2017年高二下学期期末数学试卷两套合集一（理科）附答案解析

第 1 页（共 33 页） 2017年 高二 下学期 期末数学试卷 两套合集一 （理科） 附答案解析 高二（下）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1双曲线 =1 的渐近线方程为（ ） A y= x B y= 2x C y= x D y= x 2复数 z=（ 3 2i） i 的共轭复数 等于（ ） A 2 3i B 2+3i C 2 3i D 2+3i 3观察下列式子： 1+3=22， 1+3+5=32， 1+3+5+7=42， 1+3+5+7+9=52， ，据此你可以归纳猜想出的一般结论为（ ） A 1+3+5+（ 2n+1） =n N*） B 1+3+5+（ 2n+1） =（ n+1） 2（ n N*） C 1+3+5+（ 2n 1） =（ n 1） 2（ n N*） D 1+3+5+（ 2n 1） =（ n+1） 2（ n N*） 4定积分 ） A 1+e B e C e 1 D 1 e 5已知 x， y 的取值如表所示，若 y 与 x 线性相关，且线性回归方程为 ，则 的值为（ ） x 1 2 3 y 6 4 5 A B C D 6函数 f（ x） =3x+2 的极大值点是（ ） A x= 1 B x=1 C x=0 D x= 1 7设（ 2x 1） 5=a0+ a1+a2+a3+a4+ ） A 2 B 1 C 0 D 1 8函数 f（ x） = 的导函数 f（ x）为（ ） A f（ x） = B f（ x） = C f（ x） = D f（ x） = 9五人站成一排，其中甲、乙之间有且仅有 1 人，不同排法的总数是（ ） A 48 B 36 C 18 D 12 第 2 页（共 33 页） 10已知椭圆 + =1 的左、右焦点分别为 P 在椭圆上，若 | ，则 ） A B C D 11已知 P 是抛物线 x 上一动点，则点 P 到直线 l： 2x y+3=0 和 y 轴的距离之和的最小值是（ ） A B C 2 D 1 12已知 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，且 f（ 2） =0，当 x 0 时， f（ x） + x） 0（其中 f（ x）为 f（ x）的导函数），则 f（ x） 0 的解集为（ ） A（ ， 2） （ 2， +） B（ ， 2） （ 0， 2） C（ 2， 0） （ 2， +）D（ 2， 0） （ 0， 2） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13（ x ） 6 展开式的常数项为 _ 14若曲线 y=kx+点（ 1， k）处的切线平行于 x 轴，则 k=_ 15已知椭圆 + =1（ a b 0）的左焦点 c， 0），右焦点 c， 0），若椭圆上存在一点 P，使 |2c， 0，则该椭圆的离心率 e 为 _ 16若存在正实数 e （ a） 2（其中 e 是自然对数的底数， e=成立，则实数 a 的取值范围是 _ 三、解答题：本大题共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知抛物线 y 的焦点为 F， P 为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点 （ ）当 |2 时，求点 P 的坐标； （ ）求点 P 到直线 y=x 10 的距离的最小值 18学校游园活动有这样一个游戏： A 箱子里装有 3 个白球， 2 个黑球， B 箱子里装有 2 个白球， 2 个黑球，参加该游戏的同学从两个箱子中各摸出一个球，若颜色相同则获奖，现甲同学参加了一次该游戏 （ ）求甲获奖的概率 P； （ ）记甲摸出的两个球中白球的个数为 ，求 的分布列和数学期望 E（ ） 19已知函数 f（ x） =x+3（ y=k），曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程为 y= x+b（ b R） （ ） 求 a， b 的值； （ ） 求 f（ x）的极值 20某市高二学生进行了体能测试，经分析，他们的体能成绩 X 服从正态分布 N（ ， 2），已知 P（ X 75） =P（ X 95） = ）求 P（ 75 X 95）； 第 3 页（共 33 页） （ ）现从该市高二学生中随机抽取 3 位同学，记抽到的 3 位同学中体能测试成绩不超过75 分的人数为 ，求 的分布列和数学期望 21已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率 e= ，点 A（ 1， ）在椭圆 C 上 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）过椭圆 