二次函数y=a(x-h)2的图象和性质

1、,22.1.3二次函数y=a(x-h)2 的图象和性质,二次函数y=ax2+k的性质,开口向上,开口向下,a的绝对值越大，开口越小,关于y轴对称 或（x=0）,顶点是最低点,顶点是最高点,在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增,在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减,k0,k0,k0,k0,(0,c),总结,抛物线y=ax2与y=ax2k之间的关系是：,形状大小相同，开口方向相同，对称轴相同， 而顶点位置和抛物线的位置不同,抛物线之间的平移规律：(c0),抛物线y=ax2,抛物线 y=ax2k,向上平移 k个单位,抛物线y=ax2,向下平移 k个单位,抛物线 y=ax2+k,比较函数 与 的图象,2)

2、在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象,完成下表,并比较3x2和3(x-1)2的值,它们之间有什么关系?,图象是轴对称图形 对称轴是平行于 y轴的直线:x=1.,顶点坐标 是点(1,0).,二次函数y=3(x-1)2 与y=3x2的图象形状 相同,可以看作是抛 物线y=3x2整体沿x轴 向右平移了1 个单位,(3)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?,二次项系数相同 a0,开口都向上.,在对称轴(直线:x=1)左侧 (即x1时),函数y=3(x-1)2 的值随x的增大而减少,.,顶点是最低点,函数

3、有最小值.当x=1时, 最小值是0.,二次函数y=3(x-1)2 与y=3x2的增减性类似.,(4)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？,在对称轴(直线:x=1)右侧 (即x1时),函数y=3(x-1)2 的值随x的增大而增大,.,图象是轴对称图形. 对称轴是平行于 y轴的直线:x= -1.,顶点坐标 是点(-1,0).,二次函数y=3(x+1)2 与y=3x2的图象形状 相同,可以看作是抛 物线y=3x2整体沿x轴 向左平移了1 个单位.,1.函数y=3(x+1)2的图象与y=3x2和y=3(x-1)2的图象有

4、什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?,二次项系数相同 a0,开口都向上.,在对称轴(直线:x=-1)左侧 (即x-1时),函数y=3(x+1)2 的值随x的增大而减少,.,顶点是最低点,函数 有最小值.当x=-1时, 最小值是0.,二次函数y=3(x+1)2 与y=3x2的增减性类似.,2.x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x的增大而减少？,在对称轴(直线:x=-1)右侧 (即x-1时),函数y=3(x+1)2 的值随x的增大而增大,.,一般地,抛物线y=a(xh)2有如下特点:,(1)对称轴是x=h;

5、,(2)顶点是(h,0).,（3）抛物线y=a(xh)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平移得到. (h0),归纳,向右平移h个单位,抛物线y=ax2,抛物线y=a(xh)2,抛物线y=ax2,向左平移h个单位,抛物线y=a(x+h)2,二次函数y=a（x-）2的性质,开口向上,开口向下,a的绝对值越大，开口越小,直线,顶点是最低点,顶点是最高点,在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增,在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减,h0,h0,h0,h0,(,0),试一试,例1. 填空题 （1）二次函数y=2（x+5）2的图像是 ，开 口 ，对称轴是 ，当x= 时，y有最 值，是 . （2）二次函数y=-3

6、（x-4）2的图像是由抛物线y= -3x2 向 平移 个单位得到的；开口 ，对称轴是 ，当x= 时，y有最 值，是 .,抛物线,向上,直线x= -5,-5,小,0,右,4,向下,直线x= 4,4,大,0,（3）将二次函数y=2x2的图像向右平移3个单位后得到函数 的图像，其对称轴是 ，顶点是 ，当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小. （4）将二次函数y= -3（x-2）2的图像向左平移3个单位后得到函数 的图像，其顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x= 时，y有最 值，是 .,y=2（x-3）2,直线x=3,（3，0）,3,3,y= -3（x+1）2,（-1，0）,直线x=-1

7、,-1,大,0,课堂练习 1.抛物线y= (x+1)2的开口向 ，对称轴是 , 顶点坐标是 ； 2.抛物线 向右平移2个单位,得到的抛物线是 ；,下,直线x = 1,(1，0),3.函数y= 5(x3)2,当x_时,y随x的增大而增大；当x 时,y随x的增大而减小。,3,3,4 函数y=4(x+1)2的图象是由抛物线_向_平移_个单位得到.,y=4x2,左,1,5.抛物线y=-2x2向下平移2个单位得到抛物线_, 再向上平移3个单位得到抛物线_; 若向左平移2个单位得到抛物线_，向右平移2个单位得到抛物线_.,y=-2x2+1,y=-2x2-2,y=-2（x+2）2,y=-2（x-2）2,2、

8、按下列要求求出二次函数的解析式： （1）已知抛物线y=a(x-h)2经过点（-3，2）（-1，0）求该抛物线线的解析式。,（2）形状与y=-2(x+3)2的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（1，0）的抛物线解析式。,（3）已知二次函数图像的顶点在x轴上，且图像经过点（2，-2）与（-1，-8）。求此函数解析式。,练习,y= 2（x+3）2,画出下列函数图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点，最大值或最小值各是什么及增减性如何？。,y= 2（x-3）2,y= 2（x-2）2,y= 3（x+1）2,如何平移：,你认为今天这节课最需要掌握的是 _ ？,小结,3.抛物线y=ax2+k有如下

