中国国家集训队平面几何培训资料

1、最新 料推荐2008 年国家集训队平面几何讲义1一圆 O 切于两条平行线 l1, l 2 ，第二个圆 e O1 切 l1 于 A ，外切 e O 于 C ，第三个圆 e O2 切 l2 于 B ，外切 e O 于 D ，外切 e O1 于 E ， AD 交 BC 于 Q ，求证 Q 是 CDE 的外心。（ 35 届 IMO 预选题）证明由 AO1 BO2 ，知AO1 EBO2 E ，从而有AEO1BEO 2 ，即 A, E, B三 点 共 线 。 同 理 由 OF BO2 ， 可 得 B, D , F 三 点 共 线 。 又 因 为EDB1801EO B1801AO EEAF ， 所 以 A,

2、 E, D , F 四 点 共 圆 ，2221BEgBABDgBF ，即点 B 在 e O1 与 e O 的根轴上。又因为 C 在 e O1 与 e O 的根轴上，所以 BC 是 e O1 与 e O 的根轴。同理AD 是 e O2与 e O 的根轴，因此Q 为根心，且有QC QD QE ，即 Q 是CDE 的外心。2非等腰ABC 的内切圆圆心为I ，其与 BC ,CA, AB 分别相切于点A1, B1 ,C1 ，AA1 , BB1 分别交圆于 A2 , B2 ，A1 B1C1 中C1 A1 B1, C1 B1 A1 的角平分线分别交B1C1 , AC1 1于点 A3, B3 ，证明（1） A

3、2 A3 是B1 A2C1 的角平分线；（ 2）如果 P, Q 是A1 A2 A3 和 B1B2B3的两个外接圆的交点，则点I 在直线 PQ 上。（ 01 年保加利亚）证 明（ 1 ） 因 为AC1 A2 AA1C1 ，AB1 A2 AA1 B1 ， 所 以 有C1 A2AA2AA2B1 A2，从而有 C1 A2C1 A1C1 A3 ，即 A2 A3 是 B1 A2C1 的角平分C1 A1AC1AB1B1 A1B1 A2B1 A1B1 A31最新 料推荐线。（ 2）设A1 A2 A3 的外心为 O ，连 OI , IA2 , OA2 ,OA1，则 OIA1A2 。由于A1 A3 A2AC11

4、A2C1A2 A3C1 A1 A3AC1 1A21C1A2B1C1A1B190AC11 A2 ，21 A OA 180所 以 A OIA A A 90ACA90A IO ， 于 是 有22211321122IA2O90 ，即 IA2与 e O 相切于 A2 。同理 IB2与 B1 B2B3 的外接圆相切于B2 ，从而 I在 e O 与B1B2B3 的外接圆的根轴上，即I,P,Q 三点共线。3已知圆 O 外一点 X ，由 X 向圆 O 引两条切线，切点分别为A, B ，过点 X 作直线，与圆 O 交于两点 C , D ，且满足 CABD ，若 CA, BD 交于点 F ，CD , AB 交于点

5、G ， BD与 GX 的中垂线交于点H ，证明 X , F , G , H 四点共圆。（ 05 年日本）证明因为 X , D , G,C 是调和点列，且CFD90 ，所以 F 在关于点 X ,G 的阿波2最新 料推荐罗尼斯圆上。连 FG , FX ，有 GFDDFX 。设GFX的外接圆与 BF 交于点 H ，则有 GHXH ，即 H 在 GX 的中垂线上，从而有 HH，因此 X , F , G, H 四点共圆。4若 P, Q 到 ABC 的三个顶点 A, B, C 的距离的比都是l : m: n ，且 l , m, n 互不相等，则直线PQ 过 ABC 的外接圆的一条直径DE 。若设ABC 的

6、外接圆圆心为O ，则OPgOQOD 2 。证明法一：由于 P, Q 到 A, C 的距离之比为 l : n ，则PQ 在阿波罗尼斯圆 e G 上，其中 AG 与 e G 的交点为 K , L ，且 A, K , C, L 为调和点列。设e O 与 e G 交于点 F ，则GAgGCGK 2GF 2 ，因此 GF 与 e O 相切于点 F ，于是 OF 也与 e G 相切于点 F 。同理，由于 P,Q 到 B,C 的距离之比为 m : n ，则 PQ 在阿波罗尼斯圆e M 上，设 e O 与 e M交于点 H ，于是 OH 与 e M 相切于点 H 。因为 OH OF ，所以O 在 e G 与

