数学九年级下册教学设计［全册］

1第一章 直角三角形的边角关系第 1 课时1.1.1 锐角三角函数教学目标1、 经历探索直角三角形中边角关系的过程2、 理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明3、 能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比4、 能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算教学重点和难点重点：理解正切函数的定义难点：理解正切函数的定义教学过程设计 从学生原有的认知结构提出问题直角三角形是特殊的三角形，无论是边，还是角，它都有其它三角形所没有的性质。这一章，我们继续学习直角三角形的边角关系。 师生共同研究形成概念1、 梯子的倾斜程度在很多建筑物里，为了达到美观等目的，往往都有部分设计成倾斜的。这就涉及到倾斜角的问题。用倾斜角刻画倾斜程度是非常自然的。但在很多实现问题中，人们无法测得倾斜角，这时通常采用一个比值来刻画倾斜程度，这个比值就是我们这节课所要学习的倾斜角的正切。1） （重点讲解）如果梯子的长度不变，那么墙高与地面的比值越大，则梯子越陡； 2） 如果墙的高度不变，那么底边与梯子的长度的比值越小，则梯子越陡；3） 如果底边的长度相同，那么墙的高与梯子的高的比值越大，则梯子越陡；通过对以上问题的讨论，引导学生总结刻画梯子倾斜程度的几种方法，以便为后面引入正切、正弦、余弦的概念奠定基础。2、 想一想（比值不变）想一想 书本 P 2 想一想通过对前面的问题的讨论，学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度。当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定。这一比值只与倾斜角2的大小有关，而与直角三角形的大小无关。3、 正切函数（1） 明确各边的名称（2） 的 邻 边的 对 边Atan（3） 明确要求：1）必须是直角三角形；2）是A 的对边与A 的邻边的比值。巩固练习 a、 如图，在ACB 中，C = 90，1） tanA = ；tanB = ；2） 若 AC = 4，BC = 3，则 tanA = ；tanB = ；3） 若 AC = 8，AB = 10，则 tanA = ；tanB = ；b、 如图，在ACB 中，tanA = 。 （不是直角三角形）（4） tanA 的值越大，梯子越陡4、 讲解例题例 1 图中表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？分析：通过计算正切值判断梯子的倾斜程度。这是上述结论的直接应用。例 2 如图，在ACB 中，C = 90，AC = 6， 43tanB，求 BC、AB 的长。分析：通过正切函数求直角三角形其它边的长。 随堂练习5、书本 P 4 随堂练习 小结正切函数的定义。 作业 书本 P4 习题 1.1 1、2、4。AB CABC A A ABC8m 5m 5m13mAB C3第 2 课时1.1.2 锐角三角函数教学目标5、 经历探索直角三角形中边角关系的过程6、 理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明7、 能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比8、 能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算教学重点和难点重点：理解正弦、余弦函数的定义难点：理解正弦、余弦函数的定义教学过程设计 从学生原有的认知结构提出问题上一节课，我们研究了正切函数，这节课，我们继续研究其它的两个函数。 复习正切函数 师生共同研究形成概念6、 引入书本 P 7 顶7、 正弦、余弦函数 斜 边的 对 边Asin， 斜 边的 邻 边Acos巩固练习 c、 如图，在ACB 中，C = 90，1） sinA = ；cosA = ；sinB = ；cosB = ；2） 若 AC = 4，BC = 3，则 sinA = ；cosA = ；3） 若 AC = 8，AB = 10，则 sinA = ；cosB = ；d、 如图，在ACB 中，sinA = 。 （不是直角三角形 ）8、 三角函数锐角A 的正切、正弦、余弦都是 A 的三角函数。9、 梯子的倾斜程度sinA 的值越大，梯子越陡；cosA 的值越大，梯子越陡10、 讲解例题例 3 如图，在 RtABC 中，B = 90，AC = 200， 6.0sinA，求 BC 的长。分析：本例是利用正弦的定义求对边的长。例 4 如图，在 RtABC 中，C = 90，AC = 10， 132co，求 AB 的长及 sinB。分析：通过正切函数求直角三角形其它边的长。 随堂练习11、 书本 P 随堂练习 小结正弦、余弦函数的定义。ABC A A ABC AB CA BCABC4 作业 书本 P 6 习题 1、 2、3、4、5第 3 课时1. 