一个针对高速公路收费广场的单车辆交互模型

一个针对高速公路收费广场的单车辆交互模型Ivan CorwinSheel GanatraNikita RozenblyumHarvard UniversityCambridge, MA指导老师：Clifford H. Taubes摘要针对于一定数目的高速公路车道，我们找到了最适宜的，能将汽车平均等待时间最小化的收费站数目。基于对车辆和收费站的同质性的假设，我们创造了单车辆模型来描述车辆时的安全性考量和反应时间。多车辆交互模型，一个实时交通模拟模型，考虑了在接近收费站和合流区是全球的车辆行为。根据来自奥兰多 - 奥兰治县高速公路管理局的数据，我们模拟了真实的条件。对于交通密度高的情形，最适宜的收费站数目约超过高速公路车道数目的50%，而对于低交通密度的情形最适宜的收费站数目等于车道数目。定义和关键词1.一个有着 n条车道的收费广场用空间d, d 1, . . . , n来表示，其中集合0 1, . . . , n被称为收费亭并且 d是收费广场的半径。记收费站0 i为 i。子空间 d, 0) 1, . . . , n被视作进入区间，离开区间则是(0, d 1, . . . , n。2.一个高速公路/收费站广场用空间 H= (, d) 1, . . . , m d, d 1, . . . , n (d,) 1, . . . , m来表示，其中收费广场（见上文）是子空间d, d 1, . . . , n，高速公路的两个分支则用( , d) 1, . . . , m 和 (d,) 1, . . . , m表示。集合1, . . . , m , 1, . . . , n中的元素分别是高速公路车道和收费站车道，R 集中的元素是高速公路位置。在实际中，我们取 mn。3.高速公路/收费广场的叉点，是由高速公路位置-d 确定的，在这个点所有的高速公路车道转变为收费车道。相应地，高速公路/收费广场的汇合点，由高速公路位置+d 确定，在这个点所有的收费车道转变为高速公路车道。4.一辆车 C是用四元函数 (L, a+, a, abrake)和位置函数 p = (x, k) : R H表示（其中 x(t)对于所有 t 都连续）。在这里 x(t)刻画的是在高速公路上车辆 C的前端所在位置，k(t)是高速公路或收费站车道的数目。令 L 为 C 的长度（单位为米），a+为恒定舒适正加速度， a为恒定舒适制动加速度， abrake为最大刹车加速度。在一个固定的时间点，在 C 前面的区域 H 为有着较 C 而言更长的H 部分，而在车 C 后面的区域则是 C 所具备的的最长的 H 区域减去 L。5.H 的速度限制 vmax任何车辆在 H 所能行驶的最大速度。6.t 时刻 H 的交通密度用 ( t)表示，是指平均每秒每车道通过高速公路的车辆数目，如果该位置没有收费广场。7.收费站 Ti 的平均服务速率 s 是指每秒钟停下来，付过路费，离开的车辆的平均数目。表格一变量 定义 单位n 收费站数目 无 交通密度 车/秒 T 全部拖延时间 秒 X 位置 米 V 速度 米/秒 Xo 初始减速时的位置 米 To 初始减速的时间 秒 Xf 到达速度上限时的位置 米 Tf C 车的位置 秒 x1 C的位置 米 x2 C的位置 米 v1 C的速度 米/秒 v2 C的速度 米/秒 x1 C减速后的位置 米 X2 c减速后的位置 米 V1 C减速后的速度 米/秒 V2 C减速后的速度 米/秒 G 安全距离 米 G 减速后安全距离 米 T 时间 秒 t 额外时间 秒 c 从汽车/ 安全间隙重叠补偿减速 米/秒的平方 o 从障碍/安全间隙重叠补偿减速 