9、特点:,当a0时, 开口向上;,当a0时,开口向上.,(2)对称轴是y轴;,(3)顶点是(0,k).,抛物线y=a(xh)2有如下特点:,(1)当a0时, 开口向上,当a0时,开口向上;,(2)对称轴是x=h;,(3)顶点是(h,0).,2.抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下平移|k|得到.,抛物线y=a(xh)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平移|h|得到.,(k0,向上平移;k0向下平移.),(h0,向右平移;h0向左平移.),1.抛物线y=ax2+k、抛物线y=a(xh)2和抛物线y=ax2的形状完全相同,开口方向一致;,(1)当a0时, 开口向上,当a0时,开口向下

10、;,二次函数y=a（x-）2的性质,开口向上,开口向下,a的绝对值越大，开口越小,直线,顶点是最低点,顶点是最高点,在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增,在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减,h0,h0,h0,h0,(,0),结束寄语,读书要从薄到厚,再从厚到薄.,再见,观察图象,回答问题,(3)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?,(4)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？,在同一坐标系中作出二次函数y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x+

11、1)2的图象,完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x+1)2的值,它们之间有什么关系?,函数y=a(x-h)2(a0)的图象和性质,2.抛物线y=-3(x-1)2和y=-3(x+1)2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.,3.抛物线y=-3(x-1)2在对称轴(x=1)的左侧,当x1时, y随着x的增大而减小.当x=1时,函数y的值最大(是0); 抛物线y=-3(x+1)2在对称轴(x=-1)的左侧,当x-1时, y随着x的增大而减小.当x=-1时,函数y的值最大(是0).,二次函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的图象,4.抛物线y=-3

12、(x-1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x轴向右平移了1个单位;抛物线y=-3(x+1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x轴向左平移了1个单位.,X=-1,X=1,1.抛物线y=-3(x-1)2的顶点是(1,0);对称轴是直线:x=1;抛物线y=-3(x+1)2的顶点是(-1,0);对称轴是直线:x=-1.,1.抛物线y=a(x-h)2的顶点是(h,0),对称轴是平行于y轴的直线x=h.,3.当a0时,在对称轴(x=h)的左侧,y随着x的增大而减小;在对称轴(x=h)右侧,y随着x的增大而增大;当x=h时函数y的值最小(是0). 当a0时,在对称轴(x=h)的左侧,y随着x的增大而增大;在对

13、称轴(x=h)的右侧,y随着x增大而减小;当x=h时,函数y的值最大(是0).,二次函数y=a(x-h)2的性质,2.当a0时,抛物线y=a(x-h)2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展; 当a0时,抛物线y=a(x-h)2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.,X=h,X=h,4. 越大,开口越小, 越小,开口越大.,二次函数y=a(x-h)2 与y=ax2的图象形状 相同,可以看作是抛 物线y=ax2整体沿x轴 平移了 个单位(当h0时,向右移 个单位;当h0时,向左移 个单位)得到的.,试一试,（5）将函数y=3（x4）2的图象沿x轴对折后得到的

14、函数解析式是 ；将函数y=3（x4）2的图象沿y轴对折后得到的函数解析式是 ；,y=3（x4）2,y=3（x+4）2,（6）把抛物线y=a（x-4）2向左平移6个单位后得到抛物线y=- 3（x-h）2的图象，则 a= ，h= .若抛物线y= a（x-4）2的顶点A，且与y轴交于点B，抛物线y= - 3（x-h）2的顶点是M，则SMAB= .,-3,-2,144,（7）将抛物线y=2x23先向上平移3单位，就得到函数 的图象，在向 平移 个单位得到函数y= 2（x-3）2的图象.,y=2x2,右,3,（8）函数y=（3x+6）2的图象是由函数 的 图象向左平移5个单位得到的，其图象开口向 ，对称

15、轴是 ，顶点坐标是 ，当x 时，y随x的增大而增大，当x= 时，y有最 值是 .,y=9（x3）2,上,直线x=2,（2，0）,2,2,小,0,问题回顾,1.二次函数y=x2+c的图象是什么？,答：是抛物线,2.二次函数的性质有哪些？请填写下表：,向上,Y轴,（0，0）,最小值是0,Y随x的增大而减小,Y随x的增大而增大,向下,Y轴,（0,0）,最大值是0,Y随x的增大而增大,Y随x的增大而减小,向上,Y轴,（0,c）,最小值是C,Y随x的增大而减小,Y随x的增大而增大,向下,Y轴,（0,c）,最大值是C,Y随x的增大而增大,Y随x的增大而减小,比一比,向上,直线x=h,（h，0）,Y随x的增大而减小,最小值是0,Y随x的增大而增大,向下,直线x=h,（h，0）,最大值是0,Y随x的增大而增大,Y随x的增大而减小,二次函数y=a(x-h)2的性质,.顶点坐标与对称轴,.位置与开口方