2 30、45、60角的三角函数值教学目标9、 经历探索 30、45、60角的三角函数值的过程，能够进行有关推理，进一步体会三角函数的意义10、 能够进行含有 30、45、60角的三角函数值的计算11、 能够根据 30、45、60角的三角函数值，说出相应的锐角的大小教学重点和难点重点：进行含有 30、45、60角的三角函数值的计算难点：记住 30、45、60角的三角函数值教学过程设计 从学生原有的认知结构提出问题上两节课，我们研究了正切、正弦、余弦函数，这节课，我们继续研究特殊角的三角函数值。 师生共同研究形成概念12、 引入书本 P 8 引入本节利用三角函数的定义求 30、45、60角的三角函数 值，并利用这些值进行一些简单计算。13、 30、 45、 60角的三角函数值通过与学生一起推导，让学生真正理解特殊角的三角函数值。度数 sin cos tan30 2123345 160 23213要求学生在理解的基础上记忆，切忌死记硬背。ABCAB C514、 讲解例题例 5 计算：（1）sin30+ cos45； （2） 30cos1； （3） 45cos60sini； （4） 45tan6in22 。分析：本例是利用特殊角的三角函数值求解。例 6 填空：（1）已知A 是锐角，且 cosA = 1，则A = ，sinA = ；（2）已知B 是锐角，且 2cosA = 1，则B = ；（3）已知A 是锐角，且 3tanA 3= 0，则A = ；例 7 一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为 2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为 60，且两边的摆动角相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差。分析：本例是利用特殊角的三角函数值求解的具体应用。例 8 在 Rt ABC 中，C = 90， ca32，求 ，B、A。分析：本例先求出比值后，利用特殊角的三角函数 值，再确定角的大小。 随堂练习15、 书本 P 9 随堂练习 小结要求学生在理解的基础上记忆特殊角的三角函数值，切忌死记硬背。 作业 书本 P 9 习题 1.3 1、2、3、4、AB COD61.3 三角函数的有关计算教学目标：1、经历用计算器由三角函数值求相应锐角的过程，进一步体会三角函数的意义2、能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题教学重点1经历用计算器由三角函数值求相应锐角的过程，进一步体会三角函数的意义2能够利用计算器进行有关三角函数值的计算教学难点把实际问题转化为数学问题教学过程：一、导入新课生活中有许多问题要运用数学知识解决。本节课我们共同探讨运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题1.3、三角函数的有关计算二、讲授新课引入问题 1：会当凌绝顶，一览众山小，是每个登山者的心愿。在很多旅游景点，为了方便游客，设立了登山缆车。如图，当登山缆车的吊箱经过点 A 到达点 B 时，它走过了200m，已知缆车行驶的路线与水平面的夹角 03。那么缆车垂直上升的距离是多少?分析：在 RtABC 中，30，AB=200 米，需求出 BC.根据正弦的定义，sin30= 20BCA,BCABsin30200 1=100(米).引入问题 2：当缆车继续由点 B 到达点 D 时，它又走过了 200 m，缆车由点 B 到点 D 的行驶路线与水平面的夹角是45，由此你能想到还能计算什么?分析：有如下几种解决方案：方案一：可以计算缆车从 B 点到 D 点垂直上升的高度.方案二：可以计算缆车从 A 点到 D 点，垂直上升的高度、水平移动的距离.三、变式训练，熟练技能1、一个人从山底爬到山顶，需先爬 40的山坡 300 m，再爬 30的山坡7100 m，求山高.( sin400.6428，结果精确到 0.01 m)解：如图，根据题意，可知BC=300 m，BA=100 m，C=40，ABF=30.在 RtCBD 中，BD=BCsin403000.6428192.84(m)；在 RtABF 中，AF=ABsin30=100 21=50(m).所以山高 AE=AF+BD192.8+50242.8(m).2、求图中避雷针的长度 。 （参考数据：tan561.4826，tan501.1918)解：如图，根据题意，可知AB=20m，CAB=50，DAB=56在 RtDBA 中，DB=ABtan56 201.482629.652(m)；在 RtCBA 中，CB=ABtan50 201.1918=23.836(m).所以避雷针的长度 DC=DB-CB29.652-23.8365.82(m).四、合作探究随着人民生活水平的提高，农用小轿车越来越多，为了交通安全，某市政府要修建 10m 高的天桥，为了方便行人推车过天桥，需在天桥两端修建40m 长的斜道(如图所示)。 这条斜道的倾斜角是多少？探究 1：在 Rt ABC 中， BC m， AC m，sinA 探究 2：已知 sinA 的值，如何求出A 的大小？请阅读以下内容，学会用计算器由锐角三角函数值求相应锐角的大小已知三角函数求角度，要用到 sin、 cos、 tan 键的第二功能“sin1 ，cos 1 ，tan 1 ”和 2ndf 键探究 3：你能求出上图中 A 的大小吗？