椭圆的焦半径函数

1椭圆的焦半径函数【寻根】 椭圆的根在哪里？自然想到椭圆的定义：到两定点 F1，F 2（|F 1F2|=2c）距离之和为定值2a（2a2c）的动点轨迹（图形）.这里，从椭圆的“根上”找到了两个参数 c 和 a.第一个参数 c，就确定了椭圆的位置；再加上另一个参数 a，就确定了椭圆的形状和大小.比较它们的“身份”来，c 比 a 更“显贵”.遗憾的是，在椭圆的方程 里，却看不到 c 的踪影，故有人开玩笑地说：椭圆方程有“忘12byx本”之嫌.为了“正本” ，我们回到椭圆的焦点处，寻找 c，并寻找关于 c 的“题根”.一、 用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式数学题的题根不等同数学教学的根基，数学教学的根基是数学概念，如椭圆教学的根基是椭圆的定义.但是在具体数学解题时，不一定每次都是从定义出发，而是从由数学定义引出来的某些已知结论（定理或公式）出发，如解答椭圆问题时，经常从椭圆的方程出发.【例 1】 已知点 P（x，y）是椭圆 上任意一点，F 1（-c,0）和 F2(c,0)是椭圆的两个12byax焦点.求证：|PF 1|=a+ ；|PF 2|=a - .cc【分析】 可用距离公式先将|PF 1|和|PF 2|分别表示出来.然后利用椭圆的方程“消 y”即可.【解答】 由两点间距离公式，可知|PF1|= (1)2)(ycx从椭圆方程 解出2byax(2)(2xay代（2）于（1）并化简，得|PF1|= (-ax a)c同理有 |PF2|= (-ax a)【说明】 通过例 1，得出了椭圆的焦半径公式r1=a+ex r2=a-ex (e= )c从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点 P（x,y）横坐标的一次函数. r1 是 x 的增函数，r 2 是 x 的减函数，它们都有最大值 a+c,最小值 a-c.从焦半径公式，还可得椭圆的对称性质（关于 x,y 轴，关于2原点）.二、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公式的成立是以椭圆方程为其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性，我们考虑从椭圆定义直接导出公式来.椭圆的焦半径公式，是椭圆“坐标化”后的产物,按椭圆定义，对焦半径直接用距离公式即可.【例 2】 P (x,y)是平面上的一点，P 到两定点 F1（-c，0） ，F 2（c，0）的距离的和为 2a（ac0）.试用 x，y 的解析式来表示 r1=|PF1|和 r2=|PF2|.【分析】 问题是求 r1=f（ x）和 r2=g（x ）.先可视 x 为参数列出关于 r1 和 r2 的方程组，然后从中得出 r1 和 r2.【解答】 依题意，有方程组 )( 221 ycxra-得 41代于并整理得 r1-r2= xa联立，得 xacr2【说明】 椭圆的焦半径公式可由椭圆的定义直接导出，对椭圆的方程有自己的独立性.由于公式中含 c 而无 b，其基础性显然.三、 焦半径公式与准线的关系用椭圆的第二定义，也很容易推出椭圆的焦半径公式.如图右，点 P（x ，y ）是以 F1（-c,0）为焦点，以 l1：x=- 为准线的椭圆上任意一点.PDl 1 于 D.按椭圆ca2的第二定义，则有 exacxePDFePD)(| 2即 r1=a+ex,同理有 r2=a-ex.对中学生来讲，椭圆的这个第二定义有很大的“人为性”.准线 缺乏定义的“客观性”.因cax2此，把椭圆的第二定义视作椭圆的一条性质定理更符合逻辑性.【例 3】 P（x，y ）是以 F1（-c，0） ，F 2（c ，0）为焦点，以距离之和为 2a 的椭圆上任意一点.直线l 为 x=- ，PD 1l 交 l 于 D1.ca23求证： .ePDF|1【解答】 由椭圆的焦半径公式 |PF1|=a+ex.对|PD 1|用距离公式 |PD1|=x- =x+ .)(2c故有 .ecaxeaPDF221|【说明】 此性质即是：该椭圆上任意一点，到定点 F1（- c,0） （F 2（c,0） ）与定直线 l1:x=-(l2：x= )的距离之比为定值 e（0e1）.ca四、用椭圆的焦半径公式证明椭圆的方程现行教材在椭圆部分，只完成了“从曲线到方程”的单向推导，实际上这只完成了任务的一半.而另一半，从“方程到曲线” ，却留给了学生（关于这一点，被许多学生所忽略了可逆推导过程并不简单,特别是逆过程中的两次求平方根）.其实，有了焦半径公式， “证明椭圆方程为所求”的过程显得很简明.【例 4】 设点 P（x，y）适合方程 .求证：点 P（x，y）到两定点 F1（-c,0）和12byaxF2（c， 0）的距离之和为 2a（ c2=a2-b2）.【分析】 这题目是为了完成“从方程到曲线”的这一逆向过程.利用例 2 导出的焦点半径公式，很快可推出结果.【解答】 P（x ，y ）到 F1（- c,0）的距离设作 r1=|PF1|.由椭圆的焦点半径公式可知r1=a+ex 同理还有r2=a-ex + 得 r1+r2=2a即 |PF1|+|PF2|=2a.即