得一目了然,思路清晰了,如下表:原料/10 g 蛋白质/单位 铁质/单位甲 5 10乙 7 4费用 3 2设甲、乙两种原料分别用 10x g 和 10y g,则需要的费用为 z=3x+2y;病人每餐至少需要35 单位蛋白质,可表示为 5x+7y35;同理,对铁质的要求可以表示为 10x+4y40,这样,问题成为在约束条件 下,求目标函数 z=3x+2y 的最小值 .0,41357yx解:设甲、乙两种原料分别用 10x g 和 10y g,总费用为 z,那么 0;y,x4,1357目标函数为 z=3x+2y,作出可行域如图 1. 或 中鸿智业信息技术有限公司图 1把 z=3x+2y 变形为 y=- x+ ,得到斜率为- .在 y 轴上的截距为 ,随 z 变化的一组平23z232行直线.由图可知,当直线 y=- x+ 经过可行域上的点 A 时,截距 最小,即 z 最小.由 ,得 A( ,3),357401yx1zmin=3 +23=14.4.答:甲种原料使用 10=28(g),乙种原料使用 310=30(g)时,费用最省.514点评:解决此问题的关键是将问题的文字语言转换成数学语言,此题通过表格将数据进行整理,使问题难度大大降低,要通过本例让学生形成这一思维习惯.例 3 某工厂 ,若生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 10 000 元，若生产 1 车皮乙种肥料，产生的利润为 5 000 元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？解:设生产 x 车皮甲种肥料， y 车皮乙种肥料，能够产生的利润 z 万元.目标函数z=x+0.5y,可行域如图 2.图 2把 z=x+0.5y 变形为 y=-2x+2z,得到斜率为-2 ，在 y 轴上截距为 2z,随 z 变化的一组平行直线.由图可以看出，当直线 y=-2x+2z 经过可行域上的点 M 时，截距 2z 最大，即 z 最大.解方程组 得点 M(2,2),因此当 x=2,y=2 时，z=x+0.5y 取最大值，最大值为10,y4x6583.由此可见，生产甲、乙两种肥料各 2 车皮，能够产生最大的利润，最大利润为 3 万元. 或 中鸿智业信息技术有限公司变式训练(2007 山东卷)某公司计划 2008 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告,广告总费用不超过 9 万元.甲、乙电视台的收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/ 分钟.假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为 0.3 万元和 0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大?最大收益是多少万元？活动:这是高考中继江苏卷线性规划大题后第二个线性规划大题,教师引导学生按前面的方法列出表格,则各量之间的关系即一目了然.本题难度不大,可由学生自己解决.列表如下:甲 乙 合计时间 x 分钟 y 分钟 300收费 500 元/分钟 200 元/分钟 9 万元解:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟，总收益为 z 元.由题意得 0.y,x0, 9253,目标函数为 z=3 000x+2 000y.二元一次不等式组等价于 0.y,x9,253图 3作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图 4.图 4作直线 l:3 000x+2 000y=0,即 3x+2y=0.平移直线 l，从图中可知，当直线 l 过 M 点时，目标函数取得最大值 . 或 中鸿智业信息技术有限公司联立 90,2y5x3解得 x=100,y=200.点 M 的坐标为 (100，200).zmax=3 000x+2 000y=700 000(元).答:该公司在甲电视台做 100 分钟广告，在乙电视台做 200 分钟广告，公司的收益最大，最大收益是 70 万元.例 3 某家具厂有方木料 90 m3,五合板 600 m2,准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料 0.1 m3、五合板 2 m2;生产每个书橱需要方木料 0.2 m3、五合板 1 m2.出售一张书桌可获利润 80 元,出售一个书橱可获利润 120 元,如果只安排生产书桌,可获利润多少?如果只安排生产书橱,可获利润多少?怎样安排生产可使所得利润最大?活动:教师引导学生建立目标函数 ,根据已知条件列出不等式组找出可行域.解:(1)设只生产书桌 x 张 ,可获得利润 z 元,则 30960,x.1当 x=300 时,z max=80300=24 000(元),即如果只安排生产书桌,最多可生产 300 张书桌,获得利润 24 000 元.(2)设只生产书橱 y 张,可获利润 z 元,则 .4506609.2y当 y=450 时,z max=120450=54 000(元),即如果只安排生产书橱,最多可生产 450 个,获得利润 54 000 元.(3)设生产书桌 x 张,书橱 y 个,利润总额为 z 元.则 0,y6,290y6291x+2y900,2x+y600,x0,y0,z=80x+120y,可行域如图 4.由图 4 可知:当直线 y=- x+ 经过可行域上的点 M 时,截距 最大,即 z 最大,解方3210z120z程组 得 M 的坐标为(100,400).60,y2x9zmax=80x+120y=80100+120400=56 000(元).因此,生产书桌 100 张、书橱 400 个,可使所得利润最大,最大利润为 56 000 元.例 4 某厂生产一种产品,其成本为 27 元/kg, 售价为 50 元/kg.生产中,每千克产品产生 0.3 m3 的污水,污水有两种排放方式 :方式一:直接排入河流. 或 中鸿智业信息技术有限公司方式二:经厂内污水处理站处理后排入河流 ,但受污水处理站技术水平的限制,污水处理率只有 85%.污水处理站最大处理能力是 0.9 m3/h,处理污水的成本是 5 元/m 3.另外,环保部门对排入河流的污水收费标准是 17.6 元/m 3,且允许该厂排入河流中污水的最大量是 0.225 m3/h.那么,该厂应选择怎样的生产与排污方案 ,可使其每时净收益最大?活动:为了解决问题,首先 ,要搞清楚是什么因素决定净收益.净收益=售出产品的收入- 生产费用,其中生产费用包括生产成本、污水处理费、排污费等.设该厂生产的产量为 x kg/h,直接排入河流的污水为 y m3/h,每小时净收益为 z 元,则(1)售出产品的收入为 50x 元/m 3;(2)产品成本为 27x 元/m 3;(3)污水产生量为 0.3x m3/h,污水处理量为(0.3x-y) m 3/h,污水处理费为 5(0.3x-y) 元/m 3;(4)污水未处理率为 1-0.85=0.15,所以污水处理厂处理后的污水排放量为 0.15(0.3x-y) m3/h,环保部门要征收的排污费为 17.60.15(0.3x-y)+y元/m 3;(5)z=50x-27x-5(0.3x-y)-17.60.15(0.3x-y)+y =20.708x-9.96y.需要考虑的约束条件是(1)污水处理能力是有限的,即 00.3x-y0.9;(2)允许排入河流的污水量也是有限的,即y+(1-0.85)(0.3x-y)0.225.解:根据题意,本问题可归纳为 :在约束条件 下,求目标函数 z=20.708x-9.96y0.y,x-.3451790.,y.的最大值.作出可行域,如图 5,令 z=0 作直线 l0:20.708x-9.96y=0,由图形可以看出,平移直线 l0,在可行域中的顶点 A 处,z 取得最大值.图 5解方程组 得 A(3.3,0.09).45,170y9x.-.3故该厂生产该产品 3.3 kg/h，直接排入河流的污水为 0.09 m3/h 时，可使每小时净收益最大，最大值为 20.7083.3-9.960.9=67.44(元).答:该厂应安排生产该产品 3.3 kg/h,直接排入河流的污水为 0.09 m3/h 时,其每小时净收