机械工程测试技术基础课后答案

机械工程测试技术基础习题解答第一章 信号的分类与描述1-1 求周期方波（见图 1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式） ，划出| cn| 和 n 图，并与表 1-1 对比。图 1-4 周期方波信号波形图0 tx(t) T02T20A-A0解答：在一个周期的表达式为.0 ()2() TAtxt积分区间取（-T/2，T/2） 0 00 0 002 22111()d=d+d =cos- (, , 3)T Tjnt jnt jntTnxeAeAeAj所以复指数函数形式的傅里叶级数为， 。0 01() (cos)jnt jntnAxtceje=, 12, 3(1os) (=0, 2, 3)0nIRc 2 21,3(1cos)0246, nRnI A nAccn ,35,2arctn1,046InRn 没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。|cn| n/2-/200 30 5030 502A/2A/3 2A/5幅频图 相频图周期方波复指数函数形式频谱图2A/5 2A/32A/-0-30-50-0-30-501-2 求正弦信号 的绝对均值 和均方根值 。0()sinxttxrmsx解答： 0002 200 411()dsidsindcosTTTTx xtxttt 22200rms 00 1()i dTTTxttt1-3 求指数函数 的频谱。(,)atxtAet解答： (2)22 0220 ()()() ajftjftatjfteAajfXfxtededAajf 22()()kfafIm()rctnarctnRe()Xfff单边指数衰减信号频谱图f|X(f)|A/a0(f)f0/2-/21-4 求符号函数(见图 1-25a)和单位阶跃函数(见图 1-25b)的频谱。tsgn(t)01-1tu(t)01图 1-25 题 1-4 图a)符号函数 b)阶跃函数a)符号函数的频谱 10()sgntxttt=0 处可不予定义，或规定 sgn(0)=0。该信号不满足绝对可积条件，不能直接求解，但傅里叶变换存在。可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘，这样便满足傅里叶变换的条件。先求此乘积信号 x1(t)的频谱，然后取极限得出符号函数 x(t)的频谱。1 0()sgn()atatee10limaxttxt022211 2204()() ()jftatjftatjft fXftedededja 10()sgn()li()aftXfjfF1()Xff02()ff符号函数1()sgn()atxetx1(t)01 -1 符号函数频谱 f(f)0 /20 f|X(f)| -/2b)阶跃函数频谱 0()tut在跳变点 t=0 处函数值未定义，或规定 u(0)=1/2。阶跃信号不满足绝对可积条件，但却存在傅里叶变换。由于不满足绝对可积条件，不能直接求其傅里叶变换，可采用如下方法求解。解法 1：利用符号函数()sgn()2utt1111sgn()()()222Uft tfjfjffFF22()()fff结果表明，单位阶跃信号 u(t)的频谱在 f=0 处存在一个冲激分量，这是因为 u(t)含有直流分量，在预料之中。同时，由于 u(t)不是纯直流信号，在 t=0 处有跳变，因此在频谱中还包含其它频率分量。单位阶跃信号频谱f|U(f)|0(1/2)f(f)0/2-/2解法 2：利用冲激函数 10()()dt tu时时根据傅里叶变换的积分特性 11()()()(0)()22tUf fffjj f F1-5 求被截断的余弦函数 (见图 1-26)的傅里叶变换。0cost0cs()tTxt解： 0()o2)twftw(t)为矩形脉冲信号 sinc()WfTf002201co(2)jftjftte所以 00()jftjftxwt根据频移特性和叠加性得： 00011()()()22sincsinc2()XfWffTTf可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二，各向左右移动 f0，同时谱线高度减小一半。也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。