数学模型论文

空气污染监测问题摘 要本文是一个如何有效对空气污染进行监测，并以此监测结果作为事实依据来解决空气污染的问题。以基本的代数、集合、图论的知识等数学工具建立了层次分析模型、模糊聚类分析模型。本文利用全市均匀分布的多个监测点定时、定点监测大气中二氧化硫、氮氧化物和漂尘的含量，对城市空气污染状况进行科学的量化归类，使人们对环境污染程度有了更为直观的了解。针对问题（1） ，通过对本问题的分析，提出两种解决此类问题的可行性数学模型层次分析模型和模糊聚类分析模型。通过对两种模型在解决此类问题中的可行性对比，认为层次分析模型在解决本文问题中更具有优势。由于影响空气质量的三大因素污染状况的不确定性及监测数据的无规律性，层次分析模型可以对数据量化并能对其简便分类。针对问题（2） ，本文应用问题（1）提出的层次分析模型，首先通过分析国家环境质量标准规定并依据国家空气污染指数得出空气污染状况划分指标。再对监测点监测到空气污染三大因素的数据进行了量化处理。根据上述提出的划分指标及处理数据，有效的对十八个监测点进行了归类划分。监测点9、13、16 属于严重污染地区，监测点 1、2、3、6、7、8、10、14、18 属于一般污染地区，监测点 4、5、11、12、15、17 属于基本没有污染地区针对问题（3） ，利用问题（2）得出的空气污染状况划分指标及数据处理方法，首先对三个采集点污染元素数据进行处理，依据划分指标，对其进行了归属分类。采集点 19、21 属于一般污染地区，采集点 20 属于基本没有污染地区。针对问题（4） ，在解决上述三个问题的过程中，利用层次分析模型及划分指标在对空气污染状况分类中，发现题中所给空气污染因素不够全面及监测点数目不足。因此有必要设计问卷调查表格，适当增加必要的空气质量评价因素，提高评价结果的准确性及划分的细致性，从而达到反映和评价空气质量的最佳效果。关键词：层次分析模型 模糊聚类分析模型 划分指标一、 问题重述11 问题背景改革开放以来随着工业生产和经济建设的高速发展，汽车数量的迅速增加，煤炭和石油等燃料消耗量的剧增，导致了空气污染的加剧。我们都知道当前世界的能源结构中，煤炭占主导地位，这就使得空气污染物表现为二氧化硫和漂尘即可吸入颗粒物污染比例较大。空气中含有多种氮氧化物，其主要来源于化石燃料的燃烧以及生产、使用硝酸的过程，它们排放的一氧化氮和进一步形成的二氧化氮直接严重影响到空气的质量。二氧化硫是造成空气污染的主要物质之一，我国已将二氧化硫列为一种主要的法规控制空气污染物，并将大气中二氧化硫的浓度水平作为评价空气质量的一项重要指标。二氧化硫对人体健康的危害表现为它易溶于人体的体液和其他黏性液中，其长期的影响会导致多种疾病，甚至在氧化剂、光的作用下，会生成使人致病、甚至增加病人死亡率的硫酸盐气溶胶；二氧化硫对植物的危害表现为在低浓度二氧化硫的情况下，植物的生长机能受到影响，造成产量下降，品质变坏，在高浓度二氧化硫的情况下，植物产生急性危害或直接使植物叶片枯萎脱落；二氧化硫对金属的腐蚀主要表现在对钢结构的腐蚀，据统计，金属腐蚀造成的直接损失远大于水灾、风灾、火灾、地震造成损失的总和，且金属腐蚀直接威胁到工业设施、生活设施和交通设施的安全；二氧化硫对生态环境的影响表现为其形成的酸雨和酸雾对湖泊、地下水、建筑物、森林、古文物以及人的衣物构成腐蚀。通常把粒径在 10 微米以下的颗粒物称为 PM10，又称为可吸入颗粒物或漂尘。由于漂尘粒径小，能被人直接吸入呼吸道造成危害，又由于它能在大气中长期漂浮，易将污染物带到很远的地方，导致污染范围扩大，同时在大气中还可为化学反应提供反应床，因此，漂尘是从事环境科学工作者所注目的研究对象之一。国家环保总局 1996 年颁布修订的环境空气质量标准（GB3095-1996） 中将漂尘改称为可吸入颗粒物，作为正式大气环境质量标准。漂尘通常来自未铺沥青、水泥路面上行驶的机动车、材料的破碎碾磨处理过程以及被风扬起的尘土。