多元函数的极限与连续

数学分析第 16 章 多元函数的极限与连续计划课时： 1 0 时2第 16 章 多元函数的极限与连续 ( 1 0 时 ) 1 平面点集与多元函数 一. 平面点集: 平面点集的表示: 满足的条件. 余集 .),(|,yxEcE1. 常见平面点集: 全平面和半平面 : , , ,0|),(xy0|)(|)(ax等.|ba 矩形域: , .,dcba1|)(yx 圆域: 开圆 , 闭圆 , 圆环，圆的一部分. 极坐标表示, 特别是 和 .os2|),(arsin2|),(ar 角域: .| 简单域: 型域和 型域.XY2. 邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集的区别.|0|0),( 0yxyx3 点与点集的关系（集拓扑的基本概念）:（1）内点、外点和界点：内点：存在 使 集合 的全体内点集表示为 ,.)(AUEEint外点：存在 使 界点：A 的任何邻域内既有 E 的点也有不属于 E 的点。E 的边界表示为 集合的内点 , 外点 , 界点不定 .例 1 确定集 的内点、外点集和边界 .1)2()1(0|)(2yxy例 2 为 Dirichlet 函数.)(, 0 ,|, xDDxE确定集 的内点、外点和界点集 .（2）( 以凝聚程度分为 ) 聚点和孤立点: 聚点：A 的任何邻域内必有属于 E 的点。 孤立点： 但不是聚点。孤立点必为界点 .例 3 . 确定集 的聚点集 .|),(yxE1sinx解 的聚点集 ., 34区域：（1）( 以包含不包含边界分为 ) 开集和闭集:时称 为开集 , 的聚点集 时称 为闭集. EintEE存在非开非闭集. 和空集 为既开又闭集.2R（2） ( 以连通性分为 ) 开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域 .（3） 有界集与无界集:（4） 点集的直径 ： 两点的距离 .(Ed) ,(21P（5） 三角不等式：（或 ） .|21x|21y | )()( 21212121 yxyx或 ,),(),( 33PP二. 中的完备性定理:2R1 点列的极限: 设 , .2) , (Ryxnn200) , (RyxP定义 1。 的定义 ( 用邻域语言 )0limn或,00PUNn,(0n例 4 , , .) (nyx),(0yxxn0y) (例 5 设 为点集 的一个聚点 . 则存在 中的点列 , 使 .0PEEnP0limPn2 中的完备性定理：R（1）Cauchy 收敛准则: .（2）. 闭域套定理: （3）. 聚点原理: 列紧性 , Weierstrass 聚点原理.4（4） 有限复盖定理:三二元函数:1. 二元函数的定义、记法、图象：2. 定义域：例 6 求定义域： ; .),(yxf192yx),(yxf)1ln(2xy3. 二元函数求值:例 7 , 求 .),(f23) ,1( ,)(ff例 8 , 求 .,yx)1ln(yxsin ,co4. 三种特殊函数: 变量对称函数: ,例 8 中的函数变量对称.),(f)(xf 变量分离型函数: .例如yy, 等 .yxez32,2xz),(xf2)(xy但函数 不是变量分离型函数 .5 具有奇、偶性的函数四n 元函数二元函数 推广维空间 记作 nR作业 P92 18 . 2 二元函数的极限 6一. 二重极限 二重极限亦称为全面极限1. 二重极限定义 1 设 为定义在 上的二元函数， 为 D 的一个聚点， A 是确定数f2RD0P若 则 fUP)(,),(,0, 0 Pf)(lim0或 )(lim),(),0yxfyxA例 1 用“ ”定义验证极限 . 7)(lim22)1,( yxyx例 2 用“ ”定义验证极限 . 0li20yx例 3 ).,(, , 0),(2yxxyf证明 . ( 用极坐标变换 ) P94 E2. ),(lim)0,(,fyx2. 