7、e M 的根轴上，从而有 O, P, Q 三点共线。设 PQ 与 e O 交于点 D , E ，则 OD2OF 2OPgOQ ，即D, P, E, Q 为调和点列。法二 由于 APBPCP ，则ABC 的外接圆就是关于点P, Q 的阿波罗尼斯圆，AQBQCQ从而 O 在直线 PQ 上，且有 OPgOQOD 2 。5已知圆心分别为O1 ,O2 的圆 1,2 外切于点 D ，并内切于圆，切点分别为 E, F ，3最新 料推荐过点 D 作1 , 2 的公切线 l 。设圆的直径 AB 垂直于 l ，使得A, E,O1 在 l 的同侧，证明AO1 , BO2 , EF 三线交于一点。 （第 47 届 I

8、MO 预选题）证明设 AB 的中点为 O ， E 为圆与圆1 的位似中心， 由于半径 OB, O1D 分别垂直于 l ，所以 OB O1D ，且有 E, D , B 三点共线。同理 F , D , A 三点共线。设 AE , BF 交于点 C ，由于 AFBC, BEAC ，所以 D 是 ABC 的垂心，于是CDAB ，这表明 C 在直线 l 上。设 EF 与直线 l 交于点 P ，下面证明点 P 在直线 AO1 上。设 AC 与圆 1 的第二个交点为 N ，则 ND 是圆1 的直径，由梅涅劳斯定理的逆定理，要证A, O1 , P 三点共线，只要证CA gNO1 gDP1 。因为 NO1O1D

9、 ，所以只要证CACP 。设 l 与 AB 交于点 K ，则AN O1D PCANPDCACKCPCKANKD，从而只要证，即证 C , P, D , K 是调和点列。 连 AP 交 BC 于点 X ，PDKD则 C , X , F , B 是调和点列，因此有C , P, D , K 是调和点列。6设 ABCD 是梯形，AB CD ，在其两腰AD , BC 上分别存在点P, Q ，使得APBCPD ,AQBCQD ，证明点 P, Q 到梯形两对角线的交点的距离相等。（ 20届全俄）证明设APB与CPD 的外接圆交 于 点Q1，则 有CQ1 PBQ1 P180CDP180BAP180 ，所以点Q

10、1 在 BC上。又4最新 料推荐因为 CQ1 DCPDAPBAQ1B ，所以 Q1Q 。设 APB 与CPD 的外接圆半径分别为 R1, R2 ， APB，则 AB2R1 sinR1 ，因此 AC 与 BD 的交点 O 是CD2R2 sinR2APB 的外接圆与CPD 的外接圆的位似中心， 设APB 与CPD 的外接圆的圆心分别为 O1 ,O2 ，则 O 在 O1O2 上，且 O1O2 是 PQ 的中垂线，于是有OPOQ 。7圆 S1 , S2 , S3 均与圆 S 外切，切点分别为A1 , B1, C1 ，并且它们还分别与ABC 的两条边相切，证明AA1 , BB1 ,CC1 三线共点。（

11、20 届全俄）证明设ABC 的内切圆的圆心为I ，半径为 R ， e S,e S1, e S2 , e S3 的半径分别为r1H A , rH A,1r , r1, r2 ,r3 ，则 e IRr1e S1PSre S。设 P 为 SI 上的一点， 且满足，PIRHrP,则 e IRe S ，从而有A, A1, P 在一条直线上。同理B, B1 , P 与 C ,C1, P 均三点共线，即 AA1 , BB1 , CC1 三线共点。8给定一个半圆周，其直径为AB ，圆心为 O ，一直线与半圆周相交于点C , D ，且5最新 料推荐与 AB 的延长线交于点M ，其中 MBMA, MDMC 。设A

12、OC ,BOD 的外接圆O1 ,O2 的第二个交点为K ，证明MKO 是直角。（ 21 届全俄）证明法一连 OO1 交 e O1 于点 P ， OO2 交 e O2 于点 Q ，因为 O1O2OK , PQ O1O2 ，且 K 在 PQ 上，所以只要证P,Q , M 三点共线。 由于 OP 是 e O1 的直径，因此 PA 与e O 相切。同理 PC, QB ,QD 也均与 e O 相切。过P 作 QD 的平行线，与DC 的延长线交于点 E ，则CEPMDQECP ，所以 PEPCPA ，即PAE 与QBD 均是等腰三角形，且对应边平行，因此对应顶点的连线交于一点，即P, Q , M 三点共线