漂尘被人吸入后，会累积在呼吸系统中，引发许多疾病。粗颗粒物的暴露可侵害呼吸系统，诱发哮喘病；细颗粒物可能引发心脏病、肺病、呼吸道疾病，降低肺功能等。大气中的氮氧化物主要来源于化石燃料的燃烧和植物体的焚烧以及农田土壤和动物排泄物中含氮化合物的转化，随着这些来源的增加，氮氧化物的浓度将会迅速升高。氮氧化物的危害是多方面的，包括对人体健康、生态系统和建筑设施都有直接和潜在的危害。它可刺激肺部，产生使人较难抵抗感冒之类的呼吸系统疾病，同时其在空气中的水结合最终转化成的硝酸是酸雨的成因之一，它与其他污染物在一定条件下能产生化学烟雾污染。由上述研究结果得出，这三种空气污染物对农作物、森林、水产及陆地动物都有严重危害，是空气污染物中主要因素。它们对全球大气环境的影响目前已明显表现在三个方面：臭氧层的消耗、酸雨、全球变暖，这些问题如不及时控制将对整个地球造成灾难性的危害。所以，深入研究空气污染监测问题对于人类社会的发展有着至关重要的作用。空气污染指数（AIR POLLUTION INDEX，简称 API）是一种反映和评价空气质量的方法，就是将常规监测的集中空气污染物的浓度简化成为单一的概念性数值形式，并分级表征空气质量与空气污染的程度，其结果简明直观，使用方便，适用于表示城市的短期空气质量状况和变化趋势。所以在本题中，我们将空气污染指数作为衡量监测污染的标准。1.2 目标任务问题一：提出对该问题分类的一般数学方法，即通过分析表格 1 所给数据结合题目中对空气污染评价指标，寻找适合解决此问题的数学方法并建立合理的数学模型。问题二：假设将城市污染状况分为严重污染、一般污染和基本没有污染三类地区，试建立数学模型，对 18 个监测点的污染程度进行排序以及分类。问题三：根据表二数据，按照问题二中所解决的数学方法对 19,20,21 三个地区污染程度进行归属划分，给出解决这类问题的一般方法。问题四：自行设计出一个量化评价公民对环境的关心程度的问卷表格，通过该表格，要达到能够体现设计目的的要求。一、 模型假设1） 在这段时间内，该地区不发生沙尘暴，不会影响污染物的测量；2） 市内化工厂能够严格按照国家规定指标排放化学物质；3） 温度、湿度等其他因素不会对测试仪造成影响；4） 忽略一氧化碳、臭氧等空气污染物；5） 各监测点测量标准统一；6） 问卷调查人员能够积极配合，依据事实填写表格；二、 符号说明符号 意义API 空气污染指数（评估空气质量状况的一组数字）W1 表示二氧化硫的权值W2 表示氮氧化物的权值W3 表示漂尘的权值C1 表示二氧化硫对空气的污染作用C2 表示氮氧化物对空气的污染作用C3 表示漂尘对空气污染的作用A 表示成对比较矩阵aij 表示 Ci/Cj（其中 i=1,2,3；j=1,2,3）Q 表示污染程度D 表示 18 个监测点的数据矩阵(D=D 1，D 2,D3,D18)Di 表示 18 个监测点（i=1,2,3，,18）,D i=（d i1，d i2，d i3）di1 代表二氧化硫的含量di2 代表氮氧化物的含量di3 代表漂尘的含量In 表示污染指数Q 采集点 19，20,21 对应的污染程度矩阵D 采集点 19,20,21 的数据矩阵q1 采集点 19 的污染程度值q2 采集点 20 的污染程度值q3 采集点 21 的污染程度值四、模型建立与求解4.1 问题一 对于问题一，给出对空气污染监测问题进行分类的一般数学方法，经研究对比发现，层次分析法和模糊聚类分析法可以解决这个问题。4.1.1 模型 1：层次分析模型4.1.1.1 模型的概述层次分析法（The analytic hierarchy process）简称 AHP，在 20 世纪 70年代中期由美国运筹学家 托马斯塞蒂（T.L.Saaty）正式提出。它是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快在世界范围得到重视。