第3章 LTI连续系统的频域.ppt

1、1,第三章 LTI连续系统的频域分析,数学上，任意一函数都可表示为一个完备正交函数集中无限多个相互正交的函数的无穷级数。,傅里叶(Fourier)级数是常用的正交函数集，只要符合一定的条件，任意一信号都可通过傅里叶级数展开为一系列不同频率的正弦分量即频率函数，也就是说信号分析可以从时域变换到频域分析即频域分析法。,2,31 周期信号的傅里叶级数展开,一三角形式的傅里叶级数：,设任意周期信号 f(t)=f(t+kT),（k为整数），满足下列条件（荻里赫利条件）：,（1）在一个周期内，函数是绝对可积的,（2）在一个周期内，函数的极值数目有限,（3）在一个周期内，函数是连续的或者有限个一类间断点,3

2、,分解得,傅里叶系数,4,其中：,直流分量(零次谐波)，即f(t)在一个周期内的平均值；,基波分量(一次谐波)，其角频率与f(t)的相同，为,二次谐波分量，其角频率为基波频率的两倍,n次谐波分量，其角频率为基波频率的n倍,5,将周期信号f(t)在虚指数函数集ejn t，n=0, 1, 2， 3， 上展开就得到指数形式的傅里叶级数。,傅里叶系数 ：,“级数正，系数负”,二指数形式的傅里叶级数,注意此系数为复数,6,与指数形式对照,与三角形式傅里叶级数的关系,7,三、周期信号的对称性与傅里叶系数的关系,1偶函数: f(t)=f(-t),2奇函数: f(-t)= -f(t),3奇谐(波)(半波对称)

3、函数:,8,4偶谐(波)(半周期)函数,9,奇谐信号实际上是半波对称函数 奇谐函数的傅里叶级数只有奇次谐波分量 偶谐信号实际上是半周期重叠函数 偶谐函数的傅里叶级数只有直流和偶次谐波分量,通过函数的奇偶性和谐波特性，可以使我们对函数的傅里叶级数中包含的成分进行快速判断，有利于计算,10,例1：求周期信号的三角型与指数型傅里叶级数,11,12,例2：求图示周期锯齿波信号的傅里叶级数,解：,13,32 周期信号的频谱,频谱,幅度谱：以频率（角频率）为横坐标，以各谐波的振幅An或|Fn|为纵坐标画出的线图（离散）为幅度频谱。简称幅度谱。,相位谱：以频率（角频率）为横坐标，以各谐波的初相角为纵坐标画出

4、的线图（离散）为相位频谱。简称相位谱。,周期信号分解为傅里叶级数和,14,一、周期矩形脉冲的频谱,=T/4，A=1时：,15,由双边频谱单边频谱,16,由上可知周期矩形脉冲的频谱有下列特点：,(1) 谱线高度与脉冲高度A及宽度成正比，与周期T成反比，且受抽样函数包络线牵制；,(2) 零分量频率为n/2=m即n =2m/，或 n= m T / 其中m= 1, 2,17,(3) 第一个零分量频率称为有效频谱宽度B=2/，或者 Bf =1/,(4) 若而T不变,谱线间隔不变，但谱线高度B，谱线个数T/,(5) 若T而不变谱线间隔谱线高度B 不变，谱线个数T/ ，T，连续频谱。,18,二、任意周期信号

5、频谱的特点,（1）离散性频谱是谱线，称为离散频谱或线谱；,（2）谐波性各分量频率都是基波频率的整数倍，谱线间隔均匀；,（3）收敛性谱线幅度随n而衰减到零。,三、周期信号的功率谱,功率(频)谱|Fn|2 n的关系，也是一离散谱。,周期信号在时域的平均功率等于频域中的直流功率分量和各次谐波平均功率分量之和。,19,20,33 非周期信号的频谱,一、傅里叶级数到傅里叶变换,周期信号,其中,非周期信号,令,有,F( j),21,对应关系记为,f(t)F( j),22,二、非周期信号的频谱(密度)函数,量纲为单位频率的振幅，称为频谱(密度)函数,23,- 幅度谱，它代表信号 f(t) 中各频率 的相对大

6、小，连续函数,- 相位谱，它代表各频率分量的相位，连续函数,频谱函数 一般都是复函数,注意：这里只是与周期信号的频谱相对应， 并不是振幅！,24,1.频谱密度函数的数学特点：,25,1、若f(t)为实函数，则|F( j)|、R()为的偶函数，而()、X()为的奇函数。,2、若f(t)为实偶函数，则F( j )为的实偶函数即() = X() = 0,3、若f(t)为实奇函数，则F( j)为的虚奇函数即 =90，R() = 0。,26,若f(t)为实函数，则代入对应的奇偶性得,非周期信号也可以分解为许多不同频率的正弦分量，其基波为无穷小d，正弦分量的振幅也为无穷小,F(j )只是相对大小。,27,

7、2.频谱密度函数的物理意义,2）非周期信号也可以分解成许多不同频率的正弦分量，只不过其基波频率趋于无穷小，包含了所有频率分量；,1）求非周期信号的傅里叶变换就是求其频谱(密度)函数。,3）各个正弦分量的振幅 |A|=2 | F | =|F( j)|d /趋于无穷小，只能用密度函数|F( j )|来表示各频率分量的相对大小。,28,三、常用信号的傅里叶变换,荻里赫利条件是变换的前提,不满足完全可积的条件引入冲激函数也可有相应的变换。,1、单边指数信号,29,2、偶双边指数信号,30,3、奇双边指数信号,31,4、符号函数信号,符号函数不满足可积条件，它可看作奇双边指数信号在0的极限值,32,5、

