2012年考研必看考研数学概率论与数理统计公式

考研英语阅读理解技巧分析淘宝不懂胜懂1第第第第1章章章章随机事件及其概率随机事件及其概率随机事件及其概率随机事件及其概率（1）排列组合公式NMPNM从M个人中挑出N个人进行排列的可能数。NMNCNM从M个人中挑出N个人进行组合的可能数。（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）MN某件事由两种方法来完成，第一种方法可由M种方法完成，第二种方法可由N种方法来完成，则这件事可由MN种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）MN某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由M种方法完成，第二个步骤可由N种方法来完成，则这件事可由MN种方法来完成。（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，表示事件，它们是的子集。为必然事件，为不可能事件。不可能事件（）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。（6）事件的关系与运算关系如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）BA如果同时有BA，AB，则称事件A与事件B等价，或称A等于BAB。A、B中至少有一个发生的事件AB，或者AB。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为AB，也可表示为AB或者BA，它表示A发生而B不发生的事件。A、B同时发生AB，或者AB。AB，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。考研英语阅读理解技巧分析淘宝不懂胜懂1A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。运算结合率ABCABCABCABC分配率ABCACBCABCACBC德摩根率11IIIIAABABA，BABA（7）概率的公理化定义设为样本空间，A为事件，对每一个事件都有一个实数PA，若满足下列三个条件10PA1，2P3对于两两互不相容的事件1A，2A，有11IIIIAPAP常称为可列（完全）可加性。则称PA为事件A的概率。（8）古典概型1N21,，2NPPPN121。设任一事件A，它是由M21,组成的，则有PA21M21MPPPNM基本事件总数所包含的基本事件数A（9）几何概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A，LAAP。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。（10）加法公式PABPAPBPAB当PAB0时，PABPAPB（1）减法公式PABPAPAB当BA时，PABPAPB当A时，PB1PB（12）条件概率定义设A、B是两个事件，且PA0，则称APB为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为/ABPAPB。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。考研英语阅读理解技巧分析淘宝不懂胜懂1例如P/B1PB/A1PB/A（13）乘法公式乘法公式/ABP更一般地，对事件A1，A2，AN，若PA12AN10，则有21APN|213121APP21|AAPN1NA。（14）独立性两个事件的独立性设事件A、B满足BPAPABP，则称事件A、B是相互独立的。若事件、相互独立，且0，则有|BPAPBAPBABP若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。必然事件和不可能事件与任何事件都相互独立。与任何事件都互斥。多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，PABPAPB；PBCPBPC；PCAPCPA并且同时满足PABCPAPBPC那么A、B、C相互独立。对于N个事件类似。（15）全概公式设事件NBB,21满足1NB,21两两互不相容，,2,10NIBPI，2NIIBA1，则有|2211NNBAPBPBAPBPBAPBPAP。（16）贝叶斯公式设事件1B，2B，N及A满足11，2，NB两两互不相容，BIP0，I1，2，N，2NIIBA1，0AP，则NJJJIIIBAPBPBAPBPABP1/，I1，2，N。此公式即为贝叶斯公式。IBP，（1I，2，N），通常叫先验概率。/ABPI，（1I，2，N），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。（17）伯努利概型我们作了N次试验，且满足每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；N次试验是重复进行的，即发生的概率每次均一样；考研英语阅读理解技巧分析淘宝不懂胜懂1每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为N重伯努利试验。用P表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为QP1，用KPN表示N重伯努利试验中A出现0NKK次的概率，KNKKNNQPKPC，NK,2,10。