13、。法二设 AC, BD 交于点 N ， AD , BC 交于点 H ，则 H 为 NAB 的垂心。连 MH ，分别交 AC , BD 于点 X ,Y ，则 N , C , X , A 及 N , D ,Y, B 为调和点列，所以MH 是 N 关于e O 的极线，于是 ON MH 。同理 OMNH ，且 O 是HMN 的垂心。由蒙日定理得 OK过点 N ，于是有 MHOK 。设 NH 与 AB 交于点 T ，则 NH gNTNCgNANK gNO ，所以 K ,O ,T , H 四点共圆，HKOHTO90 ，于是有 M , K , H 三点共线。法三延长 OK 至 S ，则MKO90SKDDKM

14、90DBODKM90DKMDAMK , A, M , D四点共圆KABCDK。 因 为C , A关于PO对称，所 以有CDKCDBKDB180CAB180KOBKOBCABKCACABOCAOCKCABOACKAOCABKAB 。9设点 O 是凸四边形 ABCD 的对角线的交点，过AOB 的重心与COD 的重心引一条直线，过BOC 的垂心与AOD 的垂心引一条直线，证明这两条直线互相垂直。（ 6届全苏）6最新 料推荐证 明设AOB ,BOC ,COD ,AOD 的 重 心 分 别 为K , L, M , N ， 则 四 边 形KLMN 是平行四边形，并满足ACBDKL , KN 分别平行于 A

15、C , BD ， KL =, KN，从而有 KLAC 。设33AOB ,BOC ,COD , AOD 的垂心分别为K , L , M , N ，则KNBDA, K , N ; C, M , L ; B, K , L ; D , M , N均三点共线，且四边形K L M N 是平行四边形，并 满 足 K L , K N分 别 垂 直 于 AC , BD 。 设AOB， 不 妨 假 设90 ， 则OBL90，所以有 K L cos 90AC cos ，即 K LAC cot。同理K NBD cot ，于是有 K LACKL 。因此平行四边形KLMN 与 K L M N 相K NBDKN似，若把其中

16、的一个平行四边形旋转90 ，那么不仅它们的对应边而且它们对应的对角线都互相平行，因此有K MLN , L NKM 。10已知四边形ABCD 是等腰梯形， AD BC，把ABC 绕点 C 旋转某一角度得到A B C ，证明线段 A D , BC , B C 的中点在同一条直线上。 （ 23 届全苏）uuurHD,2 变证明将BCB 平移 DC 得 EFG ，则 A D , BC , B C 的中点经位似变换为 A , E, G 。连 EB 交 AD 于 K ，由于 BE BKBA，因此有 EAAD , EAEF ，从而 AEG 90FEG901 180EFG1EFG1BCB1ACA 。2222因

17、为直角梯形ADFE 的腰 DF 的中点到两个直角顶点的距离相等，所以ECAC A C ，即 E, A, A 在以 C 为圆心，以 CA 为半径的圆上，从而有1AEA ，于是可得ACA2A , E, G 三点共线。7最新 料推荐11已知 M 为 ABC 内一点，由 M 分别向 BC ,CA, AB 作垂线，垂足分别为A , B , C 。由 A, B, C 分别向 B C , C A , A B 作垂线，证明这三条垂线交于一点M 。若A B C 的外心为 O ，则 M ,O , M 三点共线，且 O 是线段 MM 的中点。证明法一连 MO ，并延长至M ，使得 O 是线段 MM 的中点。设AM

18、的中点为O ，则 O 为由 A, C , M , B 所确定的四边形的外接圆的圆心，因此OOB C 。又因为AM OO ，所以有 AMB C 。同理可得 BMC A , CMA B 。法二分别延长 MA , MB , MC 至 D , E, F ，使得 BC , CA, AB 分别是 MD , ME , MF 的中垂线，所以 AEAMAF ，即 A 是MEF 的外心。同理， B, C 分别是MDF ,MDE的 外 心 。 由 于 由A, B,C 分 别 向 B C , C A , A B 作 的 垂 线 就 是 由A, B,C 分 别 向8最新 料推荐EF , FD , DE 作的垂线，因此也

19、就是EF , FD , DE 的中垂线，而EF , FD , DE 的中垂线交于一点，且就是DEF 的外心，即点M 。又因为 M 是A B C 与DEF 的位似中心，且位似比为 2 ，所以 M , O, M 三点共线，且O 是线段 MM 的中点。12已知 P, Q 分别是ABC 的边 AC , AB 上的点， BP, CQ 相交于点 D ，证明ABD和ACD 的内切圆外切的充分必要条件是四边形APDQ 有内切圆。（ 99 年保加利亚）证明充分性：由ABD 和 ACD 的内切圆外切，可得 DBDCABAC 。作ACQ 的内切圆，过 B作该圆的切线BM ，交 CQ 于 D1 。由于 ABACD1B