C 的左顶点 B 且互相垂直的两直线 别交椭圆 C 于点 M， N（点 M， ），试问直线 否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，说明理由 22已知函数 f（ x） =（ a R） （ ）若 a= 4，求 f（ x）的单调区间； （ ）若 f（ x） 0 在区间 1， +）上恒成立，求 a 的最小值 第 4 页（共 33 页） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1双曲线 =1 的渐近线方程为（ ） A y= x B y= 2x C y= x D y= x 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 运用双曲线 =1 的渐近线方程为 y= x，求得已知双曲线方程的 a， b，即可得到所求渐近线方程 【解答】 解：由双曲线 =1 的渐近线方程为 y= x， 双曲线 =1 的 a=2， b= ， 可得所求渐近线方程为 y= x 故选： A 2复数 z=（ 3 2i） i 的共轭复数 等于（ ） A 2 3i B 2+3i C 2 3i D 2+3i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接由复数代数形式的乘法运算化简 z，则其共轭可求 【解答】 解： z=（ 3 2i） i=2+3i， 故选： C 3观察下列式子： 1+3=22， 1+3+5=32， 1+3+5+7=42， 1+3+5+7+9=52， ，据此你可以归纳猜想出的一般结论为（ ） A 1+3+5+（ 2n+1） =n N*） B 1+3+5+（ 2n+1） =（ n+1） 2（ n N*） C 1+3+5+（ 2n 1） =（ n 1） 2（ n N*） D 1+3+5+（ 2n 1） =（ n+1） 2（ n N*） 【考点】 归纳推理 【分析】 观察不难发现，连续奇数的和等于奇数的个数的平方，然后写出第 n 个等式即可 【解答】 解： 1+3=22， 1+3+5=32， ， 第 n 个等式为 1+3+5+（ 2n+1） =（ n+1） 2（ n N*）， 故选： B 4定积分 ） 第 5 页（共 33 页） A 1+e B e C e 1 D 1 e 【考点】 定积分 【分析】 求出被积函数的原函数，计算即可 【解答】 解：原式 = =e 1； 故选 C 5已知 x， y 的取值如表所示，若 y 与 x 线性相关，且线性回归方程为 ，则 的值为（ ） x 1 2 3 y 6 4 5 A B C D 【考点】 线性回归方程 【分析】 根据所给的三组数据，求出这组数据的平均数，得到这组数据的样本中心点，根据线性回归直线一定过样本中心点，把样本中心点代入所给的方程，得到 b 的值 【解答】 解：根据所给的三对数据，得到 =2， =5， 这组数据的样本中心点是（ 2， 5） 线性回归直线的方程一定过样本中心点，线性回归方程为 ， 5=2b+6 b= 故选： D 6函数 f（ x） =3x+2 的极大值点是（ ） A x= 1 B x=1 C x=0 D x= 1 【考点】 利用导数研究函数的极值 【分析】 先求导函数，确定导数为 0 的点，再确定函数的单调区间，利用左增右减，从而确定函数的极大值点 【解答】 解： f（ x） =3x+2， f（ x） =33， 当 f（ x） =0 时， 33=0， x= 1 令 f（ x） 0，得 x 1 或 x 1； 令 f（ x） 0，得 1 x 1； 函数的单调增区间为（ ， 1），（ 1， +），函数的单调减区间为（ 1， 1） 函数的极大值点是 x= 1 故选： D 7设（ 2x 1） 5=a0+ a1+a2+a3+a4+ ） A 2 B 1 C 0 D 1 【考点】 二项式定理的应用 第 6 页（共 33 页） 【分析】 利用赋值法将 x=0 代入，可得 将 x=1 代入， 入解得 a1+a2+a3+a4+ 【解答】 解：把 x=0 代入得， 1， 把 x=1 代入得 a0+a1+a2+a3+a4+， 把 1，代入得 a1+a2+a3+a4+（ 1） =2 故选： A 8函数 f（ x） = 的导函数 f（ x）为（ ） A f（ x） = B f（ x） = C f（ x） = D f（ x） = 【考点】 导数的运算 【分析】 根据函数商的导数公式进行求解即可 【解答】 解：函数的导数 f（ x） = = ， 故选： B 9五人站成一排，其中甲、乙之间有且仅有 1 人，不同排法的总数是（ ） A 48 B 36 C 18 D 12 【考点】 排列、组合及简单计数问题 【分析】 甲、乙两人和中间一人捆绑算一个元素，共三个元素排列，不要忘记甲、乙两人之间的排列 