图 1-26 被截断的余弦函数ttT-TT-Tx(t)w(t)1001-1fX(f)Tf0-f0被截断的余弦函数频谱1-6 求指数衰减信号 的频谱0()sinatxe指数衰减信号x(t)解答： 0001sin()2jtjtte所以 00()jtjtatx单边指数衰减信号 的频谱密度函数为1(),0)atxet11 201()()jtatjt ajXfeddj根据频移特性和叠加性得： 00101022222 02 22200 0()()()()()()()()()jajXj aaj 00X()-()指数衰减信号的频谱图1-7 设有一时间函数 f(t)及其频谱如图 1-27 所示。现乘以余弦型振荡。在这个关系中，函数 f(t)叫做调制信号，余弦振荡 叫做载波。0cos()mt 0cost试求调幅信号 的傅里叶变换，示意画出调幅信号及其频谱。又问：若0cosftt时将会出现什么情况？0m图 1-27 题 1-7 图F()0f(t)0 t -m m解： 0()cos()xtftF0001cos()2jtjtte所以 00()jtjtxff根据频移特性和叠加性得： 0011()()()22XfF可见调幅信号的频谱等于将调制信号的频谱一分为二，各向左右移动载频 0，同时谱线高度减小一半。fX(f)0-0矩形调幅信号频谱若 将发生混叠。0m1-8 求正弦信号 的均值 、均方值 和概率密度函数 p(x)。0()sin()xttx2x解答：(1) ，式中 正弦信号周期0011li()dsi()d0TTxtxt 0T(2) 0 02 2222 00 1cos()lim()sin() dTT Tx xxtxtxt (3)在一个周期内012xtt02()limxTtPt T20 000()d1()li lix xt ttpxxx x(t)正弦信号xx+xt tt第二章 测试装置的基本特性2-1 进行某动态压力测量时，所采用的压电式力传感器的灵敏度为 90.9nC/MPa，将它与增益为 0.005V/nC 的电荷放大器相连，而电荷放大器的输出接到一台笔式记录仪上，记录仪的灵敏度为 20mm/V。试计算这个测量系统的总灵敏度。当压力变化为 3.5MPa 时，记录笔在记录纸上的偏移量是多少？解：若不考虑负载效应，则各装置串联后总的灵敏度等于各装置灵敏度相乘，即S=90.9(nC/MPa)0.005(V/nC)20(mm/V)=9.09mm/MPa。偏移量： y=S3.5=9.093.5=31.815mm。2-2 用一个时间常数为 0.35s 的一阶装置去测量周期分别为 1s、2s 和 5s 的正弦信号，问稳态响应幅值误差将是多少？解：设一阶系统 ，1()Hs1()j， T 是输入的正弦信号的周期22()1()()A稳态响应相对幅值误差 ，将已知周期代入得10%A58.6%1s327.T2-3 求周期信号 x(t)=0.5cos10t+0.2cos(100t45)通过传递函数为 H(s)=1/(0.005s+1)的装置后得到的稳态响应。解： ， ，1()0.5Hj21()(0.5)A()arctn(0.5)该装置是一线性定常系统，设稳态响应为 y(t)，根据线性定常系统的频率保持性、比例性和叠加性得到y(t)=y01cos(10t+1)+y02cos(100t45+2)其中 ，010)0.549(.Ax1(arctn51)2.86，02022) 0.179(.)yx2(1arctn516.5所以稳态响应为 ()0.49os(28)0179cos(71.5)yt t2-4 气象气球携带一种时间常数为 15s 的一阶温度计，以 5m/s 的上升速度通过大气层。设温度按每升高 30m 下降 0.15的规律而变化，气球将温度和高度的数据用无线电送回地面。在 3000m 处所记录的温度为l。试问实际出现l的真实高度是多少？解：该温度计为一阶系统，其传递函数设为 。温度随高度线性变化，1()5Hs对温度计来说相当于输入了一个斜坡信号，而这样的一阶系统对斜坡信号的稳态响应滞后时间为时间常数 =15s，如果不计无线电波传送时间，则温度计的输出实际上是 15s 以前的温度，所以实际出现l的真实高度是Hz=H-V=3000-515=2925m2-5 想用一个一阶系统做 100Hz 正弦信号的测量，如要求限制振幅误差在 5%以内，那么时间常数应取多少？若用该系统测量 50Hz 正弦信号，问此时的振幅误差和相角差是多少？解：设该一阶系统的频响函数为， 是时间常数1()j则 2()1()A稳态响应相对幅值误差 21()10%0%()Af令 5%， f=100Hz，解得 523s。如果 f=50Hz，则相对幅值误差： 2 62110110.3()(2530)f 相角差： arctn()arctn9.f 2-6 试说明二阶装置阻尼比 多采用 0.60.8 的原因。