它的应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗和环境等领域。 层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一样的。不妨用假期旅游为例：假如有 3 个旅游胜地 A、B、C 供你选择，你会根据诸如景色、费用和居住、饮食、旅途条件等一些准则去反复比较这 3个候选地点首先，你会确定这些准则在你的心目中各占多大比重，如果你经济宽绰、醉心旅游，自然分别看重景色条件，而平素俭朴或手头拮据的人则会优先考虑费用，中老年旅游者还会对居住、饮食等条件寄以较大关注。其次，你会就每一个准则将 3 个地点进行对比，譬如 A 景色最好，B 次之；B 费用最低，C 次之；C 居住等条件较好等等。最后，你要将这两个层次的比较判断进行综合，在 A、B、C 中确定哪个作为最佳地点。4.1.1.2 层次分析法的基本步骤1、建立层次结构模型。在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次，同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用。最上层为目标层，通常只有 1 个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有一个或几个层次，通常为准则或指标层。当准则过多时(譬如多于 9 个)应进一步分解出子准则层。 2、构造成对比较阵。从层次结构模型的第 2 层开始，对于从属于(或影响)上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和 19 比较尺度构追成对比较阵，直到最下层。比较第 i 个元素与第 j 个元素相对上一层某个因素的重要性时，使用数量化的相对权重 aij来描述。设共有 n 个元素参与比较，则 称为成对比较矩阵。 成对比较矩阵中 aij的取值可参考 Satty 的提议，按下述标度进行赋值。aij在 1-9 及其倒数中间取值。 aij = 1 元素 i 与元素 j 对上一层次因素的重要性相同； aij = 3 元素 i 比元素 j 略重要； aij = 5 元素 i 比元素 j 重要； aij = 7 元素 i 比元素 j 重要得多； aij = 9 元素 i 比元素 j 的极其重要； aij = 2n，n=1,2,3,4 元素 i 与 j 的重要性介于 aij = 2n 1 与 aij = 2n + 1 之间； ，n=1,2,.,9 当且仅当 aij = n。成对比较矩阵的特点：。3、计算权向量并做一致性检验。对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量(归一化后)即为权向量：若不通过，需重新构追成对比较阵。 从理论上分析得到：如果 A 是完全一致的成对比较矩阵，应该有 aijajk = aik。 但实际上在构造成对比较矩阵时要求满足上述众多等式是不可能的。因此退而要求成对比较矩阵有一定的一致性，即可以允许成对比较矩阵存在一定程度的不一致性。 由分析可知，对完全一致的成对比较矩阵，其绝对值最大的特征值等于该矩阵的维数。对成对比较矩阵 的一致性要求，转化为要求： 的绝对值最大的特征值和该矩阵的维数相差不大。 检验成对比较矩阵 A 一致性的步骤如下： 计算衡量一个成对比矩阵 A （n1 阶方阵）不一致程度的指标 CI： 其中 max是矩阵 A 的最大特征值。从有关资料查出检验成对比较矩阵 A 一致性的标准 RI：RI 称为平均随机一致性指标，它只与矩阵阶数 有关。 按下面公式计算成对比较阵 A 的随机一致性比率 CR： 。