【解答】 解：因为 5 人站成一排， 甲、乙两人之间恰有 1 人的不同站法 =36， 故选： B 10已知椭圆 + =1 的左、右焦点分别为 P 在椭圆上，若 | ，则 ） A B C D 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 利用椭圆的标准方程及其定义可得： |，再利用余弦定理即可得出 【解答】 解： 椭圆 + =1， a=2 ， b=2=c， 第 7 页（共 33 页） | ， |4 ， |=3 ， = 故选： D 11已知 P 是抛物线 x 上一动点，则点 P 到直线 l： 2x y+3=0 和 y 轴的距离之和的最小值是（ ） A B C 2 D 1 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 作图，化点 P 到直线 l： 2x y+3=0 和 y 轴的距离之和为 A 1，从而求最小值 【解答】 解：由题意作图如右图， 点 P 到直线 l： 2x y+3=0 为 点 P 到 y 轴的距离为 1； 而由抛物线的定义知， F； 故点 P 到直线 l： 2x y+3=0 和 y 轴的距离之和为 A 1； 而点 F（ 1， 0）到直线 l： 2x y+3=0 的距离为 = ； 故点 P 到直线 l： 2x y+3=0 和 y 轴的距离之和的最小值为 1； 故选 D 12已知 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，且 f（ 2） =0，当 x 0 时， f（ x） + x） 0（其中 f（ x）为 f（ x）的导函数），则 f（ x） 0 的解集为（ ） A（ ， 2） （ 2， +） B（ ， 2） （ 0， 2） C（ 2， 0） （ 2， +）D（ 2， 0） （ 0， 2） 【考点】 利用导数研究函数的单调性 第 8 页（共 33 页） 【分析】 由当 x 0 时， f（ x） + x） 0，可得 g（ x） =x）在（ 0， +）上是增函数，结合函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数， f（ 2） =0，可得关于 x 的不等式 f（ x） 0 的解集 【解答】 解： 函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数， f（ x） = f（ x） 令 g（ x） =x）， g（ x） =g（ x）是定义在 R 上的偶函数， 又 f（ 2） =0， f（ 2） = f（ 2） =0， g（ 2） =g（ 2） =0 又 当 x 0 时， f（ x） + x） 0， 即当 x 0 时， g（ x） 0， 即 g（ x）在（ 0， +）上是增函数，在（ ， 0）是减函数， 当 x 0 时， f（ x） 0，即 g（ x） g（ 2），解得： x 2 当 x 0 时， f（ x） 0，即 g（ x） g（ 2），解得： 2 x 0， 不等式 x） 0 的解集为：（ 2， 0） （ 2， +）， 故（ 2， 0） （ 2， +） 故选： C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13（ x ） 6 展开式的常数项为 20 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 0，求得 r 的值，即可求得展开式中的常数项的值 【解答】 解：由于（ x ） 6 展开式的通项公式为 = （ 1） r2r， 令 6 2r=0，求得 r=3，可得（ x ） 6 展开式的常数项为 = 20， 故答案为： 20 14若曲线 y=kx+点（ 1， k）处的切线平行于 x 轴，则 k= 1 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 先求出函数的导数，再由题意知在 1 处的导数值为 0，列出方程求出 k 的值 【解答】 解：由题意得， y=k+ ， 在点（ 1， k）处的切线平行于 x 轴， k+1=0，得 k= 1， 故答案为： 1 15已知椭圆 + =1（ a b 0）的左焦点 c， 0），右焦点 c， 0），若椭圆上存在一点 P，使 |2c， 0，则该椭圆的离心率 e 为 【考点】 椭圆的简单性质 第 9 页（共 33 页） 【分析】 由椭圆的定义，可得 |2a 2c，在 ，由余弦定理可得 c= （ a c），再由离心率公式，计算即可得到所求值 【解答】 解：由椭圆的定义可得， 2a=| 由 |2c，可得 |2a 2c， 在 ，由余弦定理可得， = = ， 化简可得， c= （ a c）， 即有 e= = = 故答案为： 16若存在正实数 