概率论与数理统计模拟试题a

概率论与数理统计模拟试题 A一、单项选择题（每小题 3 分，共 9 分）1. 打靶 3 发，事件 表示“击中 i 发” ， i = 0， 1， 2， 3。 那么事 件 表 示 ( )。( A ) 全 部 击 中 ； ( B ) 至少有一发击中；( C ) 必 然 击 中； ( D ) 击 中 3 发2.设离散型随机变量 x 的分布律为 则 常 数 A 应 为 ( )。 ( A ) ； ( B ) ； (C) ； (D) 3.设随机变量 ，服从二项分布 B ( n， p )，其中 0 0，则由乘法公式知 P(AB) =_2.设 且 有 ,则 =_。3.某柜台有 4 个服务员 ，他们是否需用台秤是相互独立的，在 1 小时内每人需用台秤的概率为 ，则 4 人中至多 1 人需用台秤的概率为 ： _。4.从 1，2，10 共十个数字中任取一个 ，然后放回 ，先后取出 5 个数字 ，则所得 5 个数字全不 相同的事件的概率等于 _。三、（10 分）已知 ， 求证 四、（10 分）5 个零件中有一个次品 ，从中一个个取出进行检查 ，检查后不放回 。直到查到 次品时为止 ，用 x 表示检查次数 ，求 的分布函数 ： 五、（11 分）设某地区成年居民中肥胖者占 10% ,不胖不瘦者占 82% ,瘦者占 8% ,又知肥胖者患高血压的概率为 20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为 10% ,瘦者患高血压病的概率为 5%, 试求 ： ( 1 ) 该地区居民患高血压病的概率; ( 2 ) 若知某人患高血压, 则他属于肥胖者的概率有多大？六、（10 分）从两家公司购得同一种元件，两公司元件的失效时间分别是随机变量 和 ，其概率密度分别是 ： 如果 与 相互独立，写出 的联合概率密度，并求下列事件的概率 :( 1 ) 到时刻 两家的元件都失效(记为 A)，( 2 ) 到时刻 两家的元件都未失效(记为 B)，( 3 ) 在时刻 至少有一家元件还在工作(记为 D)。七、（7 分）证明：事件在一次试验中发生次数 x 的方差一定不超过 。八、（10 分）设 和 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 又知随机变量 , 试求 w 的分布律及其分布函数 。九、（11 分）某厂生产的某种产品，由以往经验知其强力标准差为 7.5 kg 且 强力服从正态分布，改用新原料后，从新产品中抽取 25 件作强力试验，算得 ， 问新产品的强力标准差是否有显著变化 ？ ( 分别取 和 0.01， 已知 ，）十、（11 分）在考查硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同的温度观察它在 100ml 的水中溶解的硝酸钠的重量，得观察结果如下：从经验和理论知 与 之间有关系式 且各 独立同分布于 。 试用最小二乘法估计 a , b. 概率论与数理统计模拟试题 A 解答一、单项选择题1. （B）; 2. (B); 3.(D)二、填空题1. P(B)P(A|B); 2. 0.3174; 3. ; 4. =0.3024三、解 ： 因 ， 故可取 其中 u N ( 0， 1 ) ， ， 且 u 与 y 相互独立 。 从而 与 y也相互独立 。 又由于 于是 四、 的分布律如下表：五、 ( i= 1，2， 3 ) 分别表示居民为肥胖者 ，不胖不瘦者，瘦者B ： “ 居民患高血压病 ”则 ， ， ， ， 由全概率公式 由贝叶斯公式 ，六、(x , h)联合概率密度( 1 ) P(A) = ( 2 ) ( 3 ) 七、证 一 ： 设事件 A 在一次试验中发生的概率为 p ，又设随机变量 则 ， 故 证二 ： 八、因 为 所以 w 的分布律为w 的分布函数为 九、要检验的假设为 ： ； 在 时 ， 故在 时 ，拒绝 认为新产品的强力的标准差较原来的有显著增大 。 当 时 ， 故 在 下 接 受 ，认为新产品的强力的标准差与原来的显著差异 。 注: ： 改 为 ： 也 可 十、 概率论与数理统计模拟试题 B一、单项选择题（每小题 3 分，共 9 分）1. 现有 5 个灯泡的寿命 独立同分布且 ( i = 1，2， 3，4，5 ) ，则 5 个灯泡的平均寿命 的方差 ( ) 。 ( A ) 5b; ( B ) b; ( C ) 0.2b; ( D ) 0.04b2. 是 ( C 是常数)的( ) 。( A ) 充分条件,但不是必要条件；( B ) 必要条件，但不是充分条件； ( C ) 充分条件又是必要条件；( D ) 既非充分条件又非必要条件；3. 离散型随机变量 的分布律为 ,( k = 1，2，),的充分必要条件是( )。( A ) b 0 且 ； ( B ) 且 ；( C ) b = 且 ； ( D ) 且 b 0；二、填空题（每小题 3 分，共 12 分）1. 甲乙两人独立地向目标射击一次,他们的命中率分别为 0.75 及 0.6。现已知目标被命中，则 它是甲和乙共同射中的概率是_。2.从 1，2，10 共十个数字中任取一个，然后放回,再依次取出 4 个数字 ，则所得 5 个数字全不相同的事件的概率等于 _。3. 设 A , B 是两个相互独立的随机事件，且 知 ， 则 = _。