第二章第二章第二章第二章随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布（1）离散型随机变量的分布律设离散型随机变量X的可能取值为XK1,2且取各个值的概率，即事件XK的概率为PXKPK，1,2，则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出,|2121KKKPPXXXXP。显然分布律应满足下列条件（1）0KP，,2,1K，（2）11KKP。（2）连续型随机变量的分布密度设XF是随机变量X的分布函数，若存在非负函数XF，对任意实数X，有XDXXFXF，则称X为连续型随机变量。XF称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面4个性质10XF。21DXXF。（3）离散与连续型随机变量的关系DXXFDXXXXPXXP，2,10K，则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为X或者P。泊松分布为二项分布的极限分布（NP，N）。超几何分布,MIN,2,10,NMLLKCKXPNNKNMNKM随机变量X服从参数为N,NM的超几何分布，记为HN,NM。几何分布,32,1,1KPQKXPK，其中P0，Q1P。随机变量X服从参数为P的几何分布，记为GP。均匀分布设随机变量的值只落在A，B内，其密度函数XF在A，B上为常数AB1，即,0,1ABXF其他，则称随机变量X在A，B上服从均匀分布，记为XUA，B。分布函数为XDXXFXF当AX1B。AXB考研英语阅读理解技巧分析淘宝不懂胜懂1指数分布其中0，则称随机变量X服从参数为的指数分布。X的分布函数为记住积分公式0NDXEXXNXFXF,XE0X,0,0为常数，则称随机变量X服从参数为、的正态分布或高斯（GAUS）分布，记为,2NX。XF具有如下性质1XF的图形是关于X对称的；2当X时，21F为最大值；若,2NX，则X的分布函数为DTEXFXT2221。参数0、1时的正态分布称为标准正态分布，记为1,0NX，其密度函数记为222XEX，XP。（7）函数分布离散型已知的分布列为,2121NNIPPPXXXXXP，GY的分布列（IIXGY互不相等）如下,2121NNIPPPXGXGXGYYP，若有某些IXG相等，则应将对应的IP相加作为IXG的概率。连续型先利用X的概率密度FXX写出Y的分布函数FYYPGXY，再利用变上下限积分的求导公式求出FYY。考研英语阅读理解技巧分析淘宝不懂胜懂1第三章二维随机变量及其分布（1）联合分布离散型如果二维随机向量（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（X,Y），则称为离散型随机量。设（X，Y）的所有可能取值为,2,1,JIYXJI，且事件,JIYX的概率为PIJ,称,2,1,JIPYXYXPIJJI为（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示YXY1Y2YJX1P11P12P1JX2P21P22P2JXIPI1IJP这里PIJ具有下面两个性质（1）PIJ0（I,J1,2）；（2）1IJIJP连续型对于二维随机向量,YX，如果存在非负函数,1时，有F（X2,Y）FX1,Y当Y21时，有FX,Y2FX,Y1（3）F（X,Y）分别对X和Y是右连续的，即0,0,YXFYXFYXFYXF（4）1,0,FXFYFF（5）对于，2121YYXX是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，记为（X，Y）N（,221,21由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即XN（,2,2211NY但是若XN（,2,2211NY，X，Y未必是二维正态分布。（10）函数分布ZXY根据定义计算ZYXPZZPZFZ对于连续型，FZZDXXZXF,两个独立的正态分布的和仍为正态分布（22121,）。N个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。IIIC，IIIC222ZMAX,MINX1,2,XN若NXX21,相互独立，其分布函数分别为21XFXFXFNXXX，则ZMAX,MINX1,X2,XN的分布函数为21MAXXFXFXFXFNXXX111121MINXFXFXFXFNXXX考研英语阅读理解技巧分析淘宝不懂胜懂12分布设N个随机变量NXX,21相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和NIIXW12的分布密度为2（5）二维随机变量的数字特征期望NIIIPXXE1NJJJPYYE1DXXXFXEXDYYYFYEY函数的期望,YXGEIJIJJIPYXG,YXGEDXDYYXFYXG,方差IIIPXEXXD2JJJPYEXYD2DXXFXEXXDX2DYYFYEYYDY2考研英语阅读理解技巧分析淘宝不懂胜懂1协方差对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩11为X与Y的协方差或相关矩，记为,COVYXXY或，即11YEYXEXEXY与记号XY相对应，X与Y的方差D（X）与D（Y）也可分别记为X与Y。相关系数对于随机变量X与Y，如果D（X）0,DY0，则称YDXDXY为X与Y的相关系数，记作XY（有时可简记为）。