高中课程中数学易错题的举例解析

高 中 数 学 易 错 题 举 例 解 析高 中 数 学 中 有 许 多 题 目 ， 求 解 的 思 路 不 难 ， 但 解 题 时 ， 对 某 些 特 殊 情 形 的 讨 论 ，却 很 容 易 被 忽 略 。 也 就 是 在 转 化 过 程 中 ， 没 有 注 意 转 化 的 等 价 性 ， 会 经 常 出 现 错 误 。本 文 通 过 几 个 例 子 ， 剖 析 致 错 原 因 ， 希 望 能 对 同 学 们 的 学 习 有 所 帮 助 。 加 强 思 维 的严 密 性 训 练 。 忽 视 隐 含 条 件 ， 导 致 结 果 错 误 。【 例 1】 (1) 设 是 方 程 的 两 个 实 根 ， 则、 062kx的 最 小 值 是22不)D(18)C(8)B(49)A(思 路 分 析 本 例 只 有 一 个 答 案 正 确 ， 设 了 3 个 陷 阱 ， 很 容 易 上 当 。利 用 一 元 二 次 方 程 根 与 系 数 的 关 系 易 得 ： ,6,2k.49)3()(112)1()( 222 k有 的 学 生 一 看 到 ， 常 受 选 择 答 案 （ A） 的 诱 惑 ， 盲 从 附 和 。 这 正 是 思 维49缺 乏 反 思 性 的 体 现 。 如 果 能 以 反 思 性 的 态 度 考 察 各 个 选 择 答 案 的 来 源 和 它 们 之 间 的区 别 ， 就 能 从 中 选 出 正 确 答 案 。原 方 程 有 两 个 实 根 ， 、 0)6k(42.3k2不当 时 ， 的 最 小 值 是 8；22)1()(当 时 ， 的 最 小 值 是 18。k这 时 就 可 以 作 出 正 确 选 择 ， 只 有 （ B） 正 确 。(2) 已 知 (x+2)2+ =1, 求 x2+y2 的 取 值 范 围 。y24错 解 由 已 知 得 y2= 4x2 16x 12， 因 此 x2+y2= 3x2 16x 12= 3(x+ )8第 2 页 （ 共 20 页 ）2+ ，38 当 x= 时 ， x2+y2 有 最 大 值 ， 即 x2+y2 的 取 值 范 围 是 ( , 。83 283 283分 析 没 有 注 意 x 的 取 值 范 围 要 受 已 知 条 件 的 限 制 ， 丢 掉 了 最 小 值 。事 实 上 ， 由 于 (x+2)2+ =1 (x+2)2=1 1 3 x 1，y24 y24从 而 当 x= 1 时 x2+y2 有 最 小 值 1。 x2+y2 的 取 值 范 围 是 1, 。283注 意 有 界 性 ： 偶 次 方 x2 0， 三 角 函 数 1 sinx 1， 指 数 函 数 ax0， 圆 锥 曲线 有 界 性 等 。 忽 视 不 等 式 中 等 号 成 立 的 条 件 ， 导 致 结 果 错 误 。【 例 2】 已 知 ： a0 , b0 , a+b=1,求 (a+ )2+(b+ )2 的 最 小 值 。1a 1b错 解 (a+ )2+(b+ )2=a2+b2+ + +4 2ab+ +4 4 +4=8,1 a (a+ )2+(b+ )2 的 最 小 值 是 8.分 析 上 面 的 解 答 中 ， 两 次 用 到 了 基 本 不 等 式 a2+b2 2ab， 第 一 次 等 号 成 立 的条 件 是 a=b= ,第 二 次 等 号 成 立 的 条 件 是 ab= ， 显 然 ， 这 两 个 条 件 是 不11能 同 时 成 立 的 。 因 此 ， 8 不 是 最 小 值 。事 实 上 ， 原 式 = a2+b2+ + +4=( a2+b2)+( + )+4=(a+b)2 2ab+(212+ )2 +4a1b= (1 2ab)(1+ )+4，2由 ab ( )2= 得 ： 1 2ab 1 = , 且 16， 1+ 17，422ba2ba 原 式 17+4= (当 且 仅 当 a=b= 时 ， 等 号 成 立 )，5 (a + )2 + (b + )2 的 最 小 值 是 。252 不 进 行 分 类 讨 论 ， 导 致 错 误【 例 3】 (1)已 知 数 列 的 前 项 和 ， 求na12nS.na错 误 解 法 .2)()( 11 nnS错 误 分 析 显 然 ， 当 时 ， 。311a错 误 原 因 ： 没 有 注 意 公 式 成 立 的 条 件 是 。nnS因 此 在 运 用 时 ， 必 须 检 验 时 的 情 形 。 即 ：1nSa。),2(1NSnan(2)实 数 为 何 值 时 ， 圆 与 抛 物 线 有 两 个 公 共0122axyx xy21点 。