e （ a） 2（其中 e 是自然对数的底数， e=成立，则实数 a 的取值范围是（ 2， +） 【考点】 其他不等式的解法 【分析】 由求导公式和法则求出 f（ x），化简后根据导数的符号判断出 f（ x）的单调性，对a 进行分类讨论，根据函数的单调性求出函数的最小值，由条件和存在性问题列出不等式，求出实数 a 的取值范围 【解答】 解：由题意设 f（ x） =x a） 2， 则 f（ x） =x a+1），由 f（ x） =0 得， x=a 1， 当 x （ ， a 1）时， f（ x） 0，则 f（ x）是减函数， 当 x （ a 1， +）时， f（ x） 0，则 f（ x）是增函数， 当 a 1 0 时，则 a 1， f（ x）在（ 0， +）上是增函数， 存在正实数 e （ a） 2 成立， 函数的最小值是 f（ 0） = a 2 0，解得 a 2，即 2 a 1； 当 a 1 0 时，则 a 1， f（ x）在（ 0， a 1）是减函数，在（ a 1， +）上是增函数， 存在正实数 e （ a） 2 成立， 函数的最小值是 f（ a 1） =1（ a 1 a） 2 0， 即 1 2 0 恒成立， 则 a 1， 综上可得，实数 a 的取值范围是（ 2， +） 三、解答题：本大题共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知抛物线 y 的焦点为 F， P 为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点 （ ）当 |2 时，求点 P 的坐标； 第 10 页（共 33 页） （ ）求点 P 到直线 y=x 10 的距离的最小值 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 （ ）利用抛物线的定义，即可求得点 P 的坐标； （ ）首先求得点 P 到直线 y=x 10 的距离 d 的关于 a 的关系式，由二次函数的性质即可解得最小值 【解答】 解：（ ）由抛物线 y 的焦点为 F， P 为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点， 故设 P（ a， ），（ a 0）， |2，结合抛物线的定义得， +1=2， a=2， 点 P 的坐标为（ 2， 1）； （ ）设点 P 的坐标为 P（ a， ），（ a 0）， 则点 P 到直线 y=x 10 的距离 d 为 = ， a+10= （ a 2） 2+9， 当 a=2 时， a+10 取得最小值 9， 故点 P 到直线 y=x 10 的距离的最小值 = = 18学校游园活动有这样一个游戏： A 箱子里装有 3 个白球， 2 个黑球， B 箱子里装有 2 个白球， 2 个黑球，参加该游戏的同学从两个箱子中各摸出一个球，若颜色相同则获奖，现甲同学参加了一次该游戏 （ ）求甲获奖的概率 P； （ ）记甲摸出的两个球中白球的个数为 ，求 的分布列和数学期望 E（ ） 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （ ）利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式能求出甲获奖的概率 （ ）由题意 的可能取值为 0， 1， 2，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和 E（ ） 【解答】 解：（ ） A 箱子里装有 3 个白球， 2 个黑球， B 箱子里装有 2 个白球， 2 个黑球， 参加该游戏的同学从两个箱子中各摸出一个球，颜色相同则获奖， 现甲同学参加了一次该游戏 甲获奖的概率 P= = （ ）由题意 的可能取值为 0， 1， 2， P（ =0） = = ， 第 11 页（共 33 页） P（ =1） = = ， P（ =2） = = ， 的分布列为： 0 1 2 P E（ ） = = 19已知函数 f（ x） =x+3（ y=k），曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程为 y= x+b（ b R） （ ） 求 a， b 的值； （ ） 求 f（ x）的极值 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ ）求导数，利用曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程为 y= x+b，可求 a、 b 的值； （ ）确定函数的单调性，即可求 f（ x）的极值 【解答】 解：（ ）由 ，则 ，得 a=2， 所以 ， ， 把切点 代入切线方程有 ，解得 b=1， 综上： a=2， b=1 （ ）由（ ）有 ， 当 0 x 时， f（ x） 0， f（ x）单调递增；当 时， f（ x） 0， f（ x）单调递减 所以 f（ x）在 时取得极大值 ， f（ x）无极小值 20某市高二学生进行了体能测试，经分析，他们的体能成绩 X 服从正态分布 N（ ， 2），已知 P（ X 75） =P（ X 95） = ）求 P（ 75 X 95）； （ ）现从该市高二学生中随机抽取 3 位同学，记抽到的 3 位同学中体能测试成绩不超过75 分的人数为 ，求 的分布列和数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【分析】 （ ）由 P（ 75 X 95） =1 P（ X 75） P（ X 95），能求出结果 第 12 页（共 33 页） （ ） 的可能取值为 0， 1， 2， 3，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和数学期望 【解答】 解：（ ） 体能成绩 X 服从正态分布 N（ ， 2）， P（ X 75） =P（ X 95）= P（ 75 X 95） =1 P（ X 75） P（ X 95） =1 （ ） 的可能取值为 0， 1， 2， 3， P（ =0） = = ， P（ =1） = ， P（ =2） = = ， P（ =3） = = ， 的分布列为： 0 1 2 3 P E（ ） = = 21已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率 e= ，点 A（ 1， ）在椭圆 C 上 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）过椭圆 C 的左顶点 B 且互相垂直的两直线 别交椭圆 C 于点 M， N（点 M， ），试问直线 否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，说明理由 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）运用椭圆的离心率公式和将 A 点坐标代入椭圆的标准方程，解方程组得出 a，b，即可得到椭圆方程； （ ）设两条直线方程分别为 y=k， y= （ x+2），分别与椭圆方程联立解出 M， N 坐标，得出直线 斜率和方程，即可得出定点坐标 【解答】 解：（ ） e= = ， b2= 点 A（ 1， ）在椭圆 C 上，可得 + =1， 解方程可得 a=2， b=1， c= ， 可得椭圆方程为 +； 第 13 页（共 33 页） （ ）椭圆的左顶点为 B（ 2， 0）， 由题意可知直线 斜率存在且不为 0 设直线 方程为 y=k， 则直线 方程为 y= （ x+2）， 联立方程组 ，得（ 1+4664=0， 由 2，解得 ， 即有 M（ ， ）， 同理将 k 换为 ，可得 N（ ， ） 直线 斜率 = ， 直线方程为 y = （ x ）， 即 y= x+ ， 即 y= （ x+ ）， 直线 定点（ ， 0） 22已知函数 f（ x） =（ a R） （ ）若 a= 4，求 f（ x）的单调区间； （ ）若 f（ x） 0 在区间 1， +）上恒成立，求 a 的最小值 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （ ）分离参数，问题转化为 a ， x 1，在区间（ 1， +）上恒成立，令 g（ x）= ， x 1，根据函数的单调性求出 a 的最小值即可 第 14 页（共 33 页） 【解答】 解：（ ） a= 4 时， f（ x） = 4，（ x 0）， f（ x） = +x= ， 令 f（ x） 0，解得： x 2，令 f（ x） 0，解得： 0 x 2， f（ x）在（ 0， 2）递减，在（ 2， +）递增； （ ）若 f（ x） 0 在区间 1， +）上恒成立， x=1 时，成立， x 1 时， 即 a 在区间（ 1， +）上恒成立， 令 g（ x） = ， x 1， 则 g（ x） = ， 令 h（ x） = 4x ，（ x 1）， h（ x） = 4 0， h（ x）在（ 1， +）递减， h（ x） h（ 1） =0， g（ x） 0， g（ x）在（ 1， +）递减， 而 = = 1， 故 g（ x） g（ 1） = 1， a 1， 故 a 的最小值是 1 第 15 页（共 33 页） 高二（下）期末数学试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1若集合 M=x|x 2| 3， x R， N=y|y=1 x R，则 M（ =（ ） A（ 1， 5 B（ 1， 5 C 1， 1 D 1， 5 2下列函数既是偶函数又在（ 