高中数学必修4第二章 平面向量公式及定义.docx

1、 平面向量公式1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.AB+BC=AC.a+b=(x+x,y+y).a+0=0+a=a.向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c).2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0 AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减” a=(x,y) b=(x,y) 则 a-b=(x-x,y-y).4、数乘向量 实数和向量a的乘积是一个向量,记作a,且a=a.当0时,a与a同方向； 当0时,a与a反方向； 当=0时,a=0,方向任意.当a=0时,对于任意实数,都有a=0

2、.注：按定义知,如果a=0,那么=0或a=0.实数叫做向量a的系数,乘数向量a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当1时,表示向量a的有向线段在原方向（0）或反方向（0）上伸长为原来的倍； 当1时,表示向量a的有向线段在原方向（0）或反方向（0）上缩短为原来的倍.数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(a)b=(ab)=(ab).向量对于数的分配律（第一分配律）：(+)a=a+a.数对于向量的分配律（第二分配律）：(a+b)=a+b.数乘向量的消去律： 如果实数0且a=b,那么a=b. 如果a0且a=a,那么=.3、向量的的数量积 定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=

3、b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作a,b并规定0a,b 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作ab.若a、b不共线,则ab=|a|b|cosa,b；若a、b共线,则ab=+-ab.向量的数量积的坐标表示：ab=xx+yy.向量的数量积的运算律 ab=ba（交换律）； (a)b=(ab)(关于数乘法的结合律)； （a+b)c=ac+bc（分配律）； 向量的数量积的性质 aa=|a|的平方.ab =ab=0.|ab|a|b|.向量的数量积与实数运算的主要不同点 1、向量的数量积不满足结合律,即：(ab)ca(bc)；例如：(ab)2a2b2.2、向量的数量积不满足消去律,即

4、：由 ab=ac (a0),推不出 b=c.3、|ab|a|b| 4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.4、向量的向量积 定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量,记作ab.若a、b不共线,则ab的模是：ab=|a|b|sina,b；ab的方向是：垂直于a和b,且a、b和ab按这个次序构成右手系.若a、b共线,则ab=0.向量的向量积性质：ab是以a和b为边的平行四边形面积.aa=0.ab=ab=0.向量的向量积运算律 ab=-ba； （a）b=（ab）=a（b）； （a+b）c=ac+bc.注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.向量的三角形不等式 1

5、、a-ba+ba+b； 当且仅当a、b反向时,左边取等号； 当且仅当a、b同向时,右边取等号.2、a-ba-ba+b. 当且仅当a、b同向时,左边取等号； 当且仅当a、b反向时,右边取等号.定比分点 定比分点公式（向量P1P=向量PP2） 设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点.则存在一个实数 ,使 向量P1P=向量PP2,叫做点P分有向线段P1P2所成的比.若P1（x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有 OP=(OP1+OP2)(1+)；（定比分点向量公式） x=(x1+x2)/(1+),y=(y1+y2)/(1+).（定比分点坐标公式） 我们把上面的式

6、子叫做有向线段P1P2的定比分点公式 三点共线定理 若OC=OA +OB ,且+=1 ,则A、B、C三点共线 三角形重心判断式 在ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为ABC的重心 向量共线的重要条件 若b0,则a/b的重要条件是存在唯一实数,使a=b.a/b的重要条件是 xy-xy=0.零向量0平行于任何向量.向量垂直的充要条件 ab的充要条件是 ab=0.ab的充要条件是 xx+yy=0.零向量0垂直于任何向量.1、线性运算a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)(a)=()a.(+)a=a+a.(ab)=aba,b共线b=a2、坐标运算,其中a（x1,y1）,b(x2,y2)a+b=(x1+x2,y1+y2)a-b=(x1-x2,y1-y2)a=(x1,y1)点A(a,b)，点B(c,d),则向量AB=（c-a,b-d）点A(a,b)，点B(c,d),则向量BA=（a-c,b-d）3、数量积运算a*b=a*b*cosa*b=b*a(交换律)(*a)*b=*(a*b)=a*(*b)（结合律，注意向量间无结合律）(ab)*c=a*cb*c（分配律）若a*(b-c)=0,则b=c或a垂直于（b-c）(ab)2=a22a*b+b2(a+b)*(a-b)=a2-b2a（x1,y1）,b(x2,y2)