归结原则：定理 1 , 对 D 的每一个子集 E , 只要点 是 E 的聚点 ,APfD)(li00就有 .fEP)(lim0推论 1 设 , 是 的聚点 .若极限 不存在 , 则极限 也不存在 .101E)(lim10PfE)(lim0PfD推论 2 设 , 是 和 的聚点. 若存在极限 ,2P2 1)(li10AfEP, 但 , 则极限 不存在.)(li20APfE1)(li0fDP推论 3 极限 存在, 对 D 内任一点列 , 但 ,)(lim0fDPn00n数列 收敛 .)(nf通常为证明极限 不存在, 可证明沿某个方向的极限不存在 , 或证明沿某两个方向的极限)(li0fP不相等, 或证明极限与方向有关 . 但应注意 , 沿任何方向的极限存在且相等 全面极限存在 例 4 证明极限 不存在. .)0,(, , 0),(2yxxyf ),(lim)0,(,yxfyx例 57二重极限具有与一元函数极限类似的运算性质.例 6 求下列极限: ; ; )0,(,limyx2y)0,3(,limyxsn ; .)0,(,liyxx1)0,(,liyx2)1yx3极限 的定义: li),(),0fyx定义 2设 为定义在 上的二元函数， 为 D 的一个聚点，f2RD0P若 则MfUPM)(,),(, 0 )(lim0Pf或 )(lim),(),0yxfyx其他类型的非正常极限， 无穷远点的情况.),(yx例 7 验证 .)0,(,liyx 231二. 累次极限 二次极限1. 累次极限的定义: 定义 3设 分别是 的聚点，二元函数 在集合 上有定义。若0,yxREyxyxE, fyxE对每一个 存在极限 记作 0)(lim0fx),(lim)(0Ex若 存在，则称此极限为二元函数 先对 x 后对 y 的累次极限)(lim0yLEf记作 简记)(li0xyE)(li0yLxy例 8 , 求在点 的两个累次极限 . 2),(yf),(例 9 , 求在点 的两个累次极限 .2),(xf)0,(8例 10 , 求在点 的两个累次极限 .xyxyf 1sini),()0,(2. 二重极限与累次极限的关系: 两个累次极限存在时, 可以不相等. ( 例 9 ) 两个累次极限中的一个存在时, 另一个可以不存在. 例如函数 在点 的情况 . yxf1sin),()0,( 二重极限存在时, 两个累次极限可以不存在. 例如例 10 中的函数, 由. 可见全面极限存在 , 但两个累次极限均不存在.),(,(,|)(| yxf 两个累次极限存在( 甚至相等 ) 二重极限 存在 . ( 参阅例 4 和例 8 ).综上 , 二重极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系 . 但有以下确定关系.定理 2 若二重极限 和累次极限 (或另一次序) 都存在 , 则必相等.),(lim),(),0yxfyx,lim0yxfyx推论 1 二重极限和两个累次极限三者都存在时 , 三者相等 . 推论 1 给出了累次极限次序可换的一个充分条件.推论 2 两个累次极限存在但不相等时 , 二重极限不存在 .但两个累次极限中一个存在 , 另一个不存在 二重极限不存在 . 参阅的例.作业提示: P99 1、2、4 3 二元函数的连续性 ( 4 时 )9一 二元函数的连续（相对连续）概念：由一元函数连续概念引入 .1. 连续的定义:定义 用邻域语言定义相对连续 . 全面连续 .函数 有定义的孤立点必为连续点 . ),(yxf例 1 .0 ,1, ,),( 22yxmyf证明函数 在点 沿方向 连续 . ),(yxf) 0,(例 2 ( 1P124 E4 ). , , 2其 他 xxyf证明函数 在点 沿任何方向都连续 , 但并不全面连续.),(yxf)0(函数的增量: 全增量、 偏增量 . 用增量定义连续性 .函数在区域上的连续性 .2. 二元连续( 即全面连续 ) 和单元连续 :定义 ( 单元连续 ) 二元连续与单元连续的关系: 参阅1 P132 图 169.3. 连续函数的性质: 运算性质、局部有界性、局部