0， +）上单调递增的函数是（ ） A y= y=|x|+1 C y= D y=2 |x| 3用三段论推理： “指数函数 y=增函数，因为 y=（ ） x 是指数函数，所以 y=（ ） ，你认为这个推理（ ） A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D是正确的 4某单位有 7 个连在一起的车位，现有 3 辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的 4 个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为（ ） A 16 B 18 C 24 D 32 5若从 1， 2， 3， ， 9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（ ） A 60 种 B 63 种 C 65 种 D 66 种 6用数学归纳法证明不等式 + + （ n 2，且 n N*）的过程中，由 n=n=k+1 时，不等式左边（ ） A增加了一项 B增加了两项 ， C增加了 B 中的两项，但又减少了另一项 D增加了 A 中的一项，但又减少了另一项 7一个口袋中装有 3 个白球和 3 个黑球，独立事件是（ ） A第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球 B摸出后不放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球 C摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球 D一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球 8若正 边长为 a，其内一点 P 到三边距离分别为 x， y， z，则S是 x+y+z= 类比推理，求解下面的问题正四面体棱长为 2，其内一点 M 到各个面的距离分别为 d1+d2+d3+值为（ ） A B C D 9设函数 y= y=（ ） x 2 的图象的交点为（ 则 在的区间是（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 2， 3） D（ 3， 4） 第 16 页（共 33 页） 10某校组织高一、高二年级书法比赛，高一、高二年级参赛人数分别占 60%、 40%；并且高一年级获奖人数占本年级参赛人数的 ，高二年级获奖人数占本年级参赛人数的 现从所有参赛学生中任意抽取一人，记事件 A 表示该学生来自高一，事件 B 表示该学生获奖，则 P（ B| ）的值为（ ） A B C D 11 C +C +C ）的值为（ ） A 1007 B 1008 C 2014 D 2015 12函数 f（ x） =，若实数 m 满足 f（ +f（ 3m 4） 0，则 m 的取值范围是（ ） A（ ， 1） （ 4， +） B（ 1， 4） C（ ， 4） （ 1， +） D（ 4，1） 二、填空题（本大题共有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13已知随机变量 服从正态分布 N（ 1， 2）， P（ 4） = P（ 2） =_ 14 + + + =_ 15某班要从 5 名男生与 3 名女生中选出 4 人参加学校组织的书法比赛，要求男生、女生都必须至少有一人参加，则共有不同的选择方案种数为 _（用数字作答） 16已知函数 f（ x） = 恰有 2个零点，则实数 _ 三、解答题（本大题共有 6 小题，共 70 分） 17已知复数 z=x+x， y R），满足 |z|= ， 虚部是 2， z 对应的点 A 在第一象限 （ 1）求 z； （ 2）若 z， z 复平面上对应点分别为 A， B， C求 18某社会研究机构为了了解高中学生在吃零食这方面的生活习惯，随机调查了 120 名男生和 80 名女生，这 200 名学生中共有 140 名爱吃零食，其中包括 80 名男生， 60 名女生请完成如表的列联表，并判断是否有 90%的把握认为高中生 是否爱吃零食的生活习惯与性别有关？ 