米/秒的平方 X 位置 米 V 速度 米/秒 C i 收费站线路 i 的大小 辆 Li 收费站线路 i 的长度 米 T serve C 进入离开区域的时间 秒 T merge C 离开汇合点的时间 秒 V out 离开汇合点时 C 车的速度 米/秒 表格二常数 含义 单位d 收费广场的半径 米 m 高速公路车道的数目 无单位 a+ 舒适加速 米/秒的平方 a- 舒适减速 米/秒的平方 Abrake 急刹车减速 米/秒的平方 L 车辆长度 米 Vmax 速度限制 米/秒 s 平均服务速率 车/秒 对服务时间的标准偏差 秒/车 t 预计反应时间 秒 意外的反应时间 秒 E 行间距 米一般假设 1.时间 时间的流逝用大小为 T 的时间来离散地表示。 2.收费广场的几何特点高速公路是笔直平坦的，并且在收费广场前后沿一个方向无限延伸。公路是无障碍的而且有一个固定的速度最高上限 vmax。关于无限长高速公路的假设是基于收费站之间的距离足够远以致于一个收费站的拥堵不会明显影响到邻近收费站的通行。一辆车的位置仅有车道和水平位置来决定。从而，在一段有 m 条车道的路段上，车辆的位置有有序对(x, i) R 1, . . . , m决定。3.收费站和线路一辆车在到达收费站是到达完全静止。加速和减速从而移动位置所需要的时间是短于该条线的服务时间的。从而，离 开一条线路所需的平均时间是一个关于平均服务时间和线路上车辆数目的函数。一辆车不可能进入收费站除非之前的车全部离开收费站。所有的收费站都有同样的遵从正态分布（平均值 =1/s 标准差为 ）的服务时间。4.叉点和汇合点高速公路和收费站之间的转换是瞬间的。 当从叉点进入到收费站车道时，车辆自动进入到最短的收费站线路。关于车辆的分流不会产生额外的延迟。从收费站车道进入汇合点的过程被称作汇合，因为我们假设收费站车道的数目不少于高速公路车道的数目从而产生瓶颈效应进而出现延迟。5.最佳性对最佳性的测量应包括最低平均延迟，平均延迟，事故率，被延迟车辆比例的标准分布（Edie 1954）。我们假设当车辆经历最低平均延迟时出现最佳性。特别的，对于一辆车 C，令 xo, to 为车辆达到速度上限后第一次减速进入收费站的位置和时间，令 xf , tf 为再次到达高速公路以后 C达到速度上线以后的位置和时间。那么车辆所经历的延迟，或者说通过收费广场而非无阻碍的通过所花费的时间是：其次我们更倾向于有着最低建造和运行成本的收费广场。例如，有着更少收费站的收费广场。特别地，针对一段给定高速公路，如果两个 n（收费站的数目）的值都能达到足够接近的平均延迟时间那我们倾向于使用 n值更低的那个值。让我们换一种表达方式来描述这种问题：对于一个有着 m条车道的高速公路和一个已知的交通密度模型，试求出能最小化车辆经过收费站时的平均延迟的收费站的最小值。我们模型的期望对于足够低的交通密度，由于收费站的等待队伍不会增长，也没有汇合困难，所以每辆车的延迟时间是相对固定且接近于理论最低值的。我们认为针对于低密度情形下最佳的收费站数目等于或者稍微超过车道的数目。对于高交通密度的情况，由于收费站的等待队伍不足以应对车辆的流入，所以每辆车的延迟时间很长并且会持续增长。等待时间大致会以线性方式增长。我们认为针对于高密度的情形，最佳的收费站数目远超车道数目。过多的收费站数目将会导致车辆低效汇合，从而在离开区域产生重大延迟。单车辆模型附加定义和假设一个对于 C的障碍是指高速公路上的一个点，车辆 C必须减速才能躲避撞击。唯一一个纳入考量的障碍是在特定条件下的汇合点。在某个时间，对 C的最大的危险是指最近的障碍或者 C前面的车。