解：sin A 4 （化为小数） ，三、巩固训练1、如图，工件上有一 V 形槽，测得它的上口宽 20mm，深 19.2mm，求 V 形角(ACB)的大小(结果精确到 1) 2、如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤已知肿瘤在皮下 6.3cm 的 A 处，射线从肿瘤右侧 9.8cm 的 B 处进入身体，求射线的入射角度83、某段公路每前进 1000 米，路面就升高 50 米，求这段公路的坡角 4、一梯子斜靠在一面墙上已知梯长 4m，梯子位于地面上的一端离墙壁 2.5m，求梯子与地面所成的锐角五、随堂练习：P,14 1、2、3、4、六、作业：p15 1 至 6 题1.4 解直角三角形一、教学目标1.知道解直角三角形的概念、理解直角三角形中五个元素的关系。2.通过综合运用勾股定理，掌握解直角三角形，逐步形成分析问题、解决问题的能力.3渗透数形结合的数学思想，养成良好的学习习惯二、教学重点及难点教学重点：掌握利用直角三角形边角关系解直角三角形教学难点：锐角三角比在解直角三角形中的灵活运用三、教学用具准备黑板、多媒体设备.四、教学过程设计一、创设情景引入新课：如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中倒下，树干断处离地面 3 米且树干与地面的夹角是 30。大树在折断之前高多少米？ 由 30直角边等于斜边的一半就可得 AB=6 米。分析树高是 AB+AC=9 米。由勾股定理容易得出 BC 的长为 3 米。当然对于特殊锐角的解题用几何定理比较简单，也可以用锐角三角函数来解此题。二、知识回顾问题：1在一个三角形中共有几条边？几个内角?（引出“元素”这个词语）2直角三角形 ABC 中，C=90， a、 b、 c、A、B 这五个元素间有哪些等量关系呢？讨论复习师白：RtABC 的角角关系、三边关系、边角关系分别是什么？总结：直角三角形的边、角关系（板书）(PPT)(1)两锐角互余AB90；(2)三边满足勾股定理 a2b 2c 2；(3)边与角关系三、学习新课、例题分析例题 1 在 RtABC 中，C=90 0，B=38 0，a=8，求这个直角三角形的其它边和角.分析：如图，本题已知直角三角形的一个锐角和一条直角边，那么首先要搞清楚这两个元素的位置关系，再分析怎样用合适的锐角三角比解决问题，在本题中已知边是已知角的邻边，所以可以用的锐角三角比是余弦和正切.（板书）解：C=90 0 A +B=90 0A=90 0B=90 038 0=520cosB= c= =tanB=9b=atanB=8tan38 06.250另解：cotB= b= 注意:在解直角三角形的过程中,常会遇到近似计算,除特别说明外,边长保留四个有效数字.学习概念定义：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.例题分析例题 2 在 RtABC 中，C=90 0，c=7.34，a=5.28，解这个直角三角形.分析：本题如图，已知直角三角形的一条直角边和斜边，当然首先用勾股定理求第三边，怎样求锐角问题，要记住解决问题最好用原始数据求解，避免用间接数据求出误差较大的结论.（板书）解：C=90 0，a 2b 2c 2b=sinA=A 46 0 0B=90 0A90 046 0 0=44 0 0.例题 3（见教材 p16）注意:在解直角三角形的过程中,常会遇到近似计算,除特别说明外,边长保留四个有效数字,角度精确到 1。4、学会归纳通过上述解题，思考对于一个直角三角形,除直角外的五个元素中,至少需要知道几 个元素,才能求出其他元素？想一想：如果知道两个锐角，能够全部求出其他元素吗？如果只知道五个元素中的一个元素,能够全部求出其他元素吗?归纳结论：在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余三个元素.说明 我们已掌握 RtABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情5、请找出题中的错误，并改正已知:如图，在 RtABC 中, C=90,由下列条件,解直角三角形:(结果保留根号)101.5 三角函数的应用教学目标：111.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.教学重点：1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力.教学难点：根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.教学用具：小黑板 三角板教学方法：探索发现法教学过程一、问题引入：海中有一个小岛 A，该岛四周 10 海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在 A岛南偏西 55的 B 处，往东行驶 20 海里后，到达该岛的南偏西 25的 C 处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行 交流.二、解决问题：1、如图，小明想测量塔 CD 的高度.他在 A 处仰望塔顶，测得仰角为 30，再往塔的方向前进 50m 至 B 处.测得仰角为 60.