8、单位冲激信号,33,6、单位直流信号,34,7、单位阶跃信号,35,8、门信号(矩形脉冲信号),36,34 傅里叶变换的性质,设f1(t)F1(j)，f2(t)F2(j)；a1、a2为实数,一、线性,则：a1 f1(t) + a2 f2(t),a1F1(j) + a2 F2(j),37,二、对称性,设：f(t)F(j), 则：F(jt)2 f(-),证明,正变换,反变换,38,例3：求Sa(t)的傅氏变换,则,令,解：已知G(t),39,三、 折叠性,设,其中,若,F,F,则,F,F,40,如：,又如：,F,F,F,F,41,四、尺度变换,设：f(t)F(j),信号持续时间与占有频带成反比 ，

9、即时域内扩展频域内压缩，即时域内压缩频域内扩展,推论(折叠性),f(-t) F(-j),42,五、时移性:：,时域内时移，频域内为相移.,设：f(t)F(j),则,43,六、频移性:,调制定理,时域内相移，频域内为反向频移。,设：f(t)F(j),44,门信号的调制:,当0足够大时，就可使原频谱密度函数被向左、右复制时混叠极少，几乎不失真.,45,七、时域卷积：,f1(t)* f2(t) F1(j)F2(j),证明,时域卷积的重要应用求零状态响应的频域法,时域yf(t) = f(t)* h(t) 频域Yf(j) = F(j)H(j ),时域卷积，频域乘积。,46,八、频域卷积,九、时域微分性,

10、设：f(t)F(j)，则：,推论：,例如,时域乘积的2倍，频域卷积。,47,E,48,49,十、时域积分性,十一、频域微分性：,50,十二、频域积分性,f(0)=0时频域微分性与频域积分性才是可逆的。,十三、帕塞瓦尔定理：,若f(t)为实函数 ，则非周期信号的总能量为：,时域中求得的能量与频域中求得的能量相等,51,例1：求下列傅里叶变换的时间函数f(t),解（1）,52,53,例2：求f(t)的频谱函数F( j),解：应用时域微分性,条件：,54,55,56,57,作业： 3-9 （a）（c） 3-10 （3）（6） 3-13 （a）,58,35 周期信号的傅里叶变换,一、常见周期信号的傅里

11、叶变换,1复指数信号,59,2余弦、正弦信号,60,3单位冲激序列信号,61,结论：周期信号的傅里叶级数是离散的(谱线)，其傅里叶变换是离散的(冲激序列),一般周期信号,62,例1：求周期信号f(t)的频谱函数F( j),解：,63,64,分别求Fn , F(j),二、傅里叶级数和傅里叶变换的关系,65,比较上面两式可知Fn与 F(j)的关系：,对于周期信号可据其一个周期内的信号求傅立叶变换后求级数；反之亦可。,66,作业： 3-11（3） 3-14（2） 3-15,67,36 连续信号的抽样定理,一、限带信号,|F( j)|=0，（| | m) m为信号f(t)的最高频率,脉冲信号可以近似为

12、频率为2/的限带信号,68,二抽样信号及其频谱：,连续信号,抽样序列(冲激串，矩形窄脉冲串等),(开关函数),抽样信号,若序列等间隔，为TS ，则为均匀抽样,抽样周期,69,=,*,=,当S2m时，FS(j)是F( j)的周期延拓，因而fS(t)包含了f(t)的全部信息，从抽样信号fS(t)可以恢复原信号f(t)。当S2m时，频谱出现重叠(称为混叠现象)，不能从fS(t)恢复f(t)，信号失真。,1、均匀冲激抽样(理想抽样)：设抽样周期为TS (抽样角频率为S)，,70,71,2、矩形脉冲抽样(自然抽样),抽样序列是周期矩形脉冲序列，周期为TS(S),72,三、时域抽样定理,1时域抽样定理：一

13、个最高频率为fm(角频率为m)的限带信号f(t)可以用均匀等间隔TS 1/2fm 抽样信号fS(t)= f(nTS)的样点值唯一确定；允许的最大抽样间隔称为奈奎斯特(Nyquist)间隔；允许的最小抽样频率称为奈奎斯特(Nyquist)频率.,该定理表明在满足TS 1/2fm条件下所得到的抽样点的值f(nTS)包含了原信号f(t)的全部信息，因此对f(nTS)的传输可代替对f(t)的传输。,73,例2：信号 ，将它进行冲激抽样，为使抽样信号频谱不产生混叠，求最低频率fs和奈奎斯特间隔Ts,解：,74,2原信号f(t)的恢复,由抽样定理知通过一个截止频率为mCS-m的理想低通滤波器(H(j)为门

14、)可从FS(j)中取出F(j)，从而获得f(t)。,F(j)=H(j)FS(j),75,若TS取1/2fm，且C取m，则上式化为,76,作业： 3-21（3）（5）,77,39 连续系统的频域分析,时域卷积性质,时域：,频域：,78,1、已知系统电路模型、微分方程或转移算子则有,例,一、H( j)的求法：,2、已知系统的冲激响应：,79,二、非周期信号f(t) (-t)激励下的零状态响应,从时域与频域的相互关系已知,i ) 由f(t)求F( j)；,ii) 由系统频率为的频域模型,实际上是将“Ljw, C 1/ jw”的“相量法”,求系统函数H( j)；,iii) 求：,iv) 求：,用频域法求LTI系统零状态响应的一般步骤为：,80,例：图示电路,解：画出频域电路,求零状态响应i(t),81,傅里叶反变换,傅里叶变换,82,例：系统如图所示，已知激励信号的频谱，试求输出信号的频谱,解：,83,84,85,理想低通滤波器的传输函数H( j) =G240()求零状态响应y(t),例：图示信号处理系统已知,解：,86,87,矩形脉冲,88,复习,一周期信号的傅里叶级数：,设任意周期信号