错 误 解 法 将 圆 与 抛 物 线 联 立 ， 消 去 ，22 y得 ).0(1)2(2xaxx因 为 有 两 个 公 共 点 ， 所 以 方 程 有 两 个 相 等 正 根 ， 得 ， 解 之.012a得 .817a错 误 分 析 （ 如 图 2 2 1； 2 2 2） 显 然 ， 当 时 ， 圆 与 抛 物 线 有两 个 公 共 点 。xyO图2 2 1xyO图2 2 2第 4 页 （ 共 20 页 ）要 使 圆 与 抛 物 线 有 两 个 交 点 的 充 要 条 件 是 方 程 有 一 正 根 、 一 负 根 ； 或 有 两个 相 等 正 根 。当 方 程 有 一 正 根 、 一 负 根 时 ， 得 解 之 ， 得.012a.1a因 此 ， 当 或 时 ， 圆 与 抛 物 线817a1a2xyx有 两 个 公 共 点 。xy2思 考 题 ： 实 数 为 何 值 时 ， 圆 与 抛 物 线 ，0122axyx xy21(1)有 一 个 公 共 点 ； (2)有 三 个 公 共 点 ； (3)有 四 个 公 共 点 ； (4)没 有 公 共点 。 以 偏 概 全 ， 导 致 错 误以 偏 概 全 是 指 思 考 不 全 面 ， 遗 漏 特 殊 情 况 ， 致 使 解 答 不 完 全 ， 不 能 给 出 问 题 的全 部 答 案 ， 从 而 表 现 出 思 维 的 不 严 密 性 。【 例 4】 (1)设 等 比 数 列 的 全 项 和 为 .若 ， 求 数 列 的 公 比nanS9632S.q错 误 解 法 ，,2963Sqaqa1)(21)()( 9631.0(） 整 理 得 q 1q24q,0)1(q2.120q 3336 不不。错 误 分 析 在 错 解 中 ， 由 ，qaqa1)(1)()(9631时 ， 应 有 。01q2(363不不1q0a1不在 等 比 数 列 中 ， 是 显 然 的 ， 但 公 比 q 完 全 可 能 为 1， 因 此 ， 在 解 题01a时 应 先 讨 论 公 比 的 情 况 ， 再 在 的 情 况 下 ， 对 式 子 进 行 整 理 变 形 。q正 确 解 法 若 ， 则 有 但 ， 即 得.9,6,3111aSaS0与 题 设 矛 盾 ， 故 .,2963Sq又 依 题 意 9632 qq1)(21)()( 9631,即 因 为 ， 所 以 所 以01q2(63不,0)(3q,03解 得 .3.243说 明 此 题 为 1996 年 全 国 高 考 文 史 类 数 学 试 题 第 （ 21） 题 ， 不 少 考 生 的 解 法同 错 误 解 法 ， 根 据 评 分 标 准 而 痛 失 2 分 。(2)求过点 的直线，使它与抛物线 仅有一个交点。),0( xy错误解法 设所求的过点 的直线为 ，则它与抛物线的交点为)1,0(1k，消去 得 整理得 xyk21y.02xk .01)2(2xkx直线与抛物线仅有一个交点， 解得 所求直线为,.1k.y错 误 分 析 此 处 解 法 共 有 三 处 错 误 ：第一，设所求直线为 时，没有考虑 与斜率不存在的情形，实际上就1kxy0是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即 而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。,0k第 6 页 （ 共 20 页 ）正确解法 当所求直线斜率不存在时，即直线垂直 轴，因为过点 ，所以x)1,0(即 轴，它正好与抛物线 相切。,0xyxy2当所求直线斜率为零时，直线为 y = 1 平行 轴，它正好与抛物线 只有xxy2一个交点。一般地，设所求的过点 的直线为 ,则 ，),0(k)0(xyk12令 解得 k = , 所求直线为.1)2(2xkx,12 .综上，满足条件的直线为： .,0,xyxy章节易错训练题1、 已 知 A= ， 求1|,1|,1| 22 xyCxyBxyCB,（ 注 意 元 素 的 确 定 性 ）2、 已 知 A= 且 ,求 a 的 取 值 范 围 。,12|,2|2xaxBA（ 答 案 注 意 空 集 ）,13、 写 出 “若 或 ,则 ”的 否 命 题 。MP4、 求 函 数 的 定 义 域 。0213xy5、 已 知 函 数 ， 求 函 数 的 值 域 。9,logxf 2xffy答 案 1,66、 判 断 函 数 的 奇 偶 性 。 （ 既 是 奇 函 数 又 是 偶 函 数 ， 注21xxf意 定 义 域 特 征 ）7、 已 知 函 数 是 R 上 的 增 函 数 ， 求 a 的 范 围 。 