意料之外的反应时间 是指司机发现意外情形（突然停车）到身体做出反应（刹车，加速，转向等）所花的时间。预计的反应时间 t 指司机发现预计情形（光线改变，车辆刹车，收费站）到身体做出反应（刹车，加速，转向等）所花的时间。车辆都是同质的，也就是说都拥有相同的 L, a+, a,abrake、所有的车辆都朝着一个正方向行进。所有的车辆都遵循最大速度上限 vmax。并且除非受到限制，一辆车要么以这个速度行驶，要么正加速以达到此速度。特别地，在收费广场邻近区域外的地方，所有的车辆都以速度 vmax行驶。除非受到限制，否则所有的车辆都以恒定的加速度 a+，a 来加速或减速。除非是在叉点或者汇合点，否则车辆不会尝试变道。也就是说，对于车辆C，k(t) 是一个分段的常值函数，只会在 x(t) = d 或 d时才改变。车辆 C倾向于其前端和最近的物体保持一定距离，从而如果 C以最大加速度abrake减速但却不会撞击到附近的物体。我们把这段距离称作安全距离。已知C的位置,根据车辆 C位置加上安全距离 G从而确定安全位置。如果车辆 C的安全位置和最近的安全风险不产生重叠，那么我们就可以把车辆 C视作不受限的。一辆汽车能够直接估计自己以及前面的车辆的位置和速度和汇合点的距离。如果车辆 C和一个静止车辆的距离足够小达到 E，那么 C停止。最小值 E固定。对于每辆汽车都存在延迟，反应时间，即是指需要减速/加速的时间和实际作出调整的时间的差。Green 将反应时间分成三种。涉及到我们的场景的有，预计反应时间 t 和意外反应时间 （定义见上文）。尽管实际中每个人的反应时间存在差异，我们做出这样一个简化假设：所有的车辆都有同样的反应时间：t = 1 s， =2 s。反应时间为将时间离散为间隔为 t提供了最够的理由。司机不可能反应的更快。安全距离我们提出了针对于车辆 C的安全距离 G的公式，主要取决于最近的威胁 C的速度。令 C，C的实时速度为 v1,v2.现假设 C以加速度 abrake减速。在时间v2/abrake后，车辆 C停止。同时它行驶了距离：如果在意外反应时间 后才是刹车，它将在时间 + v1/abrake内停下，经过距离：因此在过去的时间里，C 和 C间的距离将减少：因而这是 C 前端和 C尾部避免撞击的最小距离。考虑到车辆长度 C，C 和 C间的最小距离，也就是安全距离是：现假设最近的威胁是一个障碍，特别地，汇合点。与其以最大加速度 abrake减速，车辆 C 希望保持安全距离 G 从而能用正常减速度 a减速。现在既然减速方式已知，车辆 C 会选择以正常舒适加速度 a减速。并且由于车辆 C 此时面临的事件为预计事件，反应时间是 t。又已知障碍的速度和长度皆为零。安全距离为：个体车辆的行为一辆车可能会在以下几种情形：安全距离内不存在车辆或障碍，也就是说 C 是不受限制的。自然而然的，除非达到速度上限 vmax，C 将以加速度 a+加速。在刹车距离内有收费站，因为这是预计事件所以汽车以加速度 a-减速。另一辆车 C在安全距离内，所以 C 以加速度 c 减速这样在下一个时间点，C就不在安全距离之内。C 对 c 的取值取决于速度 v1,v2,位置，x1,x2.如果C 假定 C仍然以相同速度前进，那么在下一个时间点 t，新的位置和速度是：新的安全距离为：为了让 C2 的新位置不在安全距离之内，我们必须使得：代入等式中我们便可得到：解出 c 的公式和 C 位于 C后的情形下的平方根，我们可以得到：汇合点在在安全距离范围内。安全距离的等式不同于之前的汽车追击问题（使用 abrake和 ）而是 a和 t。