女生 男生 总计 爱吃零食 不爱吃零食 总计 参考公式： ， n=a+b+c+d P（ 9某种产品的质量分为优质、合格、次品三个等级，其数量比例依次为 40%， 55%， 5%其中优质品和合格品都能正常使用；而次品无法正常使用，厂家会无理由退货或更换 第 17 页（共 33 页） （ ）小李在市场上购买一件这种产品，求此件产品能正常使用的概率； （ ）若小李购买此种产品 3 件，设其中优质产品件数为 ，求 的分布列及其数学期望 E（ ）和方差 D（ ） 20社会调查表明，家庭月收入 x（单位：千元）与月储蓄 y（单位：千元）具有线性相关关系，随机抽取了 10 个家庭，获得第 i 个家庭的月收入与月储蓄数据资料，算得 0，5， 80， x =540 （ ）求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程 = x+ ； （ ）若某家庭月收入为 5 千元，预测该家庭的月储蓄 参考公式：线性回归方程 = x+ 中， = ， = ，其中 ， 为样本平均值 21某市对居民在某一时段用电量（单位：度）进行调查后，为对数据进行分析统计，按照数据大、小将数据分成 A、 B、 C 三组，如表所示： 分组 A B C 用电量 （ 0， 80 （ 80， 250 从调查结果中随机抽取了 10 个数据，制成了如图的茎叶图： （ ）写出这 10 个数据的中位数和极差； （ ）从这 10 个数据中任意取出 3 个，其中来自 B 组的数据个数为 ，求 的分布列和数学期望； （ ）用抽取的这 10 个数据作为样本估计全市的居民用电量情况，从全市依次随机抽取 20户，若抽到 n 户用电量为 B 组的可能性较大，求 n 的值 说明：请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分 .选修 4何证明选讲 22如图， O 的一条切线，切点为 B，直线 是 O 的割线，已知 B （ 1）若 ， 求 的值 （ 2）求证： 第 18 页（共 33 页） 选修 4标系与参数方程 23在直角坐标系 ，直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），在 O 为极点， 线 C 的极坐标方程为 =2 （ 1）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程； （ 2）若直线 l 与 y 轴的交点为 P，直线 l 与曲线 C 的交点为 A， B，求 |值 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|x+2| 2|x 1| （ 1）解不等式 f（ x） 2； （ 2）对任意 x a， +），都有 f（ x） x a 成立，求实数 a 的取值范围 第 19 页（共 33 页） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1若集合 M=x|x 2| 3， x R， N=y|y=1 x R，则 M（ =（ ） A（ 1， 5 B（ 1， 5 C 1， 1 D 1， 5 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 分别求出关于集合 M， N 的范围，取交集即可 【解答】 解： M=x|x 2| 3， x R=x| 3 x 2 3=x| 1 x 5= 1， 5， N=y|y=1 x R=y|y 1=（ ， 1， 则 M（ = 1， 5（ 1， +） =（ 1， 5， 故选： A 2下列函数既是偶函数又在（ 0， +）上单调递增的函数是（ ） A y= y=|x|+1 C y= D y=2 |x| 【考点】 函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断 【分析】 根据常见基本函数的性质，对选项中的函数进行分析、判断即可 【解答】 解：对于 A，函数 y=定义域 R 上的奇函数，不合题意； 对于 B，函数 y=|x|+1 是定义域 R 上的偶函数，且在（ 0， +）上是单调递增函数，满足题意； 对于 C，函数 y= 是定义域 R 上的偶函数，且在（ 0， +）上是单调减函数，不合题意； 对于 D，函数 y=2 |x|是定义域 R 上的偶函数，且在（ 0， +）上是单调减函数，不合题意； 故选： B 3用三段论推理： “指数函数 y=增函数，因为 y=（ ） x 是指数函数，所以 y=（ ） ，你认为这个推理（ ） A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D是正确的 【考点】 演绎推理的基本方法 【分析】 指数函数 y=a 0 且 a 1）是 R 上的增函数，这个说法是错误的，要根据所给的底数的取值不同分类说出函数的不同的单调性，即大前提是错误的 【解答】 解：指数函数 y=a 0 且 a 1）是 R 上的增函数， 这个说法是错误的，要根据所给的底数的取值不同分类说出函数的不同的单调性， 大前提是错误的， 得到的结论是错误的， 在以上三段论推理中，大前提错误 故选 A 4某单位有 7 个连在一起的车位，现有 3 辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的 4 