那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果精确到 1 m)2、某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由 40减至 35，已知原楼梯长为 4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面?(结果精确到 0.0l m)12【作业设计】 1.如图，一灯柱 AB 被一钢缆 CD 固定，CD 与地面成 40夹角，且 DB5 m，现再在 C 点上方 2m 处加固另一条钢缆 ED，那么钢缆 ED 的长度为多少?2如图，某货船以 20 海里时的速度将一批重要物资由 A 处运往正西方向的 B 处，经 16 小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40 海里时的速度由 A 向北偏西 60方向移动，距台风中心 200 海里的圆形区域(包括边界)均受到影响.(1)问：B 处是否会受到台风的影响?请说明理由.(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据：21.4，31.7)【板书设计】三角函数的有关计算提出问题：如何三角函数值，求相应的锐角 例 触礁问题 随堂练习讲解科学计算器的应用 例 楼梯问题 课堂小结课堂作业 131.6 测量物体的高度教学目标知识与技能目标能够设计方案、步骤，能够说明测量的理由，能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题.过程与方法目标经历活动设计方案，自制仪器过程；通过综合运用直角三角形边角关系的知识，利用数形结合的思想解决实际问题，提高解决问题的能力。情感与价值观要求通过积极参与数学活动过程，培养不怕困难的品质，发展合作意识和科学精神.教学重点、难点设计活动方案、自制仪器的过程及学生学习品质的培养。教具准备自制测倾器(或经纬仪、测角仪等)、皮尺等测量工具.教学过程提出问题，引入新课现实生活中测量物体的高度，特别像旗杆、高楼大厦、塔等较高的不可到达的物体的高度，需要我们自己去测量，自己去制作仪器，获得数据，然后利用所学的数学知识解决问题.请同学们思考小明在测塔的高度时，用到了 哪些仪器? 有何用途? 如何制作一个测角仪？它的工作原理是怎样 的？活动一：设计活动方案，自制仪器首先我们来自制一个测倾器(或测角仪、经纬仪等).一 般的测倾器由底盘、铅锤和支杆组成.下面请同学们以组为单位， 分组制作如图所示的测倾器.制作测角仪时应注意什么?支杆的中心线、铅垂线、0 刻度线要重合，否则测 出的角度就不准确.度盘的顶线 PQ 与支杆的中心线、铅垂线、0 刻度线要互相垂直，并且度盘有一个旋转中心是铅垂线与 PQ 的交点.当度盘转动时，铅垂线始终垂直向下.一个组制作测角仪，小组内总结，讨论测角仪的使用步骤)活动二：测量倾斜角（1）.把测角仪的支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的 0刻度线重合，这时度盘的顶线 PQ 在水平位置.（2）.转动度盘，使度盘的直经对准较高目标 M，记下此时铅垂线指的度数.那么这个度数就是较高目标 M 的仰角.问题 1、它的工作原理是怎样的？如图，要测点 M 的仰角，我们将支杆竖直插入地面， 使支杆的中心线、铅垂线和度盘的 0刻度线重合，这时度 盘的顶线 PQ 在水平位置.我们转动度盘，使度盘的直径对准 目标 M，此时铅垂线指向一个度数.即BCA 的度数.根据图形 我们不难发现BCA+ECB90，而MCE+ECB=1490，即BCA、MCE 都是ECB 的余角，根据同角的余角相等，得BCAMCE.因此读出BCA 的度数，也就读出了仰角MCE 的度数.问题 2、如何用测角仪测量一个低处物体的俯角呢?和测量仰角的步骤是一样的，只不过测量俯角时，转动度盘，使度盘的直径对准低处的目标，记下此时铅垂线所指的度数，同样根据“同角的余角相等” ，铅垂线所指的度数就是低处的俯角.活动三：测量底部可以到达的物体的高度.“底部可以到达” ，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体底部之间的距离.要测旗杆 MN 的高度，可按下列步骤进行：(如下图)1.在测点 A 处安置测倾器(即测角仪)，测得 M 的仰角MCE=.2.量出测点 A 到物体底部 N 的水平距离 ANl.3.量出测倾器(即测角仪)的高度 ACa(即顶线 PQ 成水平位置时，它与地面的距离).根据测量数据，就能求出物体 MN 的高度.在 RtMEC 中，MCE=，AN=EC=l，所以 tan= EC，即 ME=tanaECltan.又因为 NEACa，所以 MNME+ENltan+a.活动四：测量底部不可以到达的物体的高度.所为“底部不可以到达” ，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.例如测量一个山峰的高度.可按下面的步骤进行(如图所示)：1.在测点 A 处安置测角仪，测得此时物体 MN 的顶端M 的仰角MCE.2.在测点 A 与物体之间的 B 处安置测角仪(A、B 与 N 都在同一条直线上)，此时测得 M 的 仰角MDE=.3.