2017年电大专科高等数学期末考试复习试题及答案

高等数学期末复习1、求函数的定义域：1）含有平方根的：被开方数0，2）含分式的：分母0含对数的：真数0例： 1.函数 的定义域是 )1ln(92xy2、函数的对应规律例：设 求2134,fxxf解：由于 中的表达式是 x+1，可将等式右端表示为 x+1 的形式2)(2)1()()(22 xfxf或：令 )(43112 ftttftxt则3、判断两个函数是否相同：定义域相同及对应规律相同例：1、下列各函数对中， （ B ）中的两个函数相同A、 B、2(),yx2,1xyC、 D、2ln,l22sinco,xy4、判断函数的奇偶性：若 ，则 为偶函数；若 ，则 为奇函数，fxfffxffx也可以根据一些已知的函数的奇偶性，再利用“奇函数 奇函数、奇函数 偶函数仍为奇函数；偶函数 偶函数、偶函数偶函数、奇函数奇函数仍为偶函数”的性质来判断。奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于 y 轴对称。例：下列函数中， （ A ）是偶函数 A B3sinfx31fxC Dxacos5、无穷小量：极限为零的变量。性质：无穷小量和有界变量的积仍是无穷小量例 1）: 当 时，下列变量为无穷小量的是（ B ）0A、cosx B、ln(1+x) C、x+1 D、 xe2） 0 0limsnx6、函数在一点处极限存在的充要条件是左右极限存在且相等( D )0lixA、1 B、1 C、 1 D、不存在230)1ln(92 xx 且7、极限的计算：对于“ ”形01sin2)10xl） 利 用 重 要 极 限约 去 零 因 子 后 再 计 算例 1） 21)1(1000 linxlinxlinxxx2） =(3silm)si(l121 xx )1(sin)3(li1xx )1(sinlm)3(li1xx48、导数的几何意义： ；处 的 切 线 的 斜 率在 点表 示 曲 线 00)(fyf)(, 00 xfyxy 处 的 切 线 方 程在 点 （曲 线例：曲线 在 处的切线斜率是 1)(xf)2,(解： =21f )1(2, xy故 切 线 方 程 为 ：9、导数的计算：复合函数求导原则：由外向内，犹如剥笋，层层求导例 1）设 ，求 sinlxyy解： 2coi2例 2）设 ，求 dysxye解; 21(in)2xdd10、判断函数的单调性： 的 区 间 。系 式 的 区 间 为 单 调 递 增函 数 单 调 递 增 ， 满 足 关:0y的 区 间 。系 式 的 区 间 为 单 调 递 减函 数 单 调 递 减 ， 满 足 关:例：.函数 的单调减少区间是 1)(2xy ），故 单 调 减 少 区 间 是 （ 1012 11、应用题的解题步骤：1）根据题意建立函数关系式，2）求出驻点（一阶导数=0 的点） ，3）根据题意直接回答例 1） 求曲线 上的点，使其到点 的距离最短xy2)0,2(A解：曲线 上的点到点 的距离公式为2 ),(2)(yxd与 在同一点取到最小值，为计算方便求 的最小值点，将 代入得2 2dxy2xd2)(2令 )()(2令 得 可以验证 是 的最小值点，并由此解出 ，即曲线 上的点 和点0d1x1x2d2yxy2)2,1(到点 的距离最短)2,1(),(A2）某制罐厂要生产一种体积为 V 的无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？解：设容器的底半径为 ，高为 ，则其表面积为rhS2因为Vhr22r所以 rS22V由 ，得唯一驻点 ，此时 ，由实际问题可知，当底半径 和高 时可使用0S3r3h3Vr3h料最省12、不定积分与原函数的关系:设 ，则称函数 是 的原函数., FxfFxfcxFdf)()(例 1）若 的一个原函数为 ，则 （ B ）1A、 B、 C、 D 、lnx32x21x解： 32)(1)(ff 2）已知 ，则 （答案：C）sinxfdcfA. B. C. D.sinxosxcosx解： fxxf )(cos)(i)13、性质： ,fdxdfc例 1） （ B ） xx)(32A. B. C. D. )(3xf)(32xf)(1xf)(31xf例 2） +Cdtantan14、不定积分的计算：1）凑微分；2）分部积分1） 常用凑微分： ),1(),(ln1),(1),(1 2xdxdxxdxbx 2d cossicos),(e例 1）若 ，则 （ B ） cxFf)()(xfdA. B. C. D. )()(2cF)2( cxF)(1解： xdxfdxf 1例 2）计算 e2解： )1(d21xxcx1e例 3)计算 lnsi解; cxddx )os(ln)(li2） 分部积分的常见类型： xddvxdxeenxncoscossini的 形 式 。凑 成、把，再根据分部积分公式 计算的 形 式凑 成把 vxdxnl uu例 1）计算 e解： cexdexexdxx xx )()(例 2）计算不定积分 3cos解： cxxdxxxxd 3os1sin3sin3i1)(sin1)(13cos例 3）计算 dd )()l(1)l(lln)ln(= cxxxx)1()115、定积分的牛顿莱布尼兹公式：设 F（x）是 f(x)的一个原函数，则 )()(xFdfbaab)(aF例：若 是 的一个原函数，则下列等式成立的是（ B ）FxfA. B. adx xafdFxC. D. bfbbba16、奇偶函数在对称区间上的积分：若 是奇函数，则有fx0afxd若 是偶函数，则有 022aa afxdfxd例 1)： 12x分析： 为奇函数，所以 02112xd例 2） 1xd分析： 为偶函数 故： 112100|xx17、定积分的计算：1）凑微分，2）分部积分；定积分的凑微分和不定积分的计算相同。例 1） 计算12xed解：利用凑微分法， ，得21x1112 2|xxede例 2） 计算定积分 21解：利用凑微分法， ，得dx222111|x xeee定积分的分部积分与不定积分的计算基本相同：定积分的分部积分公式： babavduudv例 1） 计算 120xe解： 0121012)(2