4. 设 A,B 为两个随机事件，且 P(B) 0，则由乘法公式知 P(AB) =_。 三、（10 分）设 相互独立，均服从 0-1 分布， 且 .求 的概率分布。四、（10 分）对同一目标进行三次独立射击，第一、二、三次射击的命中概率分别为 0.4 、 0.5、0.7，试求至少有一次击中目标的概率 。五、（10 分）某产品的件重近似服从正态分布 ,随机抽取 17 件算出样本均值 (克), 样本方差 =6.20 ( ) 求总体均值 的95%的置信区间 .(注 : , ）六、（8 分）设二维随机变量 的概率分布为与 是否相互独 立？ 七、（10 分）设随机变量服从 指数分布 ，其概率密度为 其 中 是 常 数. 求证： 八、（10 分）在考查硝酸钠的可溶性程度时 ，对一系列不同的温度观察它在100ml 的水中溶解的硝酸钠的重量 ，得观察结果如下：从经验和理论知 与 之间有关系式 ： 且各 独立同分布于 。 试用最小二乘法估计 a , b. 九、（10 分）某种电子元件的寿命 x 的概率密度 某总机使用 150 小时内 ,上述三个元件都不失效的概率是多少？三个元件都失效的概率是多少 ？十、（11 分）两台机床加工同样的零件 ，第一台出现废品的概率为 0.05 ，第二台出现废品的概率为 0.02 ，加工的零件混放在一起 ，若第一台车床与第二台车床加工的零件数为 5 : 4，求( 1 ) 任意地从这些零件中取出一个为合格品的概率 ； ( 2 ) 若已知取出的一个零件为合格品 ，那么，它是由哪台机床生产的可能性较大？概率论与数理统计模拟试题 B 解答一、单项选择题1. (C); 2. (C); 3.(D) 二、填空题1. 0.5; 2. =0.3024 ; 3. ; 4. P(B)P(A|B)三、 四、P = 1 - P三次均未击中 = 1 - (1 - 0.4)(1 - 0.5)(1 - 0.7)= 0.9 五、 均 值 的 95%的 置 信 区间 为 ： (507.75 - 3.29 , 507.75 + 3.29) = (504.46 , 511.04) 六、 ， 的边缘分布率分别为显然 1，2，3 所以 与 不独立 。七. E = 八， 九、记第 i 支电子元件的寿命为 ( i =1，2，3 )P 三个元件都不失效 = P 三个元件都失效= 十 ( i =1,2) “ 所取的零件由第 i 台机床加工 ” B “ 取出的零件为合格品 ; 则由全概率公式 由贝叶斯公式 故它由第一台机床生产可能性较大 概率论与数理统计模拟试题 C一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）1 设 A， B， C 是随机事件， 则 A， B， C 三个事件恰好出现一个的概率为_。2 设 X， Y 是两个相互独立同服从正态分布 的随机变量，则E(|X-Y|)=_。3 是总体 X 服从正态分布 N ，而 是来自总体 X 的简单随机样本，则随机变量 服从_ ，参数为_。4 设随机变量 X 的密度函数 ，Y 表示对 X 的 5 次独立观察终事件 出现的次数，则 DY=_。5 设总体 X 的密度函数为 是来自 X 的简单随机样本，则 X 的最大似然估计量 _。二、选择题（每小题 3 分，共 15 分）1设 ,则下列结论成立的是（ ）（A） 事件 A 和 B 互不相容；（B） 事件 A 和 B 互相对立；（C） 事件 A 和 B 互不独立；（D） 事件 A 和 B 互相独立。2将一枚硬币重复郑 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则X 与 Y 的相关系数等于（ ）。（A）-1 （B）0 （C）1/2 （D）13设 分别为随机变量 的分布函数，为使 是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组值中应取（ ）。3设 是来自正态总体 的简单随机样本， 是样本均值，记 则服从自由度为 n-1 的 t 分布随机变量为（ ）。5设二维随机变量 （ X， Y） 服从二维正态分布，则随机变量 不相关的充分必要条件为（ ）。三、（本题满分 10 分）假设有两箱同种零件，第一箱内装 50 件，其中 10 件一等品，第二箱内装 30 件，其中 18 件一等品。现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取两个零件（取出的零件均不放回），试求：（1） 先取出的零件是一等品的概率；（2） 在先取出的零件是一等品的下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率。四、（本题满分 10 分）假设在单位时间内分子运动速度 X 的分布密度为 ，求该单位时间内分子运动的动能 的分布密度，平均动能和方差。五、（本题满分 10 分）设随机变量 X 与 Y 独立，同服从0,1上的均匀分布。试求：六、（本题满分 10 分）某箱装有 100 件产品，其中一、二和三等品分别为 80件、10 件、10 件，现从中随机抽取，记 ，试求：（1）随机变量 的联合分布；（2）随机变量 的相关系数。