量出测角仪的高度 ACBDa，以及测点 A，B 之间的距离 AB=b根据测量的 AB 的长度，AC、BD 的高度以及MCE、MDE 的大小，根据直角三角形的边角关系.即可求出 MN 的高度。在 RtMEC 中，MCE，则 tan EC，EC= atn；在 RtMED 中，MDE 则 tan DM ，ED t；根据 CDABb，且 CDEC-ED=b. 所以 atn- E=b, ME= tan1tb MN= tan1t+a 即为所求物体 MN 的高度.15今天，我们分组讨论并制作了测角仪，学会使用了测角仪，并研讨了测量可到达底部和不可以到达底部的物体高度的方案.下一节课就清同学们选择我们学校周围的物体.利用我们这节课设计的方案测量它们的高度，相信同学们收获会更大.归纳提炼本节课同学们在各个小组内都能积极地投入到方案的设计活动中，想办法.献计策，用直角三角形的边角关系的知识解释设计方案的可行之处.相信同学们在下节课的具体活动中会更加积极地参与到其中.课后作业制作简单的测角仪活动与探究如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物 ABCD.且建筑物周围没有开阔平整地带.该建筑物顶端宽度 AD 和高度 DC 都可以直接测得。从 A、D、C 三点可看到塔顶端 H.可供使用的测员工具有皮尺，测倾器(即测角仪). (1)请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物.设计一个测量塔顶端到地面高度 HG 的方案.具体要求如下：测量数据尽可能少；在所给图形上，画出你设计的测量的平面图，并将应测数据标记在图形上(如果测 A、D 间距离，用 m 表示；如果测 D、C 间距离，用 n 表示；如果测角，用 、 等表示.测倾器高度不计) (2)根据你测量的数据，计算塔顶到地面的高度 HG(用字母表示),I方案 1：(1)如图(a)(测四个数据)ADm.CDn，HDM,HAM(2)设 HGx，HMx-n，在 RtHDM 中，tan DMH,DM= .tanx在 RtHAM 中，tan A,DM= .tAM-DMAD， .tanx- .t=m,x= .tm+n.方案 2：(1)如图(b)(测三个数据) CDn，HDM，HCG.(2)设 HGx，HMx-n，在 RtCHG 中，tan= CGH,CG= tanx,16在 RtHDM 中，tan DMH,DM= .tanx,CGDM. tanx= .t,x= .tty第二章 二次函数2.1 二次函数所描述的关系教学目标：1.理解二次函数的概念；2.能够表示简单变量之间的二次函数的关系。知识回顾：1、正比例函数的表达式为 一次函数 反比例函数表达式为 。2、某果园有 100 棵橙子树，每一棵树平均结 600 个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5 个橙子。请问种多少棵树才能达到30000 个的总产量？你能解决这个问题吗？ （请列出方程，不用计算）新知探究：3某果园有 100 棵橙子树，每一棵树平均结 600 个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5 个橙子。（1）问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？（2）假设果园增种 x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？（3）如果果园橙子的总产量为 y 个，那么请你写出 y 与 x 之间的关系式。知识运用：4.做一做银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的。也就是说，利率是一个变量在我国利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的设人民币一年定期储蓄的年利率是 x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存如果存款额是 100 元，那么请你写出两年后的本息和 y(元)的表达式(不考虑利息税)Y=_5、总结归纳（1）从以上两个例子中，你发现这函数关系式有什么共同特征？（2）仿照以前所学知识，你能给它起个合适的名字吗？（3）你能用一个通用的表达式表示它们的共性吗？试试看。17【归纳总结】一般地，形如 （其中 均为常数 0）的函数叫做 。你能举出类似的例子吗？巩固练习P30 页随堂练习 1 2布置作业 习题 2.12.2 二次函数的图像与性质 1一、教学目标(一)知识与技能1能够利用描点法作出函数 y=x2的图象，能根据图象认识和理解二次函数 y=x2的性质2猜想并能作出 y=-x2的图象，能比较它与 y=x2的图象的异同(二)过程与方法1经历探索二次函数 yx 2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验2由函数 y=x2的图象及性质，对比地学习 y-x 2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维(三)情感与态度1通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解2在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质教学重点：作出函数 yx 2的图象，并根据图象认识和理解二次函数 yx 2的性质。