因此，根据上文里相同的理由，加速度为：最后，只要我们确定了 C的新加速度 ，我们就能改变它下一个时间点的位置和速度如下（令 x,v,x,v分别为新旧速度和位置）：计算延迟的时间我们通过将车辆通过收费广场的过程分为几个步骤来计算 C的延迟时间 T。第一个阶段是车辆临近收费站开始减速，第二个是重新汇合到高速车道，第三个是加速到达速度上限。基于我们之前的假设：车辆不更改车道并且车辆均匀分布在各车道中，车辆在叉点的分流不会耗费任何时间。我们发现进入一个收费站的过程可以拆分如下：从速度上限减速直到停止。我们假设车辆达到收费站车道和收费站时完全静止。因此车辆接近收费广场的第一个动作就是减速为零。以恒定加速度 a-，车在vmax/a-的时间里从速度上限减到零，行驶过的距离为 v2max/2a。线路分配当车辆接近收费广场时，它会被分到当时最短的序列。令 c1为在车道 i中汽车的数目。每辆汽车之间都相隔间距 e。因此只要排队线路长度小于 d，我们就可以得到派对线路的长度为 Li=ci*(L+e),其中 L为车辆的长度。如果 ci*(L+e)d，那么这条排队线路就会延伸到叉点区域，其中叉点区域有 m条车道而非 n条。现假设排队线路的长度大致相等，最小排队线路长度增加一辆小车，则排队车辆的总数目就增加 n。从而叉点区域的 m条车道每一条都会有额外二等 n/m辆汽车。Li遵循如下公式：通过收费站线路的运动车辆 C进入到收费站线路，如果它被指派的那条线路存在。也就是说长度 Li是正值。在这样的情况下，C 必须等待直到之前的整条线路上的车辆都接受过服务。令 Tserve为车辆在经过收费站服务后进入离开区域的时间。如果在汇合区域存在太多车辆以致于 C不能离开收费站，Tserve 就是之前的队伍离开的距离足够远，C 实际离开收费站的时间。在离开区域的运动有几种不同的可能情形会在离开区域发生：1.一旦 C进入离开区域，它就持续加速直到另外一辆汽车或者汇合点出现在安全距离内。2.如果另外一辆车 C进入到 C的安全距离，C 会减速跟着 C直到 C汇合，此时汇聚点刚好在安全距离之内。3.当 C的安全位置到达汇聚点时，如果遇到刚好前面有车则 C会减速从而避开汇合点和安全距离重合，把这个汇合点视作一个障碍。这是为了让其他已经开始汇合的车辆能够顺利完成汇合。4.当上述情况不存在时，C 汇合并且不受限地在离开区域加速直到达到速度上限。令 Tmerge为 C汇合的时间，Vout 为当时的速度。则有：5.根据（1），C 所经历的延迟是：多车辆交互模型我们现在来试着确定在一定时间内进入收费广场的一定数目的车辆的平均延迟时间。我们模拟一群车辆按着特定的时间表到达并且均分他们的延迟时间。这里有两个复杂事项：决定到达的时间表（不同车辆的分布）和两个变量Tmerge，Vout(在上文的延迟时间公式里出现)。为了能用计算机得到平均拖延时间，我们必须使用交通密度函数 （t）来产生车辆到达时间表。我们通过函数 随机指定到达时间从而产生车辆到达时间表。我们通过这份表格可以确定在指定时间点哪辆车开始减速。不幸的是这个任务并不如决定一辆车的到达时间小于现在时间点那样简单。到达时间表提供了不受限情况下车辆到达 0位置（高速公路上）的时间。我们希望得到当一辆车达到和收费站线路一定距离时的时间。也就是说给定一辆车在时间 t位于集合点（0 也就是收费站）,我们希望求得车辆通过收费站线路的前端时的 t。这就变成了一个伽利略相对论的问题，易知 t = t li(t)/vmax。现在 li(t)已知，我们可以精确得知车辆何时进入收费站线路。因为长度随车辆加入增加，离开减少，为了跟踪记录收费站线路的长度，我们用线路 2 和差等式来表示车辆流入：当车辆抵达时间到达时，我们立即将车辆分派到当时最短的收费站线路。