判断方法如下： 当 CRq10.062 , 故采集点 19 属于一般污染；由 q2=0.038 , q2q30.062 , 故采集点 21 属于一般污染。4.3.2 解决这类问题的一般方法步骤：1、将决策问题分解为目标层和准则层 23 个层次。2、通过相互比较确定各准则对于目标的权重，及各个方案对于每一准则的权重。3、在层次分析法中将准则层对目标层的权重进行综合计算，并计算出成对比较矩阵和权向量。4、对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量，利用一致性指标，随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。4.3.3 问题的综合分析与进一步研究层次分析法从处理问题的类型来看，主要是决策、评价、分析、预测等。由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快在世界范围内得到普遍的重视和广泛的应用，应用范围已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗、环境等等领域。从上面介绍的层次分析法的基本步骤看，建立层次结构模型是关键一步。假如给定空气污染的主要因素除了二氧化硫、氮氧化物和漂尘以外，还包括其他因素（比如一氧化碳、臭氧等） ，那么，就必须重新给出相应的成对比较阵和全向量的计算模式，其他具体分类计算方法则不变。建立层次模型的层次结构也不可能只有固定的二到三层，以管理信息系统为例：当今任何部门每天都会接触到大量的信息，信息管理水平的高低直接关系着工作效率，甚至生存条件、财务、库存、销售、行政各种各样的管理信息系统开发完成或准备推广时，通常要作全面的检查、测试和分析。这一类的信息管理系统指标层次结构，可以形成目标层、准则层、子准则层和方案层。将问题包含的因素分层：最高层（解决问题的目的）；中间层（实现总目标而采取的各种措施、必须考虑的准则等。也可称策略层、约束层、准则层等）；最低层（用于解决问题的各种措施、方案等）。把各种所要考虑的因素放在适当的层次内。用层次结构图清晰地表达这些因素的关系。此外，构造成对比较阵是整个工作的数据依据，当然是重要的，应当由经验和知识丰富、判断力强的专家给出，或者由专家给出数据作为凭据进行计算，还不妨采用群体判断的方式。至于第三、第四步的计算工作，数学工作者是容易完成的。另外，由于本次空气污染监测问题是依据国家标准，通过模型建立得出的分类排序计算方法，这种分类排序结果已不仅仅局限于本题目 18 个测试点，而是可以推广于其他城市与地区的、接近国家标准的综合分类标准。4.4 问题四对于问题四，设计问卷表格，旨在根据表格量化评价公民对环境的关心程度。 在对问题 2、3 的分析研究过程中，发现对空气质量进行评价时，只考虑到二氧化硫、氮氧化物、漂尘这三个因素。由此可知，在模型应用过程中，因素偏少，降低了空气质量评价的标准。因此，在问卷调查中，应当增加必要的其他因素，提高空气质量评价结果的准确性。设计问卷调查表如下：以下设计的题中，116 题为单选题，1720 题为多选题，请根据实际情况认真填写问卷，感谢您的积极支持和参与。1、对于自然环境您如何看待 ? （ ） A、我们是自然之子，我热爱并敬畏大自然，非常关心B、比较重视C、我只关心我身边的环境，其他地方的环境我并不关心D、完全不关心2、对环境保护的迫切程度，您如何看待？（ ）A、环境保护是一件很紧迫的事，人人应该参与进来B、应先把生活水平提高到一定程度，再谈环境保护C、我们的环境还没到非要刻意去保护的地步D、确实很紧迫，但那是国家的事3、认为现在哪种环境破坏对你的生活和工作影响最大？（ ）A、空气污染 B、水源污染 C、噪声污染 D、固体垃圾污染4、您是怎样看待空气污染的？