教学难点：由 y=x2的图象及性质对比地学习 y-x 2的图象及性质，并能比较出它们的异同点。三、教学过程分析1、情境引入寻找生活中的抛物线活动目的：通过让学生寻找生活中的抛物线，让生活走进数学，让学生对抛物线有感性认识，以激发学生的求知欲，同时，让学生体会到数学来源于生活。2、温故知新复习：(1)二次函数的概念， （2）画函数的图象的主要步骤， （3）根据函数 y=x2 列表3、合作学习（探究二次函数 yx 2 的图象和性质）活动内容：182xyoyxA1. 用描点法画二次函数 y=x2 的图象，并与同桌交流。2. 观察图象，探索二次函数 y=x2 的性质，提出问题：(1) 你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.(2) 图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点,并与同伴交流.(3)图象 与 x 轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?(4)当 x0 呢？(5)当 x 取什么值时,y 的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？3.二次函数 y= x2的图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象4.它与二次函数 y=x2的图象有什么关系？与同伴进行交流。5.说说二次函数 y= x2的图象有哪些性质？与同伴交流。4、 练习与提高活动内容：1、已知函数 是关于 x 的二次函数。求：（1）满足条件的 m 的值；（2）m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当 x 为何值时， y 随 x 的增大而增大？（3）m 为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当 x 为何值时， y 随 x 的增大而减小？2、已知点 A(1， a)在抛物线 y=x2 上。（1）求 A 的坐标；（2）在 x 轴上是否存在点 P，使得OAP是等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由。与同伴进行交流.活动目的：1.对本节知识进行巩固练习。2.将获得的新知识与旧知识相联系，共同纳入知识系统。3.培养学生整合知识的能力。 。6、课堂小结活动内容：小结：二次函数 y= x2的性质根据图形填表：2)1(192xy 抛物线 y=x2 y= x2顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值6、 布置作业P34 习题 2.2 1,2 题2.2 二次函数的图像与性质 2二、教学目标知识与技能1.能作出二次函数 2yax和 2c的图象，并能够比较它们与二次函数2yax的图象的异同，理解 与 对二次函数图象的影响。2.能说出二次函数 和 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标。过程与方法经历探索二次函数 2yax和 2c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验。情感态度与价值观体会二次函数是某些实际问题的数学模型，由有趣的实际问题，使学生能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲。教学重点： 2yax和 2c图象的作法和性质教学难点：能够比较 、 2yax和 2c的图象的异同，理解 a与 c对二次函数图象的影响。3、教学过程第一环节 情境创设活动内容：1.二次函数 yx 2与 y=-x2的图象一样吗？它们有什么相同点？不同点？2.二次函数是否只有 yx 2与 y-x 2这两种呢?有没有其他形式的二次函数？第二环节 做一做活动内容：1.在同一坐标系中作二次函数 y=x2和 y=2x2的图象 (1)完成下表：x 3 2 1 0 1 2 33 20y=x2 9 4 1 0 1 4 9 y=2x2 18 8 2 0 2 8 18 (2)分别作出二次函数 y=x2 和 y=2x2 的图象(3)二次函数 y2x 2 的图象是什么形状? 它与二次函数 y=x2 的图象有什么相同和不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?第三环节 议一议活动内容：1.在同一直角坐标系内作出函数 y2x 2与 y2x 2+1 的图象，并比较它们的性质2.在同一直角坐标系内作出函数 y3x 2与 y3x 2-1 的图象，并比较它们的性质活动目的：对二次函数性质的巩固与拓展，从图象直观理解函数之间（ a相同）的平移关系，培养学生的动态思维。实际教学效果：学生通过观察图象，发现两个图象是“全等的” ，开口方向、对称轴都是一样的，只是顶点不一样，向上移动了 1 格。