答 案 ， （ 本1,2,xaxf 2,3题 若 把 定 义 域 改 为 整 数 集 再 求 a 的 范 围 ）错 因 ： 从 二 次 函 数 的 角 度 思 考 ， 用 128、 函 数 在 x=1 处 有 极 值 10， 求 a、 b 的 值 。 (a=4,b=-23abxf4,另 外 一 组 要 舍 去 ， 注 意 要 检 验 )9、 若 函 数 在 R 上 为 减 函 数 ， 求 实 数 a 取 值 范 围 。 （ 注 意 利f3 ,0用 ）0)(/xf10、 已 知 A = ， 若 A R* = ， 则 实 数 t 集 合 T (x (x2 + tx + 1 = 0)= _。 (空 集 )t11、 如 果 kx2+2kx (k+2)0 恒 成 立 ， 则 实 数 k 的 取 值 范 围 是 C(等 号 )(A) 1 k 0 (B) 1 k0 (C) 1k 0 (D) 1k012、 命 题 3， 命 题 0， 若 A 是 B 的 充 分 不 必 要 条 件 ，:xa则 的 取 值 范 围 是 C(等 号 )a（ A） （ B） （ C） （ D）(4,)4,(,4),413、 若 不 等 式 x2 logax0 在 (0, )内 恒 成 立 ， 则 实 数 的 取 值 范 围 是 A(等 号 )12 a(A) ,1) (B) (1, + ) (C) ( ,1) (D) ( ,1) (1,2)116 116 1214、 若 不 等 式 ( 1)na 2 + 对 于 任 意 正 整 数 n 恒 成 立 ， 则 实 数(1)n + 1n的 取 值 范 围 是 A(等 号 )a(A) 2， ) (B) ( 2， ) (C) 3， ) (D) ( 3， )32 32 32 3215、 已 知 定 义 在 实 数 集 上 的 函 数 满 足 ： ； 当 时 ， ；Rfx1f0x()0fx对 于 任 意的 实 数 、 都 有 。 证 明 ： 为 奇 函 数 。 (特 殊 与 一 般 关xy()()fxyfy()f第 8 页 （ 共 20 页 ）系 )16、 已 知 函 数 f(x) = ， 则 函 数 的 单 调 区 间 是 _。 递 减 区 间12xx + 1 ()fx( ， 1)和 ( 1， +)（ 单 调 性 、 单 调 区 间 ）17、 函 数 y = 的 单 调 递 增 区 间 是 _。 ， 1）log0. 5(x21) 2（ 定 义 域 ）18、 函 数 f (x) = log (x 2 + a x + 2) 值 域 为 R， 则 实 数 a 的 取 值 范围 是 D(正 确 使 用 0 和 0)(A) ( 2 ,2 ) (B) 2 ,2 22 22(C) ( , 2 ) (2 ,+) (D) ( , 2 2 ,+)2 2 2 219、 若 x 0， y 0 且 x+2y=1， 那 么 2x+3y2 的 最 小 值 为 B(隐 含 条 件 )（ A） 2 （ B） （ C） （ D） 034 2320、 函 数 y= 的 值 域 是 _。 ( , ) ( ,1) (1,+ ) 64x 5（ 定 义 域 ）21. 已 知 f(3)=2， f(3)=-2， 则 3)(limxf的 值 为 （ ）A -4 B 0 C 8 D 不 存 在22、 已 知 f (x) 是 周 期 为 2 的 奇 函 数 ， 当 x 0,1) 时 ， f (x) = 2 x，则 f (log 23) = D(对 数 运 算 )(A) (B) (C) (D) 2316 1623 1623 231623、 已 知 函 数 在 处 取 得 极 值 。xbaxf)(（ 1） 讨 论 和 是 函 数 的 极 大 值 还 是 极 小 值 ； （ a=1,b=0, )1f)(f是 极 大 值 ， 是 极 小 值 ）)(f(（ 2） 过 点 作 曲 线 的 切 线 ， 求 此 切 线 方 程 。)6,0A)(xfy（ y=9x+16,(2004 天 津 )（ 求 极 值 或 最 值 推 理 判 断 不 充 分 (建 议 列 表 )； 求 过 点 切 线 方 程 ， 不 判 断 点 是 否在 曲 线 上 。 ）24、 函 数 y = sin x (1 + tan x tan )的 最 小 正 周 期 是 C （ 定 义 域 ）x2(A) (B) (C) 2 (D) 3225、 已 知 tan ( )= 则 tan = ； = 。 、3 sin cos 3cos 2 2sin 2（ 化 齐 次 式 ）26、 若 3 sin 2 + 2 sin 2 2 sin = 0， 则 cos 2 + cos 2 的 最 小 值是 _ 。 (隐 含 条 件 )14927、 已 知 sin + cos = ， (0， )， 则 tan = _。 (隐 含1