七、（本题满分 15 分）设总体 X 的密度函数为 是来自 X 的简单随机样本，试求：八、（本题满分 15 分）某化工厂为了提高某种化学药品的得率，提出了两种工艺方案，为了研究哪一种方案好，分别对两种工艺各进行了 10 次试验，计算得假设得率均服从正态分布，问方案乙是否能比方案甲显著提高得率 ？ 概率论与数理统计模拟试题 C 解答概率论与数理统计模拟试题 D一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）1甲、乙二人独立地向同一目标射击一次，其命中率分别为 0.6 和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲命中的概率是_。2设 X 和 Y 为两个随机变量，且 ，则 。3设随机变量 X 与 Y 独立， ,且 ，则 。4设 是来自正态总体 N（0，1）的简单随机样本，令 为使 服从 分布，则 a=_,b=_.5设由来自正态总体 的一个容量为 9 的简单随机样本计算得样本均值为 5，则未知数 的置信度为 0.95 的置信区间为_。二、选择题（每小题 3 分，共 15 分）1当事件 A 与事件 B 同时发生时，事件 C 必发生，则（ ）。2设随机变量 X 服从指数分布，则随机变量 Ymin（X，2）的分布函数（ ）。（A）是连续函数； （B）至少有两个间断点；（C）是阶梯函数； （D）恰好有一个间断点。3设随机变量 X 和 Y 独立同分布，记 UXY，VX +Y ,则随机变量 U 与 V也（ ）。（A）不独立； （B）独立；（C）相关系数不为零； （D）相关系数为零。4设总体 X 服从正态 分布， 是来自 X 的简单随机样本，为使 是 的无偏估计量，则 A 的值为（ ）。5对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平 下，接受假设 ，则在显著水平 下，下列结论中正确的是（ ）。（A）必接受 ； （B）可能接受，也可能有拒绝 ；（C）必拒绝 ； （D）不接受，也不拒绝 。三、（本题满分 10 分）三架飞机：已架长机两架僚机，一同飞往某目的地进行轰炸，但要到达目的地，一定要有无线电导航。而只有长机有此设备。一旦到达目的地，各机将独立进行轰炸，且每架飞机炸毁目标的概率均为 0.3。在到达目的地之前，必须经过高射炮阵地上空。此时任一飞机被击落的概率为0.2，求目标被炸毁的概率。四、（本题满分 10 分）使用了 小时的电子管在以后的 小时内损坏的概率等于 ，其中 是不依赖于 的数，求电子管在 T 小时内损坏的概率。五、（本题满分 10 分）设随机变量 X 与 Y 独立同服从参数为 1 的指数分布。证明 相互独立。六、（本题满分 10 分）设二维随机变量（X，Y）的联合密度函数为 （1） 计算 ;（2） 求 X 与 Y 的密度函数；（3） 求 ZXY 的密度和函数。七、（本题满分 15 分）设总体 X 服从正态 分布， 是来自 X 的一个样本， 是未知参数。（1） 区域 的最大似然估计量 ；（2） 是否是 的有效估计？为什么？八、（本题满分 15 分）设有线性模型其中 相互独立，同服从正态 分布：（1） 试求系数 的最小二乘估计；（2） 求 的无偏估计量；（3） 求构造检验假设 的统计量。概率论与数理统计模拟试题 D 解答考研试题 A1999 年全国硕士研究生入学考试数学试题三（四）（概率统计部分）一、 填空题（每小题 3 分）（4）在天平上重复称量一重为 a 的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布 若以 表示 n 次称量结果的算术平均值，则为使n 的最小值应不小于自然数_.(5)设随机变量 (i,j=1,2,n;n1)独立同分布， , 则行列式 的数学期望 EY=_.二、选择题（每小题 3 分）(5) 在电炉上安装了 4 个温控器，其显示温度的误差是随机的。在使用过程中,只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 t0，电炉就断电。以 E 表示事件“电炉断电”，设 为 4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件 E 等于（ ）。(A) ; (B) ；(C) ； (D) 十一、（8 分）设 0.05，1.25，0.80，2.00 是来自总体 X 的简单随机样本值，已知 Y=lnX 服从正态分布 N(,1).（1） 求 X 的数学期望 E(X),(记 E(X)为 b).（2） 求 的置信度为 0.95 置信区间.（3）; 利用上述结果求 b 的置信度为 0.95 置信区间.十二、（8 分）设 A,B 是二随机事件，随机变量试证明随机变量 X 和 Y 不相关的充分必要条件是 A 与 B 相互独立。解 答一、 填空题（4）1,3；（5）8/9二、 选择题 （5）C十一、（1）Y 的概率密度函数为于是 (2)当置信度 时，标准正态分布的分位数为 1.96，由于 ，所以其中 从而（-0.98，0.98）就是 的置信度为 0.95 置信区间.（3）由于函数 严格单调增加，所以 b 的置信度为 0.95 置信区间是( ) .十二、记 ,由数学期望的定义，知由于 XY 只有两个可能值 1 和-1，所以从而， 因此，Cov(X,Y)=0 当