有几个思维活跃的学生马上就开始探索移动的原因，发现 y2x 2+1 比 y2x 2 的 y 值多 1，就向上移动了一格；这时，教师可以拓展一下：如果减 1 呢，结果会怎样？减 2 呢？这样就把第二个问题也解决了。在老师的引导下，学生可以总结出这样的发现：yax 2+c 的图象可以看成 y=ax2 的图象整体上下移动得到的，当 c0 时,向上移动c个单位，当 c0 时,向上移动c个单位，当 c0) y=a(x-h)2 (a0)顶点坐标 （h，0） （h，0）对称轴 直线 xh 直线 xh22位置 在 x 轴的上方（除顶点外） 在 x 轴的下方（除顶点外）开口方向 向上 向下增减性在对称轴的左侧, y 随着 x 的增大而减小. 在对称轴的右侧, y 随着 x 的增大而增大.在对称轴的左侧, y 随着 x 的增大而增大. 在对称轴的右侧, y 随着 x 的增大而减小.最值 当 xh 时，最小值为 0 当 xh 时，最大值为 0开口大小 |a|越大，开口越小3想一想（1）在同一坐标系中作出二次函数 y=3x,y=3(x-1)2和 y=3(x-1)2+2 的图象.（2）二次函数 y=3x,y=3(x-1)2和 y=3(x-1)2+2 的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?作图看一看 二次函数 y=a(x-h)+k 与 y=ax的关系 一般地,由 y=ax的图象便可得到二次函数y=a(x-h)+k 的图象: y=a(x-h)+k(a0) 的图象可以看成 y=ax的图象先沿 x 轴整体左(右)平移| h|个单位(当 h0 时,向右平移;当 h0 时向上平移;当 k0) y=a(x-h)2k ( a0)顶点坐标 （h，k） （h，k）对称轴 直线 xh 直线 xh位置 由 h 和 k 的符号确定 由 h 和 k 的符号确定开口方向 向上 向下增减性在对称轴的左侧, y 随着 x 的增大而减小. 在对称轴的右侧, y 随着 x 的增大而增大.在对称轴的左侧, y 随着 x 的增大而增大. 在对称轴的右侧, y 随着 x 的增大而减小.最值 当 xh 时，最小值为 k 当 xh 时，最大值为 k第三环节 练习提高1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标:2.(1)二次函数 y=3(x+1)2的图象与二次函数 y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么? ,132.12y .513.23(2)二次函数y =-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x 2的图象有什么关系? （3）对于二次函数y =3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随 x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随 x值的增大而减小 ?二次函数y=3(x+1) 2+4呢? 第四环节 课堂小结活动内容：师生互相交流本节课的学习心得，感受及收获。活动目的：鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获与感想（学生畅所欲言，教师给予鼓励）包括二次函数图象的制作，函数图象性质的总结归纳。实际教学效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获。第五环节 布置作业P39 习题 2.4 2.2 二次函数的图像与性质 4教学目标1、经历探索二次函数 cbxay2的图象的作法和性质的过程2、能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题教学重点和难点重点：二次函数 cxy2的图象的作法和性质难点：理解二次函数 ba的图象的性质教学过程设计 从学生原有的认知结构提出问题24上一节课，我们把一个二次函数通过配方化成顶点式 khxay2)(来研究了二次函数中的a、h、k 对二次函数图象的影响。但我科觉得，这样的恒等变形运算量较大，而且容易出错。这节课，我们研究一般形式的二次函数图象的作法和性质。 师生共同研究形成概念复习旧知识 |a越大，开口越小； |a越小，开口越大当 0时，抛物线的开口向上；当 0时，抛物线的开口向下；当 c时，抛物线与 y 轴的交点在原点的上方；当 0c时，抛物线与 y 轴的交点在原点的下方。khxay2)(开口方向 对称轴 顶点坐标0向上向下 直线 hx（h，k）平移：左加右减 对称轴、顶点坐标：前相反，后相同推导二次函数 cbxay2图象的对称轴和顶点坐标公式对称轴：直线 顶点坐标：（ ab2 ， c42）讲解例题书本 P39分析：这是二次函数的具体应用， 让学生体会对称轴、 顶点坐 标的在实际问题中的意义。 随堂练习书本 P 41 随堂练习 小结二次函数 cbxay2图象的对称轴和顶点坐标公式。 作业 书本 P 41 习题 2.5 2.3 确定二次函数的表达式一、教学目标知识与技能1通过运用解析式、列表、画图象三种方法表示二次函数，比较这三种方法表示二次函数的优缺点，从而为解决函数类实际问题打下坚实的基础。2通过学生实际解题过程，达到灵活掌握用解析式、列表、画图这三种方法表示二次函数。