个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为（ ） A 16 B 18 C 24 D 32 【考点】 排列、组合及简单计数问题 第 20 页（共 33 页） 【分析】 本题是一个分类计数问题，首先安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共 7个，当三辆车都在最左边时，当左边两辆，最右边一辆时，当左边一辆，最 右边两辆时，当最右边三辆时，每一种情况都有车之间的一个排列 到结果 【解答】 解：由题意知本题是一个分类计数问题， 首先安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共 7 个， 当三辆车都在最左边时，有车之间的一个排列 当左边两辆，最右边一辆时，有车之间的一个排列 当左边一辆，最右边两辆时，有车之间的一个排列 当最右边三辆时，有车之间的一个排列 总上可知共有不同的排列法 4 4 种结果， 故选 C 5若从 1， 2， 3， ， 9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数， 则不同的取法共有（ ） A 60 种 B 63 种 C 65 种 D 66 种 【考点】 计数原理的应用 【分析】 本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得 4 个偶数时，当取得 4 个奇数时，当取得 2 奇 2 偶时，分别用组合数表示出各种情况的结果，再根据分类加法原理得到不同的取法 【解答】 解：由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况， 当取得 4 个偶数时，有 =1 种结果， 当取得 4 个奇数时，有 =5 种结果， 当取得 2 奇 2 偶时有 =6 10=60 共有 1+5+60=66 种结果， 故选 D 6用数学归纳法证明不等式 + + （ n 2，且 n N*）的过程中，由 n=n=k+1 时，不等式左边（ ） A增加了一项 B增加了两项 ， C增加了 B 中的两项，但又减少了另一项 D增加了 A 中的一项，但又减少了另一项 【考点】 数学归纳法 【分析】 当 n=k 时，写出左端，并当 n=k+1 时，写出左端，两者比较，关键是最后一项和增加的第一项的关系 第 21 页（共 33 页） 【解答】 解：当 n=k 时，左端 + + ， 那么当 n=k+1 时 左端 = + + + + ， 故第二步由 k 到 k+1 时不等式左端的变化是增加了 ， 两项，同时减少了 这一项， 故选： C 7一个口袋中装有 3 个白球和 3 个黑球，独立事件是（ ） A第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球 B摸出后不放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球 C摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球 D一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球 【考点】 随机事件 【分析】 根据独立事件的定义判断即可 【解答】 解：一个口袋中装有 3 个白球和 3 个黑球， 对于 A：第 一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球，是随机事件， 对于 B：摸出后不放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球，第二次受第一次的影响，不是独立事件， 对于 C：摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球，两者不受影响，是独立事件， 对于 D：一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球，有影响，不是独立事件， 故选： C 8若正 边长为 a，其内一点 P 到三边距离分别为 x， y， z，则S是 x+y+z= 类比推理，求解下面的问题正四面体棱长为 2，其内一点 M 到各个面的距离分别为 d1+d2+d3+值为（ ） A B C D 【考点】 类比推理 【分析】 由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，可以结合由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质 【解答】 解：类比在正三角形 部（不包括边界）任取一点 P， P 点到三边的距离分别为 h1+h2+定值，可得： P 是棱长