我们引入正态分布（1/s,）。其中 s 是指服务速率， 的值为 1/6s。第二个在模拟多车辆过程之中需要考虑的是如何确定每辆车的 Tmerge,Vout.我们的时间点模型允许我们重复地更新每辆车从而在每个时间点决定单个车辆的行动。遵从之前模块的规则，我们精确的知道在何时怎样地加速(a+ )或者减速(c, o)。并且我们观察到收费站里的第一辆车接近汇合点时会加入到一个汇合队伍（和最多 n 个车辆）。唯一一次（在队伍中的）车辆不把队伍视作障碍（并减速）是当高速公路无车并且车辆被允许加速通过汇合点。当车道里的车加速 L +e 通过汇合点。给定一条 m 车道的高速公路，交通密度函数，各个常数值，凭借这个多车辆交互模型我们可以通过一种方法来计算收费站车道 n 的最佳数量。我们可以在有限范围内估算最佳数目 n 的可能取值。每一个 n 值都被我们代入进模型，计算每一辆车经历的延迟并将其平均到每辆车上从而取得平均拖延。之后我们比较每一个 n 值得平均拖延，选定最小的 n 使得平均延迟和最小值的差不大于1s。案例分析为了在测试中使用，常数和密度函数需要是合理确定的值。大部分的数据取自奥兰多 - 奥兰治县高速公路管理局2004和大量关于汽车的报告。我们先从几个关于交通密度函数的基本假设入手。1.为了决定最佳平均延迟，计算出选定的合适的一天的平均延迟即可满足，只当天存在高低密度的交通函数。这样做是合理的因为在大多是情况交通形势总是遵循相识的模式。因此我们限制 的定义域0, 3600 24。2.函数 （t）是分段常值函数，基于小时而变化。这样做是合理的，因为车辆是离散的， （t）是一个大量时间取平均的函数因而必定是分段常值函数。3.新出现的一辆车和之后的一辆车应该遵循标准正态分布。奥兰多 - 奥兰治县高速公路管理局的 2004年度报告让我们建立了一个用于测试的实时交通密度函数。报告包含了几条弗罗里达州公路每小时的车辆数量，之前被用于关于正常到达时间从而研究出车辆在高速公路上的到达时间表。我们对之前定义的常数假定了几个具有现实意义的值。(表格三)表格三测试中用到的常数的值常数名称 符号 值 舒适加速度 a+ 2 m/s2 舒适减速度 a 2 m/s2 急刹车减速度 abrake 8 m/s2 车辆长度 L 4 m 速度上限 vmax 30 m/s 线路行距 e 1 m我们的模型假设平均来看每一个收费站都在以一个大约为 s 辆车每秒的速度工作。但是每一种类型的收费站，人工操纵的，机器操纵的，激光操纵的（例如EZpass）都有不同的服务速率。我们尝试着通过求得一个复合值 s 来代表各种各种不同的收费站的服务速率。根据 Edie1954 年的研究，人工操纵的收费站平均等待时间（服务速率的倒数）是每辆汽车 12 秒，根据奥兰多 - 奥兰治县高速公路管理局的数据，他们的激光操纵收费站，也就是 Epass,的平均服务速率是每辆汽车 2秒。相似的，来自于德克萨斯州交通局 2001年关于休斯顿的统计数据显示：人工操纵收费站和机器操纵收费站的工作速率分别为每辆车 10秒和 7秒。观察这些数据可知合理地平均等待时间为每辆车 5秒，也就是说平均服务速率为 0.2辆车每秒。为了验证结论的正确性，我们考核了 6条弗罗里达州高速公路的每小时交通流量，从 2车道到 4车道和不同的交通流量（奥兰多 - 奥兰治县高速公路管理局）。我们使用这些数据来获取 （t）并且测试我们模型的不同组成部分。在模型调试之后，我们用我们的模型来确定最佳的收费站分布。我们观察了两个典型案例。一个半径为 250米的收费广场是相当标准的（奥兰多 - 奥兰治县高速公路管理局）。六条高速公路上的每小时交通密度都遵循相同的形式，他们主要在范围而非形态上出现差距。