3能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究。25过程与方法1能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题。2让学生在学习活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和归纳总结的能力。情感态度与价值观在学习过程中体会学以致用，提高运用所学知识解决实际问题的能力。教学重点：三种方法表示二次函数的优缺点；为解决函数类实际问题打下坚实的基础教学难点：三种方法表示二次函数的优缺点；为解决函数类实际问题打下坚实的基础三、教学过程分析第一环节 解决问题活动内容：1问题一：已知矩形周长 20cm,并设它的一边长为 xcm,面积为 ycm2. y 随 x 的而变化的规律是什么？你能分别用函数表达式，表格和图象表示出来吗？2当学生完成上述的三个任务之后，进一步帮助学生明晰以下问题：（1）在上述问题中,自变量 x 的取值范围是什么？（2）当 x 取何值时,长方形的面积最大？它的最大面积是多少?（3）请你描述一下 y 随 x 的变化而变化的情况.3问题二：两个数相差 2,设其中较大的一个数为 x,那么它们的积 y 是如何随 x 的变化而变化的? （1）你能分别用函数表达式,表格和图象表示这种变化吗?（2）自变量 x 的取值范围是什么?（3）图象的对称轴和顶点坐标分别是什么?（4）如何描述 y 随 x 的变化而变化的情况?（5）你是分别通过哪种表示方式回答上面三个问题的？第二环节 课堂小结活动内容：1二次函数的三种表示方式各有什么特点?它们之间有什么联系? 与同伴进行交流.26表示 优点 缺点表达式变量间关系简捷明了,便于分析计算. 需要通过计算,才能得到所需结果表格 能直接得到某些具体的对应值 不能反映函数整体的变化情况图象直观表示了变量间变化过程和变化趋势.函数值只能是近似值关系表达式是基础,是重点,表格是画图象的关键,图象是在表达式和表格的基础上对函数的总体概括和形象化的表达.2对本节知识进行巩固，原则上由学生复述内容及要点。第三环节 布置作业（1）P43 习题 2.6 第小组合作讨论更具实效性。2.4 二次函数的应用 1一、教学目标(一)知识与技能能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值(二)过程与方法1通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力2通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力(三)情感态度与价值观1经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值2能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格3进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力教学重点1经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值2能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题教学难点能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函27数的有关知识解决最大面积的问题三、教学过程分析第一环节 创设问题情境，引入新课上节课我们利用二次函数解决了最大利润问题，知道了求最大利润就是求二次函数的最大值，实际上就是利用二次函数来解决实际问题解决这类问题的关键是要审清题意，明确要解决的是什么，分析问题中各个量之间的关系，建立数学模型。在此基础上，利用我们所学过的数学知识，逐步得到问题的解答过程本节课我们将继续利用二次函数解决最大面积的问题活动内容：由四个实际问题构成1问题一：如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形 ABCD，其中 AB 和 AD分别在两直角边上(1)设长方形的一边 AB x m，那么 AD 边的长度如何表示？(2)设长方形的面积为 y m2，当 x 取何值时， y 的值最大？最大值是多少？下面请小组开始讨论并写出解题步骤(1)BCAD，EBCEAF AFBCE又 AB x， BE40 x， 304BC BC 43(40 x) AD BC (40 x)30 x(2)y ABAD x(30 x) x230 x 43(x240 x400400) (x240 x400)300 (x20) 2300当 x20 时， y 最大 300即当 x 取 20m 时， y 的值最大，最大值是 300m22问题二：将问题一变式：“设 AD 边的长为 x m，则问题会怎样呢？”解： DC AB， FDC FAE28 FADEC AD x， FD30 x 304 DC (30 x) AB DC (30 x)y ABAD x 34(30 x) x240 x (x230 x225225) 34(x15) 2300当 x15 时， y 最大 300即当 AD 的长为 15m 时，