20、D1C ，因此有 DBDCD1BD1C ，即 DD1。必 要 性 ： 设ABD 和 ACD 的 内 切 圆 与 AD 分 别 切 于 点 N1 , N， 因 为DB DCABAC ，所以有 DNDN 1。13已知单位面积的凸四边形ABCD 及其内一点 P ，证明这 5 个点构成的三角形中必有一个的面积不超过21 ，并证明这个上界是最小的。2证 明假 设 两 条 对 角 线 交 于 点 O ， 不 妨 假 设 P 点 在OBC 中 。 假 设PAC ,PBD ,PBC ,PAD 的 面 积 分 别 为 S1 , S2 , S3 , S4 ， PA, PB, PC , PD 分 别 为a, b,

21、c, d ，APB,BPC,CPD,APD，因为sinsinsinsin1 coscoscoscos29最新 料推荐1cossinsin，cos2所以有 S PAB gS PCDS1S2S3 S4 。若 S1 , S2, S3, S4 均大于21 ，则21SABCDS PABS PCDS3 S42 S PAB gS PCDS3 S4 1，矛盾。当等腰梯形 ABCD 满足 AD 平行于 BC ， AD2 1, BC 1，高为2 ， P在对称轴 上 ， 且 到 AD 的 距 离 为 1 。 此 时 S PADS PBCS PACS PBD212，S PABS PCD22，所以21 是最小的。221

22、4已知 VABC 的重心为 G ，1 证明 AG , BG,CG 分别关于A,B,C 的角平分线对称的三条直线交于一点P ； 2若 P 在三条边 BC ,CA, AB 上的投影分别为D, E, F ，证明 P 为 VDEF 的重心。证明 1设 VABC 的三条中线分别为AL , BM , CN ，AG, BG ,CG 关于A,B,C的角平分线对称的三条直线分别与BC , CA, AB 交于点 L1 , M 1 , N1 ，设 BCa, CAb ，ABc ，则BL1BLBL1gBLSVABL1gSVABLABgAL1gABgALc2。同理可得gLCSV ACLACgALb2L1C LCL1CSV

23、 ACLACgAL11CM 1CMa2AN1 ANb2BL CMAN1 ， 于 是 有gc2 ;g2 。 由 塞 瓦 定 理 ， 可 得ggM 1 A MAN1 B NBaLC MANB10最新 料推荐BL1 gCM 1 gAN11 ，由塞瓦定理的逆定理可得AL1, BM 1, CN1 交于一点。L1C M 1 A N1 B注用塞瓦定理的三角表示（角元塞瓦定理）更容易得到。2设DP与 EF交 于 点 K，CAL， 由 正 弦 定 理 可 得sinLCBLsinA，由于A, E, P, F ; B, D , P, F; C , D , P, E 均四点共圆，sinCALALsin B所以FEPP

24、AF,EFPPAEA,FPKB, EPKC ，由正弦定理得 FKsinFPKsin BPKsinBsinKEKE ，于sinPKAsinAgEFPsinsinC是 K 是 EF 的中点，进而可得P 是 VDEF 的重心。15已知ABC 的边 AB 上有两个点 P, Q ，证明 APC 与BQC 的内切圆半径相等的充分必要条件是AQC 与BPC 的内切圆半径相等。证明先证明一个引理：设ABC 的边 BC 上的高为h ，内切圆半径为r, 则h2rtanBtanCh2。2设ABC的内心为 I ，作 BC 的平行线DE 与圆 I 相切，且分别与AB, AC 交于点D, E ，则11最新 料推荐h 2r

25、DEr cotBDEr cotCEDtan Btan CBC2222tan。hBCBCBCtan2r cot2r cot2cotcot222设 APC ,BQC , AQC ,BPC的内 切 圆半 径 分别 为r1 , r2 , r3 , r4 ， 则r1 r2h 2r1h2r2tanA tanAPCtanB tanBQChh2222tanAAQCtanBBPCh2r3h 2r4r3 r4 。tan2tanhh22216已知圆内接五边形ABCDE 满足ABC 的内切圆半径等于AED 的内切圆半径，ABD 的内切圆半径等于AEC 的内切圆半径，证明ABC AED 。（ 98 年保加利亚）证明设A