因此，我们将模型应用于这样的标准高速公路，4 车道 Holland West(高密度)和三车道 Bee Line(低密度)。我们将这些模型外推到从 1车道到 7车道的模型上。对于 m条车道，我们把数据调节为 m/4（Holland West）,m/3（Bee Line）。这样做能在增加接近收费广场的车辆总数时保持模型的形状和车辆密度。此处应有截图对交通模拟模型的验证基于最佳性的衡量标准，针对于不同的测试场景我们决定出最小的收费站数量使得每天的平均延迟时间和最小值的差不大于 1秒。具体数据见表 4。针对于三个收费广场的模拟接近于真是结果，其他的三个则只和标准值有些微差距。在 Dean Road的案例中，四个收费站（实际案例）而非五个收费站有着更长的平均等待时间（70s 相较于 25s）。针对于 Bee Line 和 Holland West的案例，差距至多只有 1 秒。这样的结果说明我们的模型大致符合真实世界。模型预测的最佳收费站数目和实际的收费站数目比较高速公路 收费站 比较 Hiawassee 相同 Parkway 相同 Dean Road 不同 Bee Line 接近 Holland West 接近 Holland East 相同 结果和讨论根据来自奥兰多 - 奥兰治县高速公路管理局的真实数据，我们设想出了 14种场景，从 1-7条车道的高低交通密度。对于每一个场景 n（收费站数目 n）我们测试了从 m（高速公路收费站数目）到 2m+2的每一个值（就经验来说我们发现这个范围之外的测试无意义）并发现在哪一个 n值有着最少的平均延迟时间。我们将我们关于最佳性的研究结果呈现与表格 5中。针对于高交通密度以及大于两条车道的情形，最佳收费站数目一般超过高速公路数目 50%，这样的数据看起来可以匹配收费广场的现行设计。针对低密度，最佳收费站数目等于高速公路车道数目。表格 5最佳收费站数目高密度 低密度车道 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 收费站 3 4 5 6 8 9 11 1 2 3 4 5 6 7 针对于高密度但却只有一样多的收费站和车道情形，平均延迟时间大约为500s，大约是最佳收费站数目的 20倍（25s）。所以我们强烈反对在高密度情形下建造一样多的车道和收费站。但如果是低密度情形那么这是合理的（22s）。进一步研究为了更精确的模拟真实世界的场景，我们可以：考虑异质的车辆和收费站的效应。把车辆，有着自己的尺寸和加速度，而非只有汽车纳入考量。将广场半径设为变量。模型的优点多车辆交互模型的优点主要是来自我们对单车辆行为全面真实的研究。安全距离以及加速度选择，预计情况和意外情况的发生都能在交通理论中找到支撑Gartner 1992。 汇合点的主意以及一辆车在接近汇合点时的行为都是在模仿实际中道路行驶权的应用和小心接近车道汇合点。我们关于时间点的假设真实地满足了普通决策所需要的条件，使得我们不仅可以在局部，细微的范围理解收费广场的全貌，还可以理解到整体的趋势。最后，通过允许对服务时间和到达时间里的特定元素使用正态分布，我们得以理解在交通里的一些不确定性。我们模型的一个重大优势便是结果的准确性，我们的模型满足了我们之前所有的期望还预测了非常接近现实世界的最佳收费站数目，意味着我们的模型接近于真实世界。最后多车辆交互模型为进一步改善提供了一个通用模型，例如修改后的单车辆行为，不同类型的收费站和不同的服务速率。模型的弱点在真实世界中，一辆位于中心车道的车辆较位于边缘位置的车更容易汇合，但是这种行为并没能在模型中体现。除叉点和汇合点外，我们