|1，当|1时，称X与Y完全相关1BAYXP完全相关，时负相关，当，时正相关，当0101AA而当0时，称X与Y不相关。以下五个命题是等价的0XY；COVX,Y0EXYEXEYDXYDXDYDXYDXDY协方差矩阵YYXXYX混合矩对于随机变量X与Y，如果有LKYXE存在，则称之为X与Y的KL阶混合原点矩，记为KL；KL阶混合中心矩记为LKKLYEYXEXEU（6）协方差的性质ICOVX,YCOVY,XICOVAX,BYABCOVX,YICOVX12,YCOVX1,YCOVX2,YIVCOVX,YEXYEXEY考研英语阅读理解技巧分析淘宝不懂胜懂1（7）独立和不相关（I）若随机变量X与Y相互独立，则0XY；反之不真。（I）若（X，Y）N（,22121），则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。第五章第五章第五章第五章大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理（1）大数定律X切比雪夫大数定律设随机变量X1，X2，相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界D（XI）NPN时，则EKPPCKKNKKN1N其中K0，1，2，N，。二项分布的极限分布为泊松分布。第六章第六章第六章第六章样本及抽样分布样本及抽样分布样本及抽样分布样本及抽样分布（1）数理统计的基本概念总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。个体总体中的每一个单元称为样品（或个体）。考研英语阅读理解技巧分析淘宝不懂胜懂1样本我们把从总体中抽取的部分样品NXXX,21称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用N表示。在一般情况下，总是把样本看成是N个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，NXXX,21表示N个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，NXXX,21表示N个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。样本函数和统计量设NXXX,21为总体的一个样本，称（NXXX,21）为样本函数，其中为一个连续函数。如果中不包含任何未知参数，则称（NXXX,21）为一个统计量。常见统计量及其性质样本均值11NIIXNX样本方差NIIXXNS1221样本标准差1112NIIXXNS样本K阶原点矩NIKIKXNM1,2,1,1样本K阶中心矩NIKIKXXNM1,32,1XE，NXD2，22SE，221NNSE,其中NIIXXNS1221，为二阶中心矩。考研英语阅读理解技巧分析淘宝不懂胜懂1（2）正态总体下的四大分布正态分布设NXXX,21为来自正态总体,2N的一个样本，则样本函数1,0/NNXUDEFT分布设NXXX,21为来自正态总体,2N的一个样本，则样本函数,1/NTNSXTDEF其中TN1表示自由度为N1的T分布。分布2设NXXX,21为来自正态总体,2N的一个样本，则样本函数,11222NSNWDEF其中12N表示自由度为N1的2分布。F分布设NXXX,21为来自正态总体,21N的一个样本，而NYYY,21为来自正态总体,2N的一个样本，则样本函数,1,1/21222121NNFSSFDEF其中,11211211NIIXXNS1121222NIIYYNS1,121NNF表示第一自由度为11N，第二自由度为12N的F分布。（3）正态总体下分布的性质X与2S独立。第七章第七章第七章第七章参数估计参数估计参数估计参数估计考研英语阅读理解技巧分析淘宝不懂胜懂1（1）点估计矩估计设总体X的分布中包含有未知数M,21，则其分布函数可以表成,21MXF它的K阶原点矩,2,1MKXEVKK中也包含了未知参数M,21，即,21MKKVV。又设NXXX,21为总体X的N个样本值，其样本的K阶原点矩为NIKIXN11,2,1M这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有NIMIMMNIIMNIIMXNVXNVXNV1211221212111,1,1,由上面的M个方程中，解出的M个未知参数,21M即为参数（M,21）的矩估计量。若为的矩估计，XG为连续函数，则G为G的矩估计。考研英语阅读理解技巧分析淘宝不懂胜懂1极大似然估计当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为,21MXF，其中M,21为未知参数。又设NXXX,21为总体的一个样本，称,11122NIMIMXFL为样本的似然函数，简记为LN当总体X为离型随机变量时，设其分布律为,21MXPXXP，则称,1111222NIMIMNXPXXL为样本的似然函数。若似然函数,2211MNXXL在M,21处取到最大值，则称M,21分别为M,21的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。MILIIIN,2,1,0L若为的极大似然估计，XG为单调函数，则G为G的极大似然估计。（2）估计量的评选标准无偏性设,21NXXX为未知参数的估计量。若E（），则称为的无偏估计量。E（X）E（X），E（S2）D（X）有效性设,2111NXXX和,2122NXXX是未知参数的两个无偏估计量。若21