26、BC ,AED ,ABD ,AEC 的内切圆半径分别为r1 , r2 , r3, r4 ，外接圆半径为为 R ， 不 含 其 它 顶 点 的 弧? ?AB, BC,CD , DE , EA 分 别 为 2a,2 b,2 c,2 d,2 e ， 则 有cosa cosb cos a b 1r11r2cosecosd cos e d，RR12最新 料推荐cosa cos b ccos e d1r31r4RR两式相减得 cosbcos d ccosdcos bccose cos dccos a b。，从而有 cosbcdcos dc b ，22舍去一种情况后可得 bd 。代入第一个式子得 cosa

27、cos b ecosecos a b ，类似地可得 a e 。因此有ABC AED 。17已知凸四边形ABCD ， AB, DC 交于点P ， AD , BC 交于点 Q ， O 为四边形ABCD 内一点， 且有BOPDOQ ，证明AOB COD180。（ 05 年保加利亚BMO 选拔）证明设BOPDOQ，则sinQD sinAODAQ从sin OQD,sinOQDOA，OD而 有 sinAODAQ gOD 。 类 似 地 ， 有 sinAOBAP gOB ， 因 此 有sinOAQDsinOABPsinAODAQ gOD gBP 。同理，由sinBOQBQ , sinsinCODQC ，si

28、nAOBAP OB QDsinOQBOBOQBOC可得sinCODQC OBsinBOCPC OD，因此有sinBOQOCg ,sinDOPOCgBQPDsinCODQC gOB gPD 。 设 AC 与 PQ 交 于 点 L ， 由 梅 涅 劳 斯 定 理 ，sinBOCPC OD QBAQ gDP gCL1, CQ gBP gAL1，于是有 sinAOD sinCOD1 。积化QD PCLAQB PA LCsinAOB sinBOC和 差 并 化 简 后 得 cosAODCOD2=cosAOBBOC2， 于 是 可 得AODCODAOBBOC （ 其中 另 一种 情 况不 存 在 ）， 从

29、 而 有13最新 料推荐AOBCOD180 。18 D 为 AG 的中点，在AG 的同侧作全等的四边形ABCD , DEFG ，使它们都有内切圆，圆心分别为O, I ，证明 AO, CE ,GI 三线共点。（ 30 届加拿大训练题）证明作位似变化ABCDH A ,2H G,2GNMA ，于是 CAMNG ，则有 GFED是 AN 的中点， E 是 MG 的中点。设 AO, GI 交于点 K ，由 OD1GK ，且 OD GK ，2可得 K 是四边形 AMNG 的内切圆的圆心。由牛顿定理，可得C , K , E 三点共线。19已知圆 O1 ,O2 ,O3 , O4 按顺时针的顺序内切于圆O ，设

30、圆 Oi , Oj1 ij 4的外公切线长为 l ij ，证明依次以l12 ,l23 , l34 ,l14 为边长，以 l13 ,l 24 为对角线构成的凸四边形是圆内接四边形。证明 设圆 O, O1 ,O2, O3, O4 的半径分别为R, r1 , r2 , r3 , r4 ，圆 O1,O2 ,O3 ,O4与圆 O 的切点分别为 A, B, C , D ， OO1a,OO2b,OO3c, OO4d ，O1OO2,O2OO3，O3OO4,O1OO4，因为 Ra r1br2 ，所以有l122O1O22r12a2b22ab cosa22ab 1cos4ab sin2r2b，即2l122 ab s

31、in。同理可得 l23 , l34 ,l14, l13 , l 24 的表达式。由托勒密定理的逆定理知，只要证2l12l 34l23l14l13l 24 。代入 lij的表达式，只要证14最新 料推荐sinsinsinsinsinsin，即ABgCDBCgADACgBD 。22222220设 M 是ABC 内一点，D , E, F 分别是BCM ,CAM ,ABM 的外心，证明S DEFS ABC ，并确定等号成立的条件。证明设 MA, MB , MC 与 EF , FD , DE 分别交于点A1 , B1, C1 ，DEF 的外心为 O ，外接圆半径为 R ， OMd 。因为 M 在圆 O 的内部，由欧拉关于垂足三角形的面积公式，有2222RdS ABC4S A B C4gS DEFRd S DEF S DEF 。等号成立当且仅当 d 0 ，4R21 1 1R215最新 料推荐即 M 为DEF 的外心。此时有M 为ABC 的垂心，且ABC 是锐角三角形。21 1 直