（ ）A、空气污染随时随处都有，是不可避免的，希望政府能够采取相应措施B、自己积极主动考虑怎样治理污染问题，但不会落到实处C、空气污染到处存在，只要不危及到自身生命安全就好D、不关心，短期内不会有什么问题5、您觉得空气质量如何？（ ）A、存在一定的污染，但相信政府可以解决，自己也会参与其中B、有污染，有机会支持并会适当的奉献自己的力量来解决问题C、一般，勉强可以生活，所以自己不会去努力解决问题D、很差，并且相信不会有相关部门来解决6、在生活区空气受到污染的情况下，您最希望获得以下哪方面的帮助？（ ）A、向相关行政部门申诉或向消协投诉B、找媒体曝光C、关乎到自己的切身利益时，会考虑向相关部门反映D、无所谓，对政府部门不抱有希望7、您最关心下面哪类内容？（ ）A、环保类B、时事政策类 C、财经类D、娱乐类8、在同等条件下，您选择居住地时最看重什么？（ ）A、周围环境的绿化 B、周边设施的健全程度 C、周边交通的便利程度 D、其他9、您做过对环境有害的事情吗？（ ）A、完全没有B、比较少C、不清楚 D、做过，经常并且很随意10、您会关注空气质量报告吗？（ ） A、经常有意识的关注B、有时间会关注C、很少关注D、不关注，关注也是做无用功11、您对周边环境空气治理满意吗？（ ）A、满意B、一般C、不满意D、没注意12、你认为政府当下应该花大量经费在环保措施上吗？（ ）A、应该，并且应当尽快落实B、应该，但对政府抱的希望不大C、不应该，没有什么用处D、随便，不关心13、你觉得你所在地区酸雨严重吗？(如树叶枯黄、建筑腐蚀等)（ ）A、很严重B、比较严重C、一般D、不存在14、你认为以下哪项对大气污染最严重？（ ）A、煤炭燃烧B、工业废气C、交通尾气D、自然因素15、您认为国家对环境生态的重视程度怎样？（ ）A、非常重视 B、一般 C、不重视 D、不知道16、您对环境保护公益事业的态度如何？（ ）A、很好，我很支持并想成为环境保护的志愿者B、遇到这样的活动我会关注并支持，但不会成为志愿者C、志愿者的奉献精神令人感动，但我认为这种方式不会产生实质效果D、没事找事做，浪费时间和精力，不理解 17、您知道空气污染会带来哪些危害吗？(多选) （ ）A、臭氧层破坏B、酸雨C、各种呼吸病和皮肤病D、影响全球气候E、动植物生长受到危害F、您认为还有18、您觉得影响空气质量较大的因素有？（多选） （ ）A、二氧化硫B、氮氧化物C、漂尘D、一氧化碳E、臭氧F、您认为还有19、您觉得当今大气治理有哪些不足？(多选) （ ）A、法律体制不够完善B、技术落后C、资金投入不足D、教育宣传匮乏E、政策疲软F、您认为还有20、您觉得你能为环保事业做些什么？(多选) （ ）A、不乱扔垃圾 B、节约用水用电 C、开发新能源D、发明有效的治理污染的方法 E、制止他人污染环境F、您认为还有单项选择题 多项选择题选项题目1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920A 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 3 3 3 3B 4 4 4 3 4 4 3 3 4 4 4 3 4 4 3 3 3 3 3 3C 2 2 4 2 2 2 3 3 2 2 2 2 4 4 2 2 3 3 3 3D 1 1 4 1 1 1 3 1 1 1 1 1 4 4 1 1 3 3 3 3E 3 3 3 3六、模型的评价从层次分析法的原理、步骤、应用等方面的讨论不难看出它有以下优点：（1） 系统性 层次分析把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行分类决策，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。（2） 实用性 层次分析把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广。同时，这种方法将决策者与决策分析者相互沟通，决策者甚至可以直接应用，这就增加了决策的有效性。（3） 简洁性 具有中等文化程度的人即可了解层次分析的基本原理和掌握它的基本步骤，计算也非常简便，并且所得结果简单，容易为决策者了解和掌握。层次分析法的局限性可以用囿旧、主观等词来概括。就是说，第一，它只能从原有方案中选优或者分类，不能生成新方案；第二，从建立层次结构模型到给出成对比矩阵，人的主观因素的作用很大，这就使得决策结果可能难以为众人接受。但是，值得一提的是，本文所建立的空气污染问题层次结构模型，有效地引入国家环境质量标准和国家空气污染指数作为计算判断的方法，在一定程度上克服了这个缺点。此外，本表格设计的问题符合客观实际情况，能够围绕调查课题和研究假设设计必要的问题 体现出了自然环境与人类生存息息相关的事实，通过此表格能够客观地评价公民对环境的关心程度。附录 1：国家环境质量标准规定1、二氧化硫(SO 2)二氧化硫主要由燃煤及燃料油等含硫物质燃烧产生，其次是来自自然界，如火山爆发、森林起火等产生。二氧化硫对人体的结膜和上呼吸道粘膜有强烈刺激性，可损伤呼吸器管可致支气管炎、肺炎，甚至肺水肿呼吸麻痹。短期接触二氧化硫浓度为 0.5 毫克/立方米空气的老年或慢性病人死亡率增高，浓度高于 0.25 毫克/立方米，可使呼吸道疾病患者病情恶化。长期接触浓度为 0.1 毫克/立方米空气的人群呼吸系统病症增加。另外，二氧化硫对金属材料、房屋建筑、棉纺化纤织品、皮革纸张等制品容易引起腐蚀，剥落、褪色而损坏。还可使植物叶片变黄甚至枯死。国家环境质量标准规定，居住区日平均浓度低于 0.15 毫克/立方米。2、氮氧化物(NO x)空气中含氮的氧化物有一氧化二氮(N 2O)、一氧化氮(NO)、二氧化氮(NO 2)、三氧化二氮(N 2O3)等，其中占主要成分的是一氧化氮和二氧化氮，以 NOx(氮氧化物)表示。 NOx 污染主要来源于生产、生活中所用的煤、石油等燃料燃烧的产物(包括汽车及一切内燃机燃烧排放的 NOx)；其次是来自生产或使用硝酸的工厂排放的尾气。当 NOx 与碳氢化物共存于空气中时，经阳光紫外线照射，发生光化学反应，产生一种光化学烟雾，它是一种有毒性的二次污染物。NO 2 比NO 的毒性高 4 倍，可引起肺损害，甚至造成肺水肿。慢性中毒可致气管、肺病变。吸入 NO，可引起变性血红蛋白的形成并对中枢神经系统产生影响。NOx 对动物的影响浓度大致为 1.0 毫克/立方米，对患者的影响浓度大致为 0.2毫克/立方米。国家国家环境质量标准规定，居住区的平均浓度低于 0.10 毫克/立方米。3、粒子状污染物总悬浮颗粒物（TSP）：总悬浮颗粒物是指粒径在 100 微米以下的颗粒物，简称 TSP。其对人体的危害程度主要决定于自身的粒度大小及化学组成。TSP中粒径大于 10 微米的物质，几乎都可鼻腔和咽喉所捕集，不进入肺泡。对人体危害最大的是 10 微米以下的浮游状颗粒物，称为漂尘。可经过呼吸道沉积于肺泡。慢性呼吸道炎症、肺气肿、肺癌的发病与空气颗粒物的污染程度明显相关，当长年接触颗粒物浓度高于 0.2 毫克/立方米的空气时，其呼吸系统病症增加。国家环境质量标准规定居住区日平均浓度低于 0.3 毫克/立方米。附录 2:空气污染指数(API)空气质量周报就是根据国家环境空气质量标准中规定的几种常见污染物例行监测的结果，评价城市一周内的空气质量，并以空气污染指数的表征形式来向公众发布。空气污染指数(AIR POLLUTION INDEX，简称 API)是一种反映和评价空气质量的方法，就是将常规监测的几种空气污染物的浓度简化成为单一的概念性数值形式、并分级表征空气质量状况与空气污染的程度，其结果简明直观，使用方便，适用于表示城市的短期空气质量状况和变化趋势。空气污染指数的确定原则：空气质量的好坏取决于各种